忽攸，接著忽攸
”。這樣看來，現(xiàn)代混沌學(xué)把混沌看作無序當(dāng)中的有序的“混沌有序”看起來矛盾但又的確是可以說得通的。
但是，我一種覺得“混沌數(shù)學(xué)”這個(gè)詞本身有點(diǎn)問題，因?yàn)榇蠹伊?xí)慣說數(shù)學(xué)是研究空間結(jié)構(gòu)的學(xué)問，而“混沌”本來就是無結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)本身也是建立在一系列不容再討論的公理之上的，如果目前我們這個(gè)支撐整個(gè)科學(xué)大廈的數(shù)學(xué)集合公理體系也是一個(gè)“噪音電路”，最后我們推演出來的最終的科學(xué)體系會(huì)不會(huì)是一片混沌？
但問題是，無序和有序有沒有相互包含性？究竟是無序在有序當(dāng)中，還是有序在混沌當(dāng)中？也就是說，無和有哪一個(gè)層次更高？這樣思考起來，若混沌是“無序當(dāng)中的有序”等于承認(rèn)無高于有了，似乎又同其確定論思想有所矛盾了。但是，噪音電路卻是在有序的框架下產(chǎn)生的無序，似乎又說明無可以被包含在有中。
混沌學(xué)對(duì)當(dāng)代哲學(xué)思想產(chǎn)生了不小的沖擊，同樣使得人們不得不思考我們現(xiàn)在要建立的有序社會(huì)的發(fā)展方向。如果說有無可以自行轉(zhuǎn)化，或者說轉(zhuǎn)化是必然的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的話，那么我們?cè)趺粗牢覀內(nèi)祟愋列量嗫嘟⑵饋淼纳鐣?huì)秩序不會(huì)毀于混沌之中？到目前為止，人類是有序運(yùn)動(dòng)的最高階段了，但是，智慧到了極致是什么？古人曰“大智若愚”，但是僅僅是“若”愚？還是真愚？《周期3則亂七八糟》如果是一個(gè)正確的規(guī)律的話，我們?cè)趺茨懿粨?dān)心我們建立的有序規(guī)則中沒有包含著周期“3”呢？“噪音電路”的存在告訴我們，如果我們?cè)O(shè)計(jì)的制度當(dāng)中具有一定的混沌因素存在，任何小小的擾動(dòng)都會(huì)對(duì)這個(gè)制度造成嚴(yán)重的沖擊直至它毀滅。
或許可以給人類自己一點(diǎn)寬慰的是，從宏觀層面論及的有和無的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是一種宇宙自然運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而不是微觀的有序運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而人類社會(huì)的運(yùn)行是人的操作行為的結(jié)果，不是“自行發(fā)展”的運(yùn)動(dòng)。我們可以糾正有序運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)的無序苗頭，比如我們可以去尋找有序的“噪音電路”中的周期3，改變這個(gè)電路的結(jié)構(gòu)，把3改為2或者5等等其它數(shù)?；蛘呶覀兊鹊较到y(tǒng)出現(xiàn)混沌苗頭的時(shí)候，徹底丟棄它而另立一套系統(tǒng)，從而避免人類社會(huì)從有序運(yùn)動(dòng)到混沌狀態(tài)的自行發(fā)展。
單純從數(shù)學(xué)來說，我們或許也無需擔(dān)心，因?yàn)榧热晃飿O必反，把邏輯發(fā)展到極致的數(shù)學(xué)科學(xué)本身導(dǎo)出的結(jié)論有多少可信性，是不是得到的“規(guī)律”本身就是一個(gè)“噪音”也不可知。數(shù)學(xué)的公理體系本身就是有“缺口”的，難道我們真的可以用“嚴(yán)格”的數(shù)學(xué)來解釋混沌世界嗎？
或許這一切思慮都是杞人憂天。 ^?^
閱讀鏈接
1．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=5843；
2．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6149；
3．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6412；
4．參閱文章：三生萬物——“３”是宇宙常數(shù)嗎？
【作者】 李曙華（女），杭州師范學(xué)院
【內(nèi)容提要】本文根據(jù)混沌學(xué)研究成果，闡明了“3 ”領(lǐng)先于一切自然數(shù)的物理意義，“3”不僅是系統(tǒng)走向混沌的第一關(guān)節(jié)點(diǎn)， 而且本身就蘊(yùn)涵著混沌，也是自然界“造就”混沌的基數(shù)。本文認(rèn)為，作為“無窮多”和生成演化意義的“3”，或許可以作為一個(gè)重要的宇宙常數(shù)，從而劃定牛頓力學(xué)適用的第三個(gè)邊界，并賦予中國(guó)古代“三生萬物”的道家思想以現(xiàn)代科學(xué)的詮釋。
關(guān)鍵詞 領(lǐng)先性；蘊(yùn)涵性；生成演化；三生萬物
【正文】
科學(xué)是不斷進(jìn)步的，正因如此，任何科學(xué)定律、理論、體系，都有其應(yīng)用界限，該界限往往以某個(gè)自然常數(shù)為標(biāo)志。在對(duì)無窮大和無窮小的探索中，光速v是牛頓力學(xué)運(yùn)用的第一個(gè)邊界，普朗克常數(shù)h是牛頓力學(xué)運(yùn)用的第二個(gè)邊界。目前，在涉及生長(zhǎng)、演化及其復(fù)雜性的領(lǐng)域，牛頓力學(xué)已不再適用，主要應(yīng)用非線性科學(xué)——其主體為混沌、分形和孤立子理論。代表某種“無窮多”和生成演化起點(diǎn)意義的“3”， 可以作為一個(gè)重要的自然常數(shù)，即宇宙常數(shù)，從而劃定牛頓力學(xué)運(yùn)用的第三個(gè)邊界嗎？
一、通向混沌的第一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)
對(duì)于混沌學(xué)，“3”確實(shí)是一個(gè)極為關(guān)鍵的數(shù)字。
追根溯源，混沌始于“三體問題”。早在十九世紀(jì)末，彭加勒就指出：“經(jīng)典力學(xué)對(duì)于單體問題、二體問題，都可給出精確的解答，但對(duì)三體問題，如日、月、地三者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，卻一直無法求出精確解。他證明，自然界大多數(shù)系統(tǒng)是不可積的，對(duì)這些系統(tǒng)，原則上不能求出精確解。三體問題正是其中之一?，F(xiàn)在已經(jīng)知道，這實(shí)際上就是一種保守系統(tǒng)的混沌。
二十世紀(jì)下半葉，混沌作為一門新興學(xué)科興起。1975年，約克和李天巖發(fā)表了具有開創(chuàng)意義的論文《周期三意味著混沌》，文中證明：“任何一維系統(tǒng)中，只要出現(xiàn)規(guī)則的周期3， 同一個(gè)系統(tǒng)也必然會(huì)給出其他任意長(zhǎng)的規(guī)則周期，以及完全混沌的循環(huán)。”[1]簡(jiǎn)單地說， 就是有三周期點(diǎn)，就有一切周期點(diǎn)。而點(diǎn)由于迭代產(chǎn)生的變化和發(fā)展正是動(dòng)力系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容?；煦纭狢HAOS這個(gè)詞不徑而走， 成為一門新科學(xué)的代表，它之具有嚴(yán)格的科學(xué)定義，似乎開始便與3 結(jié)下了不解之緣。
令人驚嘆的是，3的這種奇異的特性——即3的領(lǐng)先性，卻早在六十年代就已獲得了數(shù)學(xué)上的證明。烏克蘭數(shù)學(xué)家沙爾可夫斯基以其獨(dú)特的方式，重新排列了所有自然數(shù)：
先從小到大排出除1以外的所有奇數(shù)：3，5，7，9，11，……
接著是它們的2倍：3×2，5×2，7×2，9×2，11×2，……
然后是2[2]倍：3×2[2]，5×2[2]，7×2[2]，9×2[2]，11×2[2]，……
其后是2[3]倍，2[4]倍，2[5]倍，……
再?gòu)拇蟮叫∨懦?的所有方冪，直到……2[2]，2[3]……
自然數(shù)的這種排列次序，叫作沙爾可夫斯基次序。而對(duì)于連續(xù)的區(qū)間迭代，沙氏證明了：如果在沙氏次序中，M領(lǐng)先于N，則有M周期點(diǎn)，就一定有N周期點(diǎn)，這就是著名的沙爾可夫斯基定理。根據(jù)該定理，由于“3”領(lǐng)先于所有自然數(shù)，因此，如有一個(gè)周期是3的點(diǎn)，就必有周期是任意自然數(shù)的點(diǎn)。顯然，該定理包含了李—約克定理的基本內(nèi)容。它賦予“3”在所有自然數(shù)中領(lǐng)先的獨(dú)特地位。 只是當(dāng)時(shí)人們尚不能理解，為何要將自然數(shù)排成如此古怪的序列，并以此表達(dá)迭代周期之間的因果關(guān)系？“3”領(lǐng)先于一切其他自然數(shù)，其物理意義究竟是什么？ 直至混沌學(xué)再次發(fā)現(xiàn)了它。
對(duì)通向混沌道路的研究表明：“系統(tǒng)往往要在參量變化過程中先經(jīng)歷一系列周期制度，然后進(jìn)入混沌狀態(tài)。”而周期3正是系統(tǒng)走向混沌的第一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)，如：倍周期分岔進(jìn)入混沌：體現(xiàn)這種過程的最簡(jiǎn)單的一維迭代方程，即經(jīng)改進(jìn)的馬爾薩斯人口方程：X[,n+1]＝μX[,n]（1-X[,n]），研究表明，當(dāng)代表系統(tǒng)非線性程度的參數(shù)μ稍稍超過“3”時(shí)，表征種群繁殖數(shù)的曲線突然一分為二，系統(tǒng)進(jìn)入以二年為周期的循環(huán)，隨著μ值的逐漸增大，振蕩周期成倍地增加（T，2T，3T，……），然后經(jīng)過一系列的關(guān)節(jié)點(diǎn)μ2，μ3，μ4……，分岔越來越快，終于周期崩潰，讓位于混沌。可見，在非線性程度增大的過程中，μ＝3 是系統(tǒng)演化的第一個(gè)突變點(diǎn)。然而就在這復(fù)雜性之中，又會(huì)忽然冒出一個(gè)象3或7這樣的奇數(shù)周期窗口，以后倍周期分岔再次全面展開，最后進(jìn)入新的混沌。這里，“3”打破了人們永遠(yuǎn)維持固有秩序的夢(mèng)想， 它發(fā)出了倍周期分岔和混沌到來的信號(hào)。
通向混沌的另一條道路，茹厄勒—塔肯斯（Rurlle-Takens ）道路證明：只要系統(tǒng)出現(xiàn)三個(gè)互不相關(guān)的頻率耦合，系統(tǒng)就必然形成無窮多個(gè)頻率的耦合，走向混沌。這一發(fā)現(xiàn)突破了關(guān)于湍流發(fā)生的傳統(tǒng)觀點(diǎn)，表明無窮多獨(dú)立的交疊運(yùn)動(dòng)的形成，不是大量頻率數(shù)量上的迭加，而“只要三個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)就可以產(chǎn)生湍流的全部復(fù)雜性”。顯然，“3”不僅是產(chǎn)生混沌的起始點(diǎn)，而3本身就蘊(yùn)涵著“無窮多”，蘊(yùn)涵著“復(fù)雜性”，蘊(yùn)涵著混沌。
陣發(fā)混沌是非平衡非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌的又一條通道。它證明
[來源:778論文在線 qiqi8.cn]但是，我一種覺得“混沌數(shù)學(xué)”這個(gè)詞本身有點(diǎn)問題，因?yàn)榇蠹伊?xí)慣說數(shù)學(xué)是研究空間結(jié)構(gòu)的學(xué)問，而“混沌”本來就是無結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)本身也是建立在一系列不容再討論的公理之上的，如果目前我們這個(gè)支撐整個(gè)科學(xué)大廈的數(shù)學(xué)集合公理體系也是一個(gè)“噪音電路”，最后我們推演出來的最終的科學(xué)體系會(huì)不會(huì)是一片混沌？
但問題是，無序和有序有沒有相互包含性？究竟是無序在有序當(dāng)中，還是有序在混沌當(dāng)中？也就是說，無和有哪一個(gè)層次更高？這樣思考起來，若混沌是“無序當(dāng)中的有序”等于承認(rèn)無高于有了，似乎又同其確定論思想有所矛盾了。但是，噪音電路卻是在有序的框架下產(chǎn)生的無序，似乎又說明無可以被包含在有中。
混沌學(xué)對(duì)當(dāng)代哲學(xué)思想產(chǎn)生了不小的沖擊，同樣使得人們不得不思考我們現(xiàn)在要建立的有序社會(huì)的發(fā)展方向。如果說有無可以自行轉(zhuǎn)化，或者說轉(zhuǎn)化是必然的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的話，那么我們?cè)趺粗牢覀內(nèi)祟愋列量嗫嘟⑵饋淼纳鐣?huì)秩序不會(huì)毀于混沌之中？到目前為止，人類是有序運(yùn)動(dòng)的最高階段了，但是，智慧到了極致是什么？古人曰“大智若愚”，但是僅僅是“若”愚？還是真愚？《周期3則亂七八糟》如果是一個(gè)正確的規(guī)律的話，我們?cè)趺茨懿粨?dān)心我們建立的有序規(guī)則中沒有包含著周期“3”呢？“噪音電路”的存在告訴我們，如果我們?cè)O(shè)計(jì)的制度當(dāng)中具有一定的混沌因素存在，任何小小的擾動(dòng)都會(huì)對(duì)這個(gè)制度造成嚴(yán)重的沖擊直至它毀滅。
或許可以給人類自己一點(diǎn)寬慰的是，從宏觀層面論及的有和無的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，是一種宇宙自然運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而不是微觀的有序運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而人類社會(huì)的運(yùn)行是人的操作行為的結(jié)果，不是“自行發(fā)展”的運(yùn)動(dòng)。我們可以糾正有序運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)的無序苗頭，比如我們可以去尋找有序的“噪音電路”中的周期3，改變這個(gè)電路的結(jié)構(gòu)，把3改為2或者5等等其它數(shù)?；蛘呶覀兊鹊较到y(tǒng)出現(xiàn)混沌苗頭的時(shí)候，徹底丟棄它而另立一套系統(tǒng)，從而避免人類社會(huì)從有序運(yùn)動(dòng)到混沌狀態(tài)的自行發(fā)展。
單純從數(shù)學(xué)來說，我們或許也無需擔(dān)心，因?yàn)榧热晃飿O必反，把邏輯發(fā)展到極致的數(shù)學(xué)科學(xué)本身導(dǎo)出的結(jié)論有多少可信性，是不是得到的“規(guī)律”本身就是一個(gè)“噪音”也不可知。數(shù)學(xué)的公理體系本身就是有“缺口”的，難道我們真的可以用“嚴(yán)格”的數(shù)學(xué)來解釋混沌世界嗎？
或許這一切思慮都是杞人憂天。 ^?^
閱讀鏈接
1．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=5843；
2．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6149；
3．http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=6412；
4．參閱文章：三生萬物——“３”是宇宙常數(shù)嗎？
【作者】 李曙華（女），杭州師范學(xué)院
【內(nèi)容提要】本文根據(jù)混沌學(xué)研究成果，闡明了“3 ”領(lǐng)先于一切自然數(shù)的物理意義，“3”不僅是系統(tǒng)走向混沌的第一關(guān)節(jié)點(diǎn)， 而且本身就蘊(yùn)涵著混沌，也是自然界“造就”混沌的基數(shù)。本文認(rèn)為，作為“無窮多”和生成演化意義的“3”，或許可以作為一個(gè)重要的宇宙常數(shù)，從而劃定牛頓力學(xué)適用的第三個(gè)邊界，并賦予中國(guó)古代“三生萬物”的道家思想以現(xiàn)代科學(xué)的詮釋。
關(guān)鍵詞 領(lǐng)先性；蘊(yùn)涵性；生成演化；三生萬物
【正文】
科學(xué)是不斷進(jìn)步的，正因如此，任何科學(xué)定律、理論、體系，都有其應(yīng)用界限，該界限往往以某個(gè)自然常數(shù)為標(biāo)志。在對(duì)無窮大和無窮小的探索中，光速v是牛頓力學(xué)運(yùn)用的第一個(gè)邊界，普朗克常數(shù)h是牛頓力學(xué)運(yùn)用的第二個(gè)邊界。目前，在涉及生長(zhǎng)、演化及其復(fù)雜性的領(lǐng)域，牛頓力學(xué)已不再適用，主要應(yīng)用非線性科學(xué)——其主體為混沌、分形和孤立子理論。代表某種“無窮多”和生成演化起點(diǎn)意義的“3”， 可以作為一個(gè)重要的自然常數(shù)，即宇宙常數(shù)，從而劃定牛頓力學(xué)運(yùn)用的第三個(gè)邊界嗎？
一、通向混沌的第一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)
對(duì)于混沌學(xué)，“3”確實(shí)是一個(gè)極為關(guān)鍵的數(shù)字。
追根溯源，混沌始于“三體問題”。早在十九世紀(jì)末，彭加勒就指出：“經(jīng)典力學(xué)對(duì)于單體問題、二體問題，都可給出精確的解答，但對(duì)三體問題，如日、月、地三者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，卻一直無法求出精確解。他證明，自然界大多數(shù)系統(tǒng)是不可積的，對(duì)這些系統(tǒng)，原則上不能求出精確解。三體問題正是其中之一?，F(xiàn)在已經(jīng)知道，這實(shí)際上就是一種保守系統(tǒng)的混沌。
二十世紀(jì)下半葉，混沌作為一門新興學(xué)科興起。1975年，約克和李天巖發(fā)表了具有開創(chuàng)意義的論文《周期三意味著混沌》，文中證明：“任何一維系統(tǒng)中，只要出現(xiàn)規(guī)則的周期3， 同一個(gè)系統(tǒng)也必然會(huì)給出其他任意長(zhǎng)的規(guī)則周期，以及完全混沌的循環(huán)。”[1]簡(jiǎn)單地說， 就是有三周期點(diǎn)，就有一切周期點(diǎn)。而點(diǎn)由于迭代產(chǎn)生的變化和發(fā)展正是動(dòng)力系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容?；煦纭狢HAOS這個(gè)詞不徑而走， 成為一門新科學(xué)的代表，它之具有嚴(yán)格的科學(xué)定義，似乎開始便與3 結(jié)下了不解之緣。
令人驚嘆的是，3的這種奇異的特性——即3的領(lǐng)先性，卻早在六十年代就已獲得了數(shù)學(xué)上的證明。烏克蘭數(shù)學(xué)家沙爾可夫斯基以其獨(dú)特的方式，重新排列了所有自然數(shù)：
先從小到大排出除1以外的所有奇數(shù)：3，5，7，9，11，……
接著是它們的2倍：3×2，5×2，7×2，9×2，11×2，……
然后是2[2]倍：3×2[2]，5×2[2]，7×2[2]，9×2[2]，11×2[2]，……
其后是2[3]倍，2[4]倍，2[5]倍，……
再?gòu)拇蟮叫∨懦?的所有方冪，直到……2[2]，2[3]……
自然數(shù)的這種排列次序，叫作沙爾可夫斯基次序。而對(duì)于連續(xù)的區(qū)間迭代，沙氏證明了：如果在沙氏次序中，M領(lǐng)先于N，則有M周期點(diǎn)，就一定有N周期點(diǎn)，這就是著名的沙爾可夫斯基定理。根據(jù)該定理，由于“3”領(lǐng)先于所有自然數(shù)，因此，如有一個(gè)周期是3的點(diǎn)，就必有周期是任意自然數(shù)的點(diǎn)。顯然，該定理包含了李—約克定理的基本內(nèi)容。它賦予“3”在所有自然數(shù)中領(lǐng)先的獨(dú)特地位。 只是當(dāng)時(shí)人們尚不能理解，為何要將自然數(shù)排成如此古怪的序列，并以此表達(dá)迭代周期之間的因果關(guān)系？“3”領(lǐng)先于一切其他自然數(shù)，其物理意義究竟是什么？ 直至混沌學(xué)再次發(fā)現(xiàn)了它。
對(duì)通向混沌道路的研究表明：“系統(tǒng)往往要在參量變化過程中先經(jīng)歷一系列周期制度，然后進(jìn)入混沌狀態(tài)。”而周期3正是系統(tǒng)走向混沌的第一個(gè)關(guān)節(jié)點(diǎn)，如：倍周期分岔進(jìn)入混沌：體現(xiàn)這種過程的最簡(jiǎn)單的一維迭代方程，即經(jīng)改進(jìn)的馬爾薩斯人口方程：X[,n+1]＝μX[,n]（1-X[,n]），研究表明，當(dāng)代表系統(tǒng)非線性程度的參數(shù)μ稍稍超過“3”時(shí)，表征種群繁殖數(shù)的曲線突然一分為二，系統(tǒng)進(jìn)入以二年為周期的循環(huán)，隨著μ值的逐漸增大，振蕩周期成倍地增加（T，2T，3T，……），然后經(jīng)過一系列的關(guān)節(jié)點(diǎn)μ2，μ3，μ4……，分岔越來越快，終于周期崩潰，讓位于混沌。可見，在非線性程度增大的過程中，μ＝3 是系統(tǒng)演化的第一個(gè)突變點(diǎn)。然而就在這復(fù)雜性之中，又會(huì)忽然冒出一個(gè)象3或7這樣的奇數(shù)周期窗口，以后倍周期分岔再次全面展開，最后進(jìn)入新的混沌。這里，“3”打破了人們永遠(yuǎn)維持固有秩序的夢(mèng)想， 它發(fā)出了倍周期分岔和混沌到來的信號(hào)。
通向混沌的另一條道路，茹厄勒—塔肯斯（Rurlle-Takens ）道路證明：只要系統(tǒng)出現(xiàn)三個(gè)互不相關(guān)的頻率耦合，系統(tǒng)就必然形成無窮多個(gè)頻率的耦合，走向混沌。這一發(fā)現(xiàn)突破了關(guān)于湍流發(fā)生的傳統(tǒng)觀點(diǎn)，表明無窮多獨(dú)立的交疊運(yùn)動(dòng)的形成，不是大量頻率數(shù)量上的迭加，而“只要三個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)就可以產(chǎn)生湍流的全部復(fù)雜性”。顯然，“3”不僅是產(chǎn)生混沌的起始點(diǎn)，而3本身就蘊(yùn)涵著“無窮多”，蘊(yùn)涵著“復(fù)雜性”，蘊(yùn)涵著混沌。
陣發(fā)混沌是非平衡非線性系統(tǒng)進(jìn)入混沌的又一條通道。它證明
