解直角三角形及其應(yīng)用
◆課前熱身
1.圖1是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖．其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線，∠ABC=150°，BC的長(zhǎng)是8 m，則乘電梯從點(diǎn)B到點(diǎn)C上升的高度h是（ ）
A
m
C
． m
B．4 m
D．8 m
2.如圖2,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為2 0，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（ ）
A. 521 B. 25 C. 105?5 D. 35
3.如圖3，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為?的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（ ）
圖
2
5
cos?5
C. 5sin? D.
sin?
A. 5cos? B.
4.如圖4，在Rt△ABC中，?ACB?90°，BC?1，AB?2，則下列結(jié)論正確的是（ ） A
．sinA?
1 B．tanA?
22
圖4
C
．cosB?
D
．tanB?2
5.如圖5，在平地上種植樹木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹間的坡面距離為（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m 【參考答案】 1. B
【解析】過點(diǎn)B作直線AB的垂線，，垂足為E，在Rt△BCE中，sin∠CBE=sin30°=
CE
，即BC
h1
，所以h=4m. 【點(diǎn)評(píng)】作垂線構(gòu)造直角三角形，因?yàn)橹佬边呴L(zhǎng)，所以利82
用已知銳角的正弦關(guān)系解答即可.本題還可以利用“直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”來求解. 2. B
【解析】根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“勾股定理”螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，較短爬行路線有以下4條（紅色線段表示）.計(jì)算可知最短的是第2條.
【點(diǎn)評(píng)】在立體圖形上找最短距離，通常要把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形（即表面展開圖）來
解答，但是不同的展開圖會(huì)有不同的答案，所以要分情況討論.
3. B【解析】利用銳角三角函數(shù)解答，在以AB為斜邊的直角三角形中，cos??
以AB=
5
，所AB
5
.【點(diǎn)評(píng)】在直角三角形中，根據(jù)已知邊、角和要求的邊、角確定函數(shù)關(guān)系. cos?
4. D 【解析】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值.由已知可知∠A=30°，∠B=60°，對(duì)照 30°、60°的三角函數(shù)值選擇正確答案. 【點(diǎn)評(píng)】熟記特殊角30°、45°、60°的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.本題也可以通過勾股定理計(jì)算出AC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)定義判斷. 5. A 【解析】考查了勾股定理和坡度的定義.坡度即坡比是鉛直高度與水平寬度的比，在
這里設(shè)鉛直高度為h米，則有h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相鄰兩樹間的坡面距離為32?42=5m.
【點(diǎn)評(píng)】在理解坡度、坡面距離、水平距離等概念的基礎(chǔ)上，通過直角三角形的知識(shí)來解答.
1．掌握并靈活應(yīng)用各種關(guān)系解直角三角形，這是本節(jié)重點(diǎn)．
2．了解測(cè)量中的概念，并能靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決某些實(shí)際問題，而在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題時(shí)，·怎樣合理構(gòu)造直角三角形以及如何正確選用直角三角形的邊角關(guān)系是本節(jié)難點(diǎn)，也是中考的熱點(diǎn)． ◆備考兵法
正確地建立解直角三角形的數(shù)學(xué)模型以及熟悉測(cè)量，航海，航空，·工程等實(shí)際問題中的常用概念是解決這類問題的關(guān)鍵．
注意：（1）準(zhǔn)確理解幾個(gè)概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角． （2）將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵是畫出符合題意的圖形．
（3）在一些問題中要根據(jù)需要添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，·從而轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題． ◆考點(diǎn)鏈接
1．解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_____________叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的類型：
已知____________；已知___________________． 3．如圖（1）解直角三角形的公式：
（1）三邊關(guān)系：__________________．
（2）角關(guān)系：∠A+∠B＝_____，
（3）邊角關(guān)系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
4．如圖（2）仰角是____________,俯角是____________．
5．如圖（3）方向角：OA：_____，OB：_______，OC：_______，OD：________． 6．如圖（4）坡度：AB的坡度iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．
O
B
A C
（圖2） （圖3） （圖4）
例1（2009年安徽省）長(zhǎng)為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整成60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了 ______m．
【答案】 （約0.64）.
【解析】涉及知識(shí)點(diǎn)有銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.4m的梯子、地面和墻高構(gòu)成了直角三角形，當(dāng)梯子搭在墻上與地面成45°的角時(shí)，梯子的頂端到地面的距離是4×sin45°=22，當(dāng)梯子搭在墻上與地面成60°的角時(shí)，梯子的頂端到地面的距離是4×sin60°=2.則梯子的
頂端沿墻面升高了 （約0.64）m．
【點(diǎn)評(píng)】把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形即直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或勾股定理解答即可. 例2（2009年山東臨沂）如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45°方向上． （1）求出A，B兩村之間的距離；
（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P
東
【分析】（1）設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O，那么三角形AOC和BOD是兩個(gè)等要直角三角形，根據(jù)A、B到公路的距離，利用勾股定理計(jì)算AO、BO，進(jìn)而計(jì)算AB的長(zhǎng)度.或者以AB為斜邊構(gòu)造直角三角形解答.（2）作AB的垂直平分線，與公路l的交點(diǎn)即為所求.
【答案】解：（1）方法一：設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O，根據(jù)題意可得?A??B?45°．
△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．
AO?
BO?
． ?A，
B兩村的距離為AB?AO?BO??km）方法二：過點(diǎn)B作直線l的平行線交AC的延長(zhǎng)線于E． 易證四邊形CDBE是矩形，
CE?BD?2．
在Rt△AEB中，由?A?45°，可得BE?EA?3．
AB?km）
A，
B兩村的距離為．
（2）作圖正確，痕跡清晰．
C
P
D
l
1
作法：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長(zhǎng)為
2
半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)M，N， 作直線MN；
②直線MN交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．
【點(diǎn)評(píng)】（1）點(diǎn)到線的距離是垂線短的長(zhǎng)，所以圖形中就包含了直角三角形，然后利用勾股定理計(jì)算便是.本題也可以利用銳角三角函數(shù)計(jì)算.（2）“到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上”把握這個(gè)特征是找出確切位置的基礎(chǔ). ◆迎考精練 一、選擇題
1.（2009年山東泰安）在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小亮從位于A點(diǎn)的營(yíng)地出發(fā)，沿北偏東60°方向走了5km到達(dá)B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到達(dá)C地，測(cè)得A地在C地南偏西30°方向，則A、C兩地的距離為 A.
5km B.km 33
第1題圖
C.52km D.5km
2.（2009年山東濰坊）如圖，小明要測(cè)量河內(nèi)小島B到河邊公路 l的距離，在A點(diǎn)測(cè)得?BAD?30°，在C點(diǎn)測(cè)得?BCD?60°，
又測(cè)得AC?50米，則小島B到公路l的距離為（ ）米．
2題
D
6.（2009年湖南衡陽）某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米，此時(shí)他與水平地面的垂直距離為2米，則這個(gè)坡面的坡度為__________.
7.（2009年湖北孝感）如圖，角?的頂點(diǎn)為O，它的一邊在x軸的正半軸上，另一邊OA上有一點(diǎn)P（3，4），則 sin?? ．
三、解答題
1.（2009年河南省）如圖所示，電工李師傅借助梯子安裝天花板上距地面2 .90m的頂燈.已知梯子由兩個(gè)相同的矩形面組成，每個(gè)矩形面的長(zhǎng)都被六條踏板七等分，使用時(shí)梯腳的固定跨度為1m．矩形面與地面所成的角α為78°.李師傅的身高為l.78m，當(dāng)他攀升到頭頂距天花板0.05～0.20m時(shí)，安裝起來比較方便.他現(xiàn)在豎直站立在梯子的第三級(jí)踏板上，請(qǐng)你通過計(jì)算判斷他安裝是否比較方便?
(參考數(shù)據(jù)：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈
4.70.)
2.（2009年福建福州）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：
（1） 用簽字筆畫AD∥BC（D為格點(diǎn)），連接CD； ．．．（2） 線段CD的長(zhǎng)為 ；
（3） 請(qǐng)你在△ACD的三個(gè)內(nèi)角中任選一個(gè)銳角，若你所選的銳角是 ，則它所對(duì)．．
應(yīng)的正弦函數(shù)值是 .
（4） 若E為BC中點(diǎn)，則tan∠CAE的值是
3.（2009年山東德州）如圖，斜坡AC的坡度（坡比）為1:，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．
4.（2009年浙江臺(tái)州）如圖，有一段斜坡BC長(zhǎng)為10米，坡角?CBD?12，為方便殘疾人的輪椅車通行，現(xiàn)準(zhǔn)備把坡角降為5°．
（1）求坡高CD；
（2）求斜坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B的距離（精確到0.1米）．
C
參考數(shù)據(jù) sin12°?0.21 cos12°?0.98 tan5°?0.09
A
5°
B
（第4題）
12°
D
5.（2009年河北?。┤鐖D是一個(gè)半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于點(diǎn)E．已測(cè)得sin∠DOE = （1）求半徑OD；
（2）根據(jù)需要，水面要以每小時(shí)0.5 m的速度下降，則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間才能將水排干？
12． 13
6.（2009年江蘇?。┤鐖D，在航線l的兩側(cè)分別有觀測(cè)點(diǎn)A
O
和B，點(diǎn)A到航線l的距離為2km，點(diǎn)B位于點(diǎn)A北偏東60°方向且與A相距10km處．現(xiàn)有一艘輪船從位于點(diǎn)B南偏西76°方向的C處，正沿該航線自西向東航行，5min后該輪船行至點(diǎn)A的正北方向的D處． （1）求觀測(cè)點(diǎn)B到航線l的距離；
sin76°≈0.97，（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1km/h）．（
1.73，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）
O
7.（2009年湖南婁底）在學(xué)習(xí)實(shí)踐科學(xué)發(fā)展觀的活動(dòng)中，某單位在如圖所示的辦公樓迎街的墻面上垂掛一長(zhǎng)為30米的宣傳條幅AE，張明同學(xué)站在離辦公樓的地面C處測(cè)得條幅頂端A的仰角為50°，測(cè)得條幅底端E的仰角為30°. 問張明同學(xué)是在離該單位辦公樓水平距離多遠(yuǎn)的地方進(jìn)行測(cè)量？（精確到整數(shù)米）（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）
8.（2009年山東煙臺(tái)）騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座“騰飛”雕塑（如圖①）.為了測(cè)量雕塑的高度，小明在二樓找到一點(diǎn)C，利用三角板測(cè)得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30°，底部B點(diǎn)的俯角為45°，小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60°（如圖②）.若已知CD為10米，請(qǐng)求出雕塑AB的高度．（結(jié)果精確到0.1
1.73）．
①
②
A
C D
9.（2009年山東濟(jì)南）九年級(jí)三班小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“測(cè)量物體高度”一節(jié)課后，他為了測(cè)得右圖所放風(fēng)箏的高度，進(jìn)行了如下操作：
（1）在放風(fēng)箏的點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得風(fēng)箏C的仰角∠CBD?60?； （2）根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)度為70米； （3）量出測(cè)傾器的高度AB?1.5米．
根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出風(fēng)箏的高度CE約為 米．（精確到0.1
米，
60°
C
1.73）
D 10.（2009年山東威海）如圖，一巡邏艇航行至海面B處時(shí)，得知其正北方向上C處一漁船發(fā)生故障．已知港口A處在B處的北偏西37方向上，距B處20海里；C處在A處的北
偏東65方向上．求B,C之間的距離（結(jié)果精確到0.1海里）．
cos37?0.80，tan37?0.75，參考數(shù)據(jù)：sin37?0.60， sin65??0.91，cos65??0.42，tan65??2.14.
11.（2009年廣東省）如圖所示，A、B兩城市相距100km．現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市間修筑一條高速公路（即線段AB），經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)．請(qǐng)問計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．為什么？
【參考答案】 選擇題 1. A
【解析】此題考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.由方位角可求得∠BAC=30°，∠ABC=90°，所以由∠BAC的余弦定義得cos30°=
AB53
，所以AC=??km.【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)角度
ACAC23
判斷三角形的形狀，再選擇適當(dāng)?shù)年P(guān)系式. 2.
【解析】過點(diǎn)B作BE垂直于AC，垂足為E，因?yàn)?BAD?30°，?BCD?60°，所以∠ABC=∠BAD=30°，則BC=AC=50，在Rt△BCE中，sin∠BCD=
BE
，所以小島B到公路l的距離BC
BE=BC·sin∠BCD=50×
=. 【點(diǎn)評(píng)】遇到非直角三角形的問題，通常最垂2
線構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或勾股定理解答. 填空題
1. 13【解析】知識(shí)點(diǎn)：勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).由5+12=13
2
2
2
2
知△ABC是直角三角形，AC是斜邊，所以BD=
1
AC=13cm. 【點(diǎn)評(píng)】由數(shù)量關(guān)系判斷三角形22
的形狀，這是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).學(xué)習(xí)時(shí)要注意把直角三角形所有的知識(shí)都?xì)w納起來，從而達(dá)到綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.
2. 3.5【解析】知識(shí)點(diǎn)：等腰三角形三線合一的性質(zhì)、坡角?函數(shù)關(guān)系、計(jì)算器的操作.根據(jù)三線合一的性質(zhì)可知，坡屋頂高度h把等腰三角形分成了兩個(gè)全等的直角三角形，且有tan?=
h
，所以h約為3.5米. 【點(diǎn)評(píng)】利用三線合一的性質(zhì)把等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三5
角形，利用相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系時(shí)解答. 3.
1
【解析】由題意可知，△ABC平移的距離是等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)，過點(diǎn)A′作AD3
A?D1
=.【點(diǎn)評(píng)】準(zhǔn)確地構(gòu)造直角三角形是解答此題的關(guān)BD3
⊥B′C于點(diǎn)D，設(shè)A′D為a，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)則有BC=B′C′=2a，所以BD=3a，在Rt△A′BD中，tan?A?BC?=鍵.
4.
2
【解析】本題所考查的知識(shí)點(diǎn)有軸對(duì)稱、直角三角形斜邊的中線性質(zhì)、等邊對(duì)等角、3
5.
同角的余角相等、30°的正切函數(shù)值. 由CM是Rt△ABC斜邊的中線可得CM=AM，則∠A=∠ACM；由折疊可知∠ACM=∠DCM；又∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，則∠A =∠BCD，所以∠A=∠ACM=∠DCM=∠BCD=30°，因此tanA=tan30°=
.【點(diǎn)評(píng)】把直角三角形與等腰三角形結(jié)合起3
來，根據(jù)折疊的不變性轉(zhuǎn)化角與角之間的關(guān)系，求出角的大小，函數(shù)值即可躍然紙上. 6. 1：2 【解析】如圖，由題意得直角三角形ABC，AB=10米，AC=2米，由勾股定理得
1BC=45米，坡度為?
452
25
7.
4
(或0.8) 【解析】根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)利用勾股定理可以求得OP=32?42=5.所以 5
sin?=
的對(duì)邊
斜邊
4. 5
解答題
1. 【解析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，利用三角函數(shù)計(jì)算AE、DF，結(jié)合電工身高計(jì)算其頭頂?shù)教旎ò宓木嚯x在0.05～0.20m范圍內(nèi)即可判斷安裝方便；否則，不方便.
【答案】解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．
1
BC=0.5． 2
AE0
在Rt△ABC和Rt△DFC中，∵tan78=，
EC
∵AB=AC, ∴CE=
∴AE=EC×tan78 ?0.5×4.70=2.35.
AEDF
=， ACDC
DC3 DF=·AE=×AE?1.007．
AC7
又∵sinα=
李師傅站在第三級(jí)踏板上時(shí)，頭頂距地面高度約為：1.007+1.78=2.787． 頭頂與天花板的距離約為：2.90-2.787?0.11．∵0.05＜0.11＜0.20， ∴它安裝比較方便．
【點(diǎn)評(píng)】將等腰三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.
2. 【解析】按要求作圖，因圖中的三角形是格點(diǎn)三角形，所以線段的計(jì)算要用它與網(wǎng)格線構(gòu)成的直角三角形，通過勾股定理計(jì)算，然后計(jì)算有關(guān)銳角的函數(shù)值. 【答案】（１）如圖；
（２）5；
（３）∠CAD，
52(或∠ADC，) 55
（４）
1 2
【點(diǎn)評(píng)】選擇合適的格點(diǎn)直角三角形是計(jì)算線段長(zhǎng)、銳角三角函數(shù)值的基礎(chǔ).
3. 【解析】BC所在的三角形是斜三角形，所以它的高度無法直接求得，我們可以過點(diǎn)C作AD的垂線，結(jié)合坡比這個(gè)條件計(jì)算CE、AE，再計(jì)算BE，從而通過BE、CE的差求BC. 【答案】解：延長(zhǎng)BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD．
在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比為1
CAE＝30°，
1
∴ CE＝AC·sin30°＝10×＝5，
2AE＝AC·cos30°＝10
＝．
B
在Rt△ABE中，BE
＝11． ∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．
D
E
A
答：旗桿的高度為6米．
【點(diǎn)評(píng)】過合適的點(diǎn)作垂線構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)和勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)度.
4. 【解析】在Rt△BCD中，利用∠CBD的正弦計(jì)算CD，利用∠CBD的余弦計(jì)算BD；在Rt△ACD中，利用∠A的正切計(jì)算AD，AD與BD的差則是A、B的距離.
【答案】解：（1）在Rt?BCD中，CD?BCsin12? ?10?0.21?2.1（米）． （2）在Rt?BCD中，BD?BCcos12??10?0.98?9.8（米）； 在Rt?ACD中，AD?
CD2.1
23.33（米） ?，
tan5?0.09
AB?AD?BD?23.33?9.8?13.53?13.5（米）．
答：坡高2.1米，斜坡新起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離為13.5米．
【點(diǎn)評(píng)】這是一道銳角三角函數(shù)的應(yīng)用題，結(jié)合圖形和已知條件，選擇合適的函數(shù)關(guān)系式計(jì)算線段的長(zhǎng)度.
5. 【解析】根據(jù)垂徑定理可知DE的長(zhǎng)度，在Rt△DOE中，利用∠DOE的正弦求半徑OD，再利用勾股定理計(jì)算OE，然后結(jié)合水面下降的速度得時(shí)間. 【答案】解：（1）∵OE⊥CD于點(diǎn)E，CD=24，
1
∴ED =CD=12．
2
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE =
ED12
=， OD13
∴OD =13（m）．
（2）
5．
∴將水排干需： 5÷0.5=10（小時(shí)）．
【點(diǎn)評(píng)】在直角三角形中，已知一邊和與它相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式時(shí)用函數(shù)關(guān)系計(jì)算另一邊，當(dāng)知道兩條邊長(zhǎng)時(shí)，則用勾股定理計(jì)算第三邊.
6. 【解析】在Rt△OAD中，利用∠A的余弦關(guān)系求OA，便知OB的長(zhǎng)度，然后在Rt△BOE中利用∠OBE的余弦關(guān)系求BE；在Rt△OAD和Rt△BOE利用60°的正切關(guān)系求出OD、OE，便得DE，利用路程和時(shí)間求速度.
【答案】解：（1）設(shè)AB與l交于點(diǎn)O．
，AD?2，OA?在Rt△AOD中，?OAD?60°?OB?AB?OA?6． 又AB?10，
AD
4．
cos60°
，?BE?OB?cos60°?3（km）在Rt△BOE中，?OBE??OAD?60°．
觀測(cè)點(diǎn)B到航線l的距離為3km．
（2）在Rt△
AOD中，OD?AD?tan60°? 在Rt△
BOE中，OE?BE?tan60°?
DE?OD?OE?
在Rt△CBE中，
CBE?76°，BE?3，?CE?BE?tan?CBE?3tan76°．
CD?CE?DE?3tan76°?3.38．
5min?
1CD
h，?． ?12CD?12?3.38≈40.6（km/h）
112
12
答：該輪船航行的速度約為40.6km/h
【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)已知的邊和角，在相應(yīng)的直角三角形中選擇三角函數(shù)關(guān)系式計(jì)算線段的長(zhǎng)度即
距離.
7. 【解析】過D點(diǎn)作DF⊥AB于F點(diǎn)，DF的長(zhǎng)度便是張明同學(xué)是在離該單位辦公樓水平距離.
【答案】解：方法一：過D點(diǎn)作DF⊥AB于F點(diǎn)
F
在Rt△DEF中，設(shè)EF=x，則
在Rt△ADF中，tan50°
≈1.204分
×1.20
【答案】解：在Rt△CBD中，sin60°=
CDCD3
=， BC702
∴CD=35≈60.55
∴CE=CD+DE=CD+AB≈62.1（米） 答：風(fēng)箏的高度CE約為62.1米．
【點(diǎn)評(píng)】把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題——直角三角形，這是銳角三角函數(shù)的應(yīng)用.
10. 【解析】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中利用正弦、余弦函數(shù)計(jì)算BD、AD，在Rt△ACD中利用正切求CD，即可計(jì)算BC的長(zhǎng). 【答案】解：過點(diǎn)A作AD?BC，垂足為D． 在Rt△ABD中，AB?20，?B?37°，
·sin37°?20sin37°≈12． ∴AD?AB
BD?AB·cos37°?20cos37°≈16．
在Rt△ADC中，?ACD?65°， ∴CD?
AD12
≈≈5.61
tan65°2.14
BC?BD?CD≈5.61?16?21.61≈21.6（海里）
答：B，C之間的距離約為21.6海里．
【點(diǎn)評(píng)】把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，靈活利用銳角三角函數(shù)間接計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離.
11. 【解析】根據(jù)“垂線段最短”的道理，利用解直角三角形的知識(shí)計(jì)算P到公路AB的垂直距離，再與半徑50km作比較.
【答案】解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足，
A
C
B
F
，?BPC?45°，
則?APC?30°
AC?PC·tan30°，BC?PE·tan45°, ?AC?BC?AB，
PC·tan30°?PC·tan45°=100，
3?1??PC?100，
PC?503?≈50??3?1.732?≈63.4?50
答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．
【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)造直角三角形，通過三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算點(diǎn)到公路的距離，再與森林區(qū)域涉及的數(shù)據(jù)相比較，就能知道公路是否通過保護(hù)區(qū).
12. 【解析】要求護(hù)航艦所需時(shí)間，已知它的速度，必須要先計(jì)算出B、C兩處的距離. 【答案】解：由圖可知，∠ACB?30?，∠BAC?45? 作BD?AC于D（如圖）， 在Rt△ADB中，AB?20
∴BD?AB?sin45°?20?
北
北
C
∴BC?2??28 ∴
D
A
2
在Rt△BDC中，∠ACB?30?
28
≈0.47 60
∴0.47?60?28.2≈28（分鐘）
答：我護(hù)航艦約需28分鐘就可到達(dá)該商船所在的位置C． 【點(diǎn)評(píng)】“化斜為直”便可解決問題的目的. 13. 【解析】在Rt△ABC中，利用tanC=【答案】解：由題意得：
AB
求AB. AC
△ABC中，?BAC?90°，?ACB?60°，AC?550，
AB?AC?tan?
ACB≈≈952.6≈953（米）．
答：他們測(cè)得湘江寬度為953米．
【點(diǎn)評(píng)】在直角三角形中，已知一銳角和它的鄰邊、求對(duì)邊時(shí)，用正切函數(shù).
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