16 正反比例問題【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。
【數(shù)量關(guān)系】 判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。
【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。
正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。
例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？
解 由條件知， 公路總長不變。
原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12
現(xiàn)已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12
比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（4－3）份，從而知公路總長為
300÷（4－3）×12＝3600（米）
答： 這條公路總長3600米。
例2 張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？
解 做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系
設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題 則有 28∶4＝91∶X
28X＝91×4 X＝91×4÷28 X＝13
答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。
例3 孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？
解 書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系
設(shè)X天可以看完，就有 24∶36＝X∶15 36X＝24×15 X＝10
答：10天就可以看完。
例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。
解 由面積÷寬＝長可知，當(dāng)長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個小矩形的寬也相等。因此，A∶36＝20∶16
25∶B＝20∶16 解這兩個比例，得 A＝45 B＝20
所以，大矩形面積為 45＋36＋25＋20＋20＋16＝162
答：大矩形的面積是162
17 按比例分配問題
【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。
【數(shù)量關(guān)系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；
從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數(shù)＝比的前后項之和
【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。
例1 學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？
解 總份數(shù)為 47＋48＋45＝140
一班植樹 560×47/140＝188（棵）
二班植樹 560×48/140＝192（棵）
三班植樹 560×45/140＝180（棵）
答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。
例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米？
解 3＋4＋5＝12 60×3/12＝15（厘米） 60×4/12＝20（厘米）
60×5/12＝25（厘米）
答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。
例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。
解 如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/2∶1/3∶1/9＝9∶6∶2
9＋6＋2＝17 17×9/17＝9 17×6/17＝6 17×2/17＝2
答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。
例4 某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？
| 人 數(shù) | 80人 | 一共多少人？ |
| 對應(yīng)的份數(shù) | 12－8 | 8＋12＋21 |
解 80÷（12－8）×（8＋12＋21）＝820（人）
答：三個車間一共820人。
18 百分?jǐn)?shù)問題
【含義】 百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。
在實際中和常用到“百分點(diǎn)”這個概念，一個百分點(diǎn)就是1%，兩個百分點(diǎn)就是2%。
【數(shù)量關(guān)系】 掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：
百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量 標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)
【解題思路和方法】 一般有三種基本類型：
（1） 求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；
（2） 已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；
（3） 已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。
例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？
解 （1）用去的占 720÷（720＋6480）＝10%
（2）剩下的占 6480÷（720＋6480）＝90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？
解 本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量， 所以
（525－420）÷525＝0.2＝20%
或者 1－420÷525＝0.2＝20%
答：男職工人數(shù)比女職工少20%。
例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？
解 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此
（525－420）÷420＝0.25＝25%
或者 525÷420－1＝0.25＝25%
答：女職工人數(shù)比男職工多25%。
例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？
解 （1）男職工占 420÷（420＋525）＝0.444＝44.4%
（2）女職工占 525÷（420＋525）＝0.556＝55.6%
答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。
例5 百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見的百分率有：
增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%
合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%
出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應(yīng)出勤人數(shù)×100%
出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應(yīng)出勤天數(shù)×100%
缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%
發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%
成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%
出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%
命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%
烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%
及格率＝及格人數(shù)÷參加考試人數(shù)×100%
19 “牛吃草”問題
【含義】 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長這個因素。
【數(shù)量關(guān)系】 草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)
【解題思路和方法】 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。
例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？
解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
（1）求草每天的生長量
因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以
1×10×20＝原有草量＋20天內(nèi)生長量
同理 1×15×10＝原有草量＋10天內(nèi)生長量
由此可知 （20－10）天內(nèi)草的生長量為 1×10×20－1×15×10＝50
因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長量＝1×15×10－5×10＝100
（3）求5 天內(nèi)草總量
5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長量＝100＋5×5＝125
（4）求多少頭牛5 天吃完草
因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）
答：需要5頭牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？
解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時間。設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：
（1）求每小時進(jìn)水量
因為，3小時內(nèi)的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進(jìn)水量
10小時內(nèi)的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進(jìn)水量
所以，（10－3）小時內(nèi)的進(jìn)水量為 1×5×10－1×12×3＝14
因此，每小時的進(jìn)水量為 14÷（10－3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3－3小時進(jìn)水量＝36－2×3＝30
（3）求17人幾小時淘完
17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進(jìn)水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時）
答：17人2小時可以淘完水。
20 雞兔同籠問題
【含義】 這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。
【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：
假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）
假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）
第二雞兔同籠問題：
假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）
假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）
【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。
例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？
解 假設(shè)35只全為兔，則 雞數(shù)＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）
兔數(shù)＝35－23＝12（只）
也可以先假設(shè)35只全為雞，則 兔數(shù)＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）
雞數(shù)＝35－12＝23（只）
答：有雞23只，有兔12只。
例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？
解 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1÷2）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應(yīng)，“每畝白菜施肥（3÷5）千克”與“每只兔有4只腳”相對應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有
白菜畝數(shù)＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（畝）
答：白菜地有10畝。
例3 李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？
解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有
作業(yè)本數(shù)＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）
日記本數(shù)＝45－15＝30（本）
答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。
例4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？
解 假設(shè)100只全都是雞，則有
兔數(shù)＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）
雞數(shù)＝100－20＝80（只）
答：有雞80只，有兔20只。
例5 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？
解 假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3×100）個，比實際多吃（3×100－100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（3－1/3）個。因此，共有小和尚 （3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）
共有大和尚 100－75＝25（人）
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
