構(gòu)造異面直線所成角的幾種方法
異面直線所成角的大小，是由空間任意一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來定義的．準(zhǔn)確選定角的頂點(diǎn)，平移直線構(gòu)造三角形是解題的重要環(huán)節(jié)．本文舉例歸納幾種方法如下，供參考．
一、抓異面直線上的已知點(diǎn)
過一條異面直線上的已知點(diǎn)，引另一條直線的平行線(或作一直線并證明與另一直線平行)，往往可以作為構(gòu)造異面直線所成角的試探目標(biāo)．
例1(2005年全國高考福建卷)如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是（ ）
A．D1
CB1
ED
G
A1
B．
5
4
C．
5
D．
2
A
C
解：連B1G，則A1E∥B1G，知∠B1G F就是異面直線A1E與GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得
F
B1G2?GF2?B1F2 cosB1GF
＝0， ?
2B1G?GF 故∠B1G F＝90°，應(yīng)選(D)．
評注：本題是過異面直線FG上的一點(diǎn)G，作B1G，則A1E∥B1G，知∠B1G F就是所求的角，從而納入三角形中解決．
二、抓異面直線(或空間圖形)上的特殊點(diǎn)
考察異面直線上的已知點(diǎn)不湊效時(shí)，抓住特殊點(diǎn)(特別是中點(diǎn))構(gòu)造異面直線所成角是一條有效的途徑.
例2(2005年全國高考浙江卷)設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E(如圖)．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_________．
C
圖1
圖2
解：取AE中點(diǎn)G, 連結(jié)GM、BG ∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ ∴ GM∥BN，且GM＝BN． ∴BNMG為平行四邊形，∴MN//BG ∵A的射影為B． ∴AB⊥面BCDE． ∴∠BEA＝∠BAE＝45°， 又∵G為中點(diǎn)，∴BG⊥AE． 即MN⊥AE．
∴MN與AE所成角的大小等于90度． 故填90°．
三、平移(或構(gòu)造)幾何體
有些問題中，整體構(gòu)造或平移幾何體，能簡化解題過程.
例3(2005年全國高考天津卷)如圖，PA?平面ABC，?ACB?90?且
11
ED，BN＝ED． 22
P
PA?AC?BC?a，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于_____．
解：將此多面體補(bǔ)成正方體DBCA?D'B'C'P，PB與AC所成的角的
A
B
C
大小即此正方體主對角線PB與棱BD所成角的大小，在Rt△PDB中，
即
tan?DBA?
PD
． DB
D1
A
C1
B點(diǎn)評：本題是將三棱柱補(bǔ)成正方體DBCA?D'B'C'P，從而將問題簡化．
C
B
異面直線練習(xí)
D
一、選擇題 1．分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是 （ ） （A）不平行的直線 （B）不相交的直線
（C）相交直線或平行直線 （D）既不相交又不平行直線
2．已知EF是異面直線a、b的共垂線，直線l∥EF，則l與a、b交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 （ ） （A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或2 3．兩條異面直線的距離是 （ ） （A）和兩條異面直線都垂直相交的直線 （B）和兩條異面直線都垂直的直線 （C）它們的公垂線夾在垂足間的線段的長 （D）兩條直線上任意兩點(diǎn)間的距離
4．設(shè)a, b, c是空間的三條直線，下面給出三個(gè)命題：① 如果a, b是異面直線，b, c是異面直線，則a, c是異面直線；② 如果a, b相交，b, c也相交，則a, c相交；③ 如果a, b共面，b, c也共面，則a, c共面．上述命題中，真命題的個(gè)數(shù)是 （ ） （A）3個(gè) （B）2個(gè) （C）1個(gè) （D）0個(gè)
5．異面直線a、b成60°，直線c⊥a，則直線b與c所成的角的范圍為 （ ）
（A）[30°，90°] （B）[60°，90°] （C）[30°，60°] （D）[60°，120°] 6．如圖:正四面體S－ABC中，如果E，F(xiàn)分別是SC，AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于 （ ） B （A）90°（B）45°（C）60°（D）30° 7．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和的 1
中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成角的余弦值是 （ ） 1A1334
（A）（B）（C）（D）
10255
C 8．右圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，
① BM與ED平行； ②CN與BE是異面直線；
N
②
③CN與BM成60?角；④DM與BN垂直．
DC
M
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是 （ ）
（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④ EAB
F
9．梯形ABCD中AB//CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是 （ ） （A）平行 （B）平行和異面 （C）平行和相交 （D）異面和相交
10．在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，且AE ：EF＝AF ：FD
＝1 ：4，又H、G分別為BC、CD的中點(diǎn)，則 （ ） （A）BD//平面EFGH且EFGH是矩形 （B）EF//平面BCD且EFGH是梯形
（C）HG//平面ABD且EFGH是菱形 （D）HE//平面ADC且EFGH是平行四邊形 二、填空題
FCA11．如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，
G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點(diǎn)，將△ABC沿 H
JDE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為
DE
12．在四面體ABCD中，若AC與BD成60°角，且AC＝BD＝a，則連
I
接AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)的四邊形面積為 ．
13．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，則異面直線AB1與 A1D所成的角的余弦值為
14．把邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折起，
使A、C的距離等于a，如圖所示，則異面直線AC 和BD的距離為 ． 三、解答題
15．已知AB、BC、CD為不在同一平面內(nèi)的三條線段，AB，BC，CD的中點(diǎn)P、Q、R滿足PQ＝2，QR
PR＝3，求AC與BD所成的角．
16．已知P為△ABC所在平面外的一點(diǎn)，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分別為PA和BC的中點(diǎn)． P（1）求證：EF與PC是異面直線； （2）EF與PC所成的角； E（3）線段EF的長．
AC
B
17．如圖，AB和CD是兩異面直線，BD是它們的公垂線，AB＝CD，M是BD的中點(diǎn)，N是AC的中點(diǎn)．
B
（1）求證：MN⊥AC； A（2）當(dāng)AB＝CD＝a，BD＝b，AC＝c時(shí)，求MN的長．
M
D
18．（如圖）已知P、Q是棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心． C（1）求線段PQ的長； （2）證明：PQ∥AA1B1B． A
D1
1
A1
1
§1 異面直線
一、復(fù)習(xí)要點(diǎn)
1．本節(jié)內(nèi)容要點(diǎn)為：異面直線的定義和判定，異面直線所成的角，異面直線的距離． 2．異面直線的定義和判定及異面直線所成的角是頻考點(diǎn)，也是本節(jié)的重點(diǎn)．
3．要把“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”和“分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”的含義區(qū)別開，后者不一定是異面直線．
4．在進(jìn)一步復(fù)習(xí)理解異面直線的同時(shí)，要注意把這部分內(nèi)容和平面聯(lián)系在一起，即和線面、面面平行與垂直的判定聯(lián)系在一起，以便開闊思路，使解題方法更具靈活性． 5．對異面直線所成的角，要注意：
①深刻理解異面直線所成的角的概念，領(lǐng)悟其所滲透的“空間向平面轉(zhuǎn)化”的思想；
②異面直線所成角的范圍為0°＜θ≤90°，故有時(shí)平移后需求其補(bǔ)角；
③解題時(shí)，應(yīng)首先考慮兩條異面直線是否互相垂直，可由三垂線定理及其逆定理或線面垂直來完成； ④應(yīng)熟練掌握“平移”這個(gè)通法，平移的途徑有取中點(diǎn)、作平行線、補(bǔ)體（形）等； ⑤理科學(xué)生應(yīng)會(huì)用反三角函數(shù)表示異面直線所成的角．
6．高考求異面直線的距離僅限于給出公垂線的情形．例見1999年高考立體幾何解答題的第2問． 二、例題講解
例1 已知ａ、ｂ、ｃ是兩兩異面的三條直線，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂線．若ｃ⊥ａ，那么ｃ與ｄ有何位置關(guān)系?并說明理由．
講解：構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膸缀误w是判斷空間諸條直線位置關(guān)系的最佳思維選擇，因?yàn)閹缀误w具有直觀和易于判斷之優(yōu)點(diǎn)．根據(jù)本題的特點(diǎn)，可考慮構(gòu)造正方體．
構(gòu)造正方體ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如圖7-1所示，因?yàn)锳B與CC１異面且垂直，BC是它們的公垂線，所以可記ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分別為ａ、ｂ、ｄ．
圖7-1
因?yàn)椋闩cａ、ｂ均異面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥側(cè)面ＡＤＤ１Ａ１，因此側(cè)面ＡＤＤ１Ａ１內(nèi)的任一直線均與ａ垂直．從圖中可以看出，側(cè)面ＡＤＤ１Ａ１內(nèi)的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均與ａ、ｂ異面，且均與ａ垂直，所以可記Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ為ｃ．此時(shí)由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ與BC異面知ｃ與ｄ為異面直線．
綜上可知ｃ與ｄ平行或異面．
正方體是一個(gè)很簡單且很重要的幾何模型．構(gòu)造它可直觀、簡捷地判斷線線、線面關(guān)系，特別是有關(guān)異面直線的問題易于解決． 下面一組題目供讀者思考練習(xí)：
（1）無論怎樣選擇平面，兩條異面直線在該平面內(nèi)的射影都不可能是（ ）． A．兩條平行直線 B．兩條相交直線 C．一條直線和直線外一點(diǎn) D．兩個(gè)點(diǎn)
（2）在空間中，記集合M={與直線l不相交的直線}，集合N={與直線l平行的直線}，則M與N的關(guān)系是（ ）． A．M=N B．M C．M
N N
D．不確定
（3）a、b、c是空間中的三條直線，則下述傳遞關(guān)系中，為真命題的是（ ）． A．若a∥b,b∥c，則a∥c B．若a⊥b,b⊥c,則a⊥c
C．若a與b相交，b與c相交，則a與c相交 D．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面
（4）同時(shí)與兩條異面直線都相交的兩條直線一定不是（ ）． A．異面直線 B．相交直線 C．平行直線 D．垂直直線
圖7-4
∵ ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，
∴ ＡＢ１∥ＢＤ１．
則∠Ｃ１ＢＤ１即為所求異面直線所成的角．
易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝
２２，Ｃ１Ｄ１＝2·２ｓｉｎ60°＝． 又∵ ＢＣ１＋ＢＤ１＝Ｃ１Ｄ１，
∴ ∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．
解法3．可從B１作一射線與BC１平行，由于這樣一條射線雖然位置確定，并在側(cè)面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但卻位于已知三棱柱外面，因而無法尋求與已知條件的聯(lián)系．為了解決這一難點(diǎn)，可在已知三棱柱的下面作一個(gè)同樣的三棱柱．
作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１為ＣＣ２之中點(diǎn)（圖7-5），連結(jié)Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，
圖7-5
∵ ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，
∴ Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，則∠ＡＢ１Ｃ２即為所求異面直線所成的角．
易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．
究竟選擇體內(nèi)還是體外平移，應(yīng)“因圖而異”，總之以簡潔、直觀為宜．若能注意到知識間的相互滲透，本題也可通過建立直角坐標(biāo)系，利用解析法求解，請讀者不妨一試．
例3 正四面體ABCD的棱長為a,E為CD上一點(diǎn)，且CE／ED＝1／2，求異面直線AE與BC間的距離． 講解：求異面直線間的距離通常有三種方法，一是定義法，二是公式法，三是轉(zhuǎn)化法．這里宜用方法
三．異面直線間的距離可轉(zhuǎn)化為平行線面間的距離，進(jìn)而可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，再用等體積法求解． 如圖7-6，在面BCD內(nèi)過點(diǎn)E作EF∥BC交BD于F．連結(jié)AF，則BC∥面AEF，所以異面直線BC與AE間的距離就等于BC到平面AEF的距離，也就等于點(diǎn)B到平面AEF的距離，設(shè)其為d，連結(jié)BE，設(shè)正四面體的高為
h.
圖7-6
∵VB-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，
∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，
∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.
過點(diǎn)A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．
∵h(yuǎn)=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，
／9）a，
／6）a.
／6）a. ２ S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（ S△BEF＝（／18）a，∴d=（２ 即異面直線AE與BC間的距離為（
用等體積法求點(diǎn)到面的距離，首先應(yīng)構(gòu)造以該點(diǎn)為頂點(diǎn)，以該平面內(nèi)某個(gè)三角形為底面的三棱錐．其次求體積時(shí)，一般需換底面，換底面應(yīng)本著新的底面上的高容易求出的原則．
三、專題訓(xùn)練
1．ａ、ｂ是異面直線，過不在ａ、ｂ上的任一點(diǎn)Ｐ，
①一定可作一條直線ｌ，使ｌ與ａ、ｂ都相交；
②一定可作一條直線ｌ，使ｌ與ａ、ｂ都垂直；
③一定可作一條直線ｌ，使ｌ與ａ、ｂ都平行；
④一定可作一條直線ｌ，使ｌ與ａ、ｂ都異面．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）．
Ａ．0
Ｂ．1
Ｃ．2
Ｄ．3
2．如圖7-7，正三棱錐Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分別是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中點(diǎn)，P為VB上任意一點(diǎn)，則直線DE與PF所成的角的大小是（ ）．
圖7-7
Ａ．π／6
Ｂ．π／3
Ｃ．π／2
Ｄ．隨P點(diǎn)的變化而變化
3．將銳角B為60°，邊長為a的菱形ABCD沿對角線折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，則兩條對角線之間的距離的最值為（ ）．
A．dmax=（3／2）a,dmin=（
B．dmax=（3／4）a,dmin=（／4）a ／4）a
C．dmax=（
D．dmax=（／4）a,dmin=（1／4）a ／2）a,dmin=（3／4）a
4．圖7-8是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，①ＢＭ與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．
圖7-8
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是（ ）．
Ａ．①②③
Ｂ．②④
Ｃ．③④
Ｄ．②③④
5．如圖7-9，正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長相等．如果E、F分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于
____________.
圖7-9
6．空間四邊形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分別為AB、CD的中點(diǎn)，又MN和AD成30°角，則AD和BC所成角的度數(shù)是____________．
7．異面直線ａ、ｂ所成的角為θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，則Ｍ１Ｎ１＝____________．
8．如圖7-10，不共面的三條直線ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c， 且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均異于P．證明：直線AD與BC異面．
圖7-10
9．如圖7-11，拼接一副三角板，使它們有公共邊BC，且使兩個(gè)三角板所在平面互相垂直．若∠CAB＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD與BC所成的角．
圖7-11
10．已知ａ、ｂ是兩條異面直線，那么空間是否存在這樣的直線ｌ，使ｌ上任意一點(diǎn)P到ａ、ｂ的距離都相等．若存在，給出證明，若不存在，說明理由．
惠州市第一中學(xué)立體幾何（異面直線）測試題
一．選擇題：
1．直線a, b是異面直線是指
① a∩b=?, 且a與b不平行；② a?面α，b?面β，且平面α∩β=?；③ a?面α，b?面β，且a∩b=?；④ 不存在平面α，能使a?α且b?α成立。上述結(jié)論正確的有
（A）①④ （B）②③ （C）③④ （D）②④
2．直線a, b都垂直于直線l，則直線a, b的位置關(guān)系是
（A）平行 （B）相交 （C）異面 （D）三種可能都有
3．兩條異面直線的距離是
（A）和兩條異面直線都垂直相交的直線 （B）和兩條異面直線都垂直的線段
（C）它們的公垂線夾在垂足間的線段長 （D）兩條直線上任意兩點(diǎn)間的距離
4．若a, b是異面直線，c是a, b的公垂線，d//c, 則d和a, b的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是
（A）1 （B）最多為1 （C）2 （D）1或2
5．若兩條直線a, b異面垂直，兩條直線b, c也異面垂直，則a, c的位置關(guān)系是
（A）平行 （B）相交、異面 （C）平行、異面 （D）相交、平行、異面
6．若a, b, c是兩兩互相垂直的異面直線(每兩條成異面直線)，直線d是a, b的公垂線，那么c與d的位置關(guān)系是
（A）相交 （B）平行 （C）相交或垂直 （D）垂直
7．已知a, b是一對異面直線，且a, b成60°角，則在過P點(diǎn)的直線中與a, b所
成的角均為60°的直線有
（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條
8．空間四邊形ABCD的各邊與兩條對角線的長均為1，點(diǎn)P在邊AB上移動(dòng)，點(diǎn)Q在邊CD上移動(dòng)，則點(diǎn)P和點(diǎn)Q的最短距離為
（A）312 （B） （C） （D） 2422
9．在正方體ABCD－A’B’C’D’的各個(gè)面上的對角線中，與面對角線AB’成60°角的異面直線有
（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條
10．在棱長a為的正方體AC’中，與其中一條棱所在的直線異面，并且距離為a的棱共有
（A）4條 （B）5條 （C）6條 （D）7條
二．填空題：
11．異面直線所成的角為θ，則θ的取值范圍是。
12．和兩條異面直線都垂直的直線有相交的直線有 條。
13．在正方體ABCD－A’B’C’D’中，異面直線AA’和BC’所成的角為AC與BC’所成的角為
14．在棱長a為的正方體AC’中，異面直線BD’與AA’的距離為；BD’與AC的距離為 。
15．AB是異面直線a, b的公垂線段，AB=2cm，a, b所成的角為90°，A, C∈a，B,D∈b，AC=4cm, BD=4cm，那么C, D兩點(diǎn)間的距離為
16．在正方體ABCD－A1B1C1D1的12條棱中，與對角線AC1所成的角的正弦值
為 條。 3
17．空間四邊形ABCD中，E F, G, H分別是AB, BC, CD
,
Q在線段CD上，則點(diǎn)P與Q的最小距離是
（A）a （B）132a （C）a （D）a 222
2．若異面直線a, b所成的角為80°，則過空間任一點(diǎn)P可做不同的直線與a, b所成的角都是50°，可做直線的數(shù)目為
（A）1條 （B）2條 （C）3條 （D）4條
3．ABCD是空間四邊形，邊AB, BC, CD, DA所在直線中，
互相垂直的直線至多有
（A）3對 （B）4對 （C）5對 （D）6對
4．如圖， ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°，點(diǎn)D1, E1
分別是A1B1, A1C1的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，則BD1與AE1
所成的角的余弦值是
（A
1 （B
（C） （D
25．異面直線a, b，a⊥b，c與a成30°角，則c與b所成的角的大小范圍是
（A）[60°, 90°] （B）[30°, 90°] （C）[60°, 120°] （D）[30°, 120°]
6．在正方體AC1中，E, F分別是AB, BB1的中點(diǎn)，則A1E與C1F所成的角的余弦值是
（A）212 （B） （C） （D
252
二．填空題：
7．在空間四邊形ABCD中，E, F, G, H分別是AB,BC, CD, DA的中點(diǎn)，如果AC=BD，則四邊形EFGH是；如果EG=FH，則AC與BD的位置關(guān)系是 ；如果∠EFG=130°，則異面直線AC與BD所成的角是 。
8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E, F, G, H, M, Q分別是棱AB, BC, CD, CC1, C1D1, DD1的中點(diǎn)，CM則AA1與所成的角的正切值等于 ；
EF
與GH所成的角為 ；BH與HQ所成的角為 。
9．空間四邊形ABCD連對角線構(gòu)成一個(gè)正四面體，E, F分別是AB, CD上的點(diǎn)，并且AECF???(??0)，若EF分別與AC, BD所成的角為α和β，則α+β的大EBFD
小為
10．在正方體ABCD－A1B1C1D1的各面的12條對角線中，與正方體的對角線A1C垂直的共有 條。
三．解答題：
11．長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2a, AA1=a，E,H分別是A 1B 1和BB1的中點(diǎn)，求EH與AD 1所成角的余弦值。
12．長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=AD=2, AA1=1，E是AA1的中點(diǎn)，
（1）求證：AC1, BD1, CA1, DB1共點(diǎn)于O，且互相平分；
（2）求證：EO⊥BD1, EO⊥AA1；
（3）求異面直線AA1和BD1所成
角的余弦值；
（4）求異面直線AA1和BD1間的距離。
參考答案
求異面直線所成的角
祁正紅
求異面直線所成的角，一般有兩種方法，一種是幾何法，這是高二數(shù)學(xué)人教版（A）版本倡導(dǎo)的傳統(tǒng)的方法，其基本解題思路是“異面化共面，認(rèn)定再計(jì)算”，即利用平移法和補(bǔ)形法將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，結(jié)合余弦定理來求。還有一種方法是向量法，即建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的代數(shù)法和幾何法求解，這是高二數(shù)學(xué)人教版（B）倡導(dǎo)的方法，下面舉例說明兩種方法的應(yīng)用。
例：長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。
解法1：平移法
設(shè)A1C1與B1D1交于O，取B1B中點(diǎn)E，連接OE，因?yàn)镺E//D1B，所以∠C1OE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角△C1OE中
15A1C1?22
113OE?BD1??22?22?1?222OC1?
222CE?BC?BE??1?2 1111
2OC1?OE2?C1E2
所以cos?C1OE?2OC1?OE2
2??3?????????2??2????32??22
5?5 22?2
5所以?C1OE?arcc5
所以異面直線A1C1與BD1所成的角為arccos
5
圖1
解法2：補(bǔ)形法
在長方體ABCD—A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長方體，將AC平移到BE，則∠D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在△BD1E中，BD1=3，BE?5，D1E?42?22?5
2BD1?BE2?D1E2
cos?D1BE?2BD1?BE
32?
5???2?222?3?5 ??
所以異面直線A1C1與BD1所成的角為arccos5
5
圖2
解法3：利用公式cos??cos?1?cos?2
設(shè)OA是平面α的一條斜線，OB是OA在α內(nèi)的射影，OC是平面α內(nèi)過O的任意一條直線，設(shè)OA與OC、OA與OB、OB與OC所成的角分別是?、?1、?2，則cos??cos?1?cos?2（注：在上述題設(shè)條件中，把平面α內(nèi)的OC換成平面α內(nèi)不經(jīng)過O點(diǎn)的任意一條直線，則上述結(jié)論同樣成立）D1B在平面ABCD內(nèi)射影是BD，AC看作是底面ABCD內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的一條直線，BD與AC所成的角為∠AOD，D1B與BD所成角為∠D1BD，設(shè)D1B與AC所成角為?，cos??cos?D1BD?cos?AOD，cos?D1BD?BD5?BD15。
OD2?OA2?AD2
cos?AOD?2OD?OA
12?2??2?3??????5552??22
cos??cos?D1BD?cos?AOD
53?355
5 22
所以??arccos5
5
所以異面直線A1C1與BD1所成的角為arccos5
圖3
圖5
解法6：利用公式
AD2?BC2?AB2?DC2
cos??
2AC?BD
定理：四面體A—BCD兩相對棱AC、BD間的夾角?必滿足
AD2?BC2?AB2?DC2
cos?
2AC?BD
圖6
解：連結(jié)BC1、A1B在四面體B?A1C1D1中，異面直線A1C1與BD1所成的角是?，易求得A1C1?
BC1?,A1B?22,BD1?3
圖7
A1D1?BC1?A1B2?D1C1
cos??
2A1C1?BD1
由定理得：
12?5
5
22
5???22?
2
2
22
2??3
所以
arccos
5
異面直線及其所成的角
【教學(xué)目標(biāo)】1. 掌握空間兩直線的位置關(guān)系，掌握異面直線的概念，會(huì)用反證法和異面直
線的判定定理證明兩直線異面；
2.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角。
【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】異面直線的概念、判定及計(jì)算它們所成的角。 【教學(xué)過程】 （一）復(fù)習(xí)：
1．公理4及等角定理；
2．同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系，觀察空間兩直線的位置關(guān)系。
（二）新課講解：
1．異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線。
2．異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線。 A 推理模式：A??,B??,l??,B?l?AB與l是異面直線。 B證明 ：假設(shè) 直線AB與l共面，
∵B??,l??,B?l，∴點(diǎn)B和l確定的平面為?， ∴直線AB與l共面于?，∴A??，與A??矛盾， 所以，AB與l是異面直線． 3．異面直線的畫法：
b
a
例1．如圖，已知不共面的直線a,b,c相交于O點(diǎn)，M,P是直線a上的兩點(diǎn)，N,Q分別是
b,c上的一點(diǎn)。
求證：MN和PQ是異面直線。 證（法一）：假設(shè)MN和PQ不是異面直線，則MN與PQ在同一平面內(nèi)，設(shè)為?， ∵M(jìn),P?a,M,P??，∴a??，又o?a，∴o??， ∵N??,O?b,N?b， ∴b??，
同理c??，∴a,b,c共面于?，與已知a,b,c不共面相矛盾， 所以，MN和PQ是異面直線。
O（法二）：∵a?c?O，∴直線a,c確定一平面設(shè)為?，
∵P?a,Q?c，∴P??,Q??， ∴PQ??且M??,M?PQ，
又a,b,c不共面，N?b，∴N??， 所以，MN與PQ為異面直線。
4．異面直線所成的角：已知兩條異面直線a,b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a?//a,b?//b，a?,b?所成的角的大小與點(diǎn)O的選擇無關(guān)，把a(bǔ)?,b?所成的銳角（或直角）叫異面直線a,b所成的角（或夾角）．
說明：為了簡便，點(diǎn)O通常取在異面直線的一條上。
5．異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直．兩條異面直線a,b 垂直，記作a?b．
D 例2．正方體ABCD?A?B?C?D?中．
A? （1） 那些棱所在的直線與直線BA?是異面直線？
（2） 求BA?與CC?夾角的度數(shù)．
（3） 那些棱所在的直線與直線AA?垂直？ 解：（1）由異面直線的判定方法可知，
與直線BA?成異面直線的有直線B?C?,AD,CC?,DD?,DC,D?C?， （2）由BB?//CC?，可知?B?BA?等于異面直線BA?與CC?的夾角，
D
C
A所以異面直線BA?與CC?的夾角為45．
（3）直線AB,BC,CD,DA,A?B?,B?C?,C?D?,D?A?與直線AA?都垂直。
例3．空間四邊形ABCD中，AD?BC?2，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，EF? 求異面直線AD,BC所成的角。
解：取BD中點(diǎn)G，連結(jié)EG,FG,EF，∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，
A E11
AD?1,FG?BC?1， 22
∴異面直線AD,BC所成的角即為EG,FG所成的角，
∴EG//AD,FG//BC,且EG?
2
2
2
D
EG?FG?EF1
， 在?EGF中，cos?EGF?
2EG?FG2 ??
∴?EGF?120，異面直線AD,BC所成的角為60．
說明：異面直線所成的角是銳角或直角，當(dāng)三角形?EGF內(nèi)角?EGF是鈍角時(shí)，表示異面直線AD,BC所成的角是它的補(bǔ)角。
B
五．鞏固練習(xí)：課本 練習(xí)1，2，3，4．
六．小結(jié)：1．異面直線的概念、判斷及異面直線夾角的概念；
2．證明兩直線異面的一般方法是“反證法”或“判定定理”；求異面直線的夾角的一般步驟是：“作—證—算—答”。
七．作業(yè)：
1．已知平面?,?相交于直線a，直線b在?內(nèi)與直線a相交于A點(diǎn)，直線c在平面?內(nèi)，且c//a，求證：b,c是異面直線。
2．空間四邊形ABCD中，對角線AC?8，BD?6，M,N分別為AB,CD的中點(diǎn)，且
GMN?5，求異面直線AC,BD所成的角。
3．在空間四邊形ABCD中，BD?4，AC?6，且AC?BD，M,N分別為AB,CD的中點(diǎn)，求MN及MN與BD所成角的正切值。
【易錯(cuò)點(diǎn)61】在求異面直線所成角，直線與平面所成的角以及二面角時(shí)，容易忽視各自所成角的范圍而出現(xiàn)錯(cuò)誤。
例61、如圖，在棱長為1的正方體
ABCD?A1BC11D1中，M，N，P分別為A1B1,BB1,CC1的中點(diǎn)。
求異面直線D1P與AM,CN與AM所成的角。 [易錯(cuò)點(diǎn)分析]異面直線所成角的范圍是?
00,900??，在利用余弦定理求異面直線所成角時(shí)，若出現(xiàn)角
的余弦值為負(fù)值，錯(cuò)誤的得出異面直線所成的角為鈍角，此時(shí)應(yīng)轉(zhuǎn)化為正值求出相應(yīng)的銳角才是異面直線所成的角。 解析：如圖，連結(jié)則PN//
A1N，由N,P為BB1,CC1中點(diǎn)，
ADM
1
A1D1,PN?A1D1,從而A1N//D1P
AM和D1P所成的角。
N
D
A
B
P C
故AM和D1P所成的角為
易證Rt?AA1M≌Rt?A1B1N。所以故D1P與AM所成的角為90。 又設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則B1Q//就是?PBQ。 1（或其補(bǔ)角）
A1N?AM，
AM,B1Q?AM.又?CN//B1P,CN?B1P,從而CN與AM所成的角
易求得B1Q?B1P?
2PQ?在?PB1Q中，由余弦定理得cos?PB1Q?，
5故CN與AM所成的角為arccos
2
。 5
【知識點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】在歷屆高考中，求夾角是不可缺少的重要題型之一，要牢記各類角的范圍，兩條異面直線所成的角的范圍：0取值范圍：0
900；直線與平面所成角的范圍：00???900；二面角的平面角的
1800。同時(shí)在用向量求解兩異面直線所成的角時(shí)，要注意兩異面直線所成的角與兩
向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別。
【練61】（濟(jì)南統(tǒng)考題）已知平行六面體
ABCD--A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的的正方形，
側(cè)棱
（1）求對角線AC1的長（2）求直線AA1的長為2，且側(cè)棱AA1和AB與AD的夾角都等于120?，
（1BD1與AC的夾角值。答案：
2）（提示采用向量方法，以AA1、AB、AD
為一組基底，求得cosBD1,AC?）
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