第十章 信道編碼
基本內(nèi)容：主要介紹波形編碼和分組碼、循環(huán)碼以及卷積碼等的基本編解碼方法及評價。
知識點(diǎn)及層次
(1) 波形編碼——主要認(rèn)識基于正交的哈德瑪正交碼的特性。
(2) 基于漢明距離的差錯控制定理（掌握）。
(3) 線性分組碼(n，k)碼的結(jié)構(gòu)、編碼方法、解碼、檢糾錯計算（掌握）。
(4) 循環(huán)碼的構(gòu)成特征及編、解碼方法（掌握），以及CRC、R-S、BCH碼的特征（了解）。
(5) 卷積碼的基本特征（熟悉概念），TCM（一般認(rèn)識）。
信道的組成及幾種常見信道模型
調(diào)制信道和編碼信道
信道的數(shù)學(xué)模型
調(diào)制信道模型
加性噪聲信道模型
帶有加性噪聲的線性濾波器信道
帶有加性噪聲的線性時變?yōu)V波器信道
二進(jìn)制編碼信道模型
線性分組碼
線性分組碼是本章重點(diǎn)介紹的差錯控制碼，由于認(rèn)識此種碼的思路與概念直觀而條理清晰，并對編碼中的一些重要參量和糾錯能力提供一系列明確的概念，從而也為介紹其它差控碼奠定有力基礎(chǔ)。
分組碼是一組固定長度的碼組，可表示為（n , k），通常它用于前向糾錯。在分組碼中，監(jiān)督位被加到信息位之后，形成新的碼。在編碼時，k個信息位被編為n位碼組長度，而n-k個監(jiān)督位的作用就是實(shí)現(xiàn)檢錯與糾錯。當(dāng)分組碼的信息碼元與監(jiān)督碼元之間的關(guān)系為線性關(guān)系時，這種分組碼就稱為線性分組碼。
對于長度為n的二進(jìn)制線性分組碼，它有
種可能的碼組
，從種碼組中，可以選擇M=
個碼組（k<n）組成一種碼。這樣，一個k比特信息的線性分組碼可以映射到一個長度為n碼組上，該碼組是從M=
個碼組構(gòu)成的碼集中選出來的，這樣剩下的碼組就可以對這個分組碼進(jìn)行檢錯或糾錯。
的碼集中選出來的，這樣剩下的碼組就可以對這個分組碼進(jìn)行檢錯或糾錯。
線性分組碼是建立在代數(shù)群論基礎(chǔ)之上的，各許用碼的集合構(gòu)成了代數(shù)學(xué)中的群，它們的主要性質(zhì)如下：
（1）任意兩許用碼之和（對于二進(jìn)制碼這個和的含義是模二和）仍為一許用碼，也就是說，線性分組碼具有封閉性；
（2）碼組間的最小碼距等于非零碼的最小碼重。
在上節(jié)中介紹的奇偶監(jiān)督碼，就是一種最簡單的線性分組碼，由于只有一位監(jiān)督位通常可以表示為（n,n-1），式（10-5）表示采用偶校驗(yàn)時的監(jiān)督關(guān)系。在接收端解碼時，實(shí)際上就是在計算：
（10-6）
其中，
…
表示接收到的信息位，
表示接收到的監(jiān)督位，若S＝0，就認(rèn)為無錯；若S＝1就認(rèn)為有錯。式（8-6）被稱為監(jiān)督關(guān)系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”兩種狀態(tài)，因此，它只能表示有錯和無錯這兩種信息，而不能指出錯碼的位置。
設(shè)想如果監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個類似于式（8-6）的監(jiān)督關(guān)系式，計算出兩個校正子
和
，
而共有4種組合：00，01，10，11，可以表示4種不同的信息。除了用00表示無錯以外，其余3種狀態(tài)就可用于指示3種不同的誤碼圖樣。
同理，由r個監(jiān)督方程式計算得到的校正子有r位，可以用來指示
-1種誤碼圖樣。對于一位誤碼來說，就可以指示
-1個誤碼位置。對于碼組長度為n、信息碼元為k位、監(jiān)督碼元為r＝n - k位的分組碼（常記作（n，k）碼），如果希望用r個監(jiān)督位構(gòu)造出r個監(jiān)督關(guān)系式來指示一位錯碼的n種可能，則要求：
（10-7)
下面通過一個例子來說明線性分組碼是如何構(gòu)造的。設(shè)分組碼（n , k）中k = 4，為了能夠糾正一位錯誤，由式（8-7）可以看到，要求r ≥ 3，若取r = 3，則n = k+r = 7。因此，可以用
表示這7個碼元，用
、
、
表示利用三個監(jiān)督方程，通過計算得到的校正子，并且假設(shè)
、
、
三位校正字碼組與誤碼位置的關(guān)系如表8-4（當(dāng)然，也可以規(guī)定成另一種對應(yīng)關(guān)系，這并不影響討論的一般性）：
(10-8a）
同理，
構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系：
（10-8b）
以及
構(gòu)成有數(shù)監(jiān)督關(guān)系：
（10-8c）
在發(fā)送端編碼時
是信息碼元，它們的值取決于輸入信號，因此是隨機(jī)的。
是監(jiān)督碼元，它們的取值由監(jiān)督關(guān)系來確定，即監(jiān)督位應(yīng)使式（8-8）的三個表達(dá)式中的
、
和
的值為零（表示編成的碼組中應(yīng)無錯碼），這樣式（8-8）的三個表達(dá)式可以表示成下面的方程組形式：
（10-9）
由上式經(jīng)移項(xiàng)運(yùn)算，接出監(jiān)督位
（10-10）
根據(jù)上面兩個線性關(guān)系，可以得到16個許用碼組如表10-5所示：
表10-5許用碼組
信息位
監(jiān)督位
信息位
監(jiān)督位
信息位
監(jiān)督位
信息位
監(jiān)督位
a6a5a4a3
a2a1a0
a6a5a4a3
a2a1a0
a6a5a4a3
a2a1a0
a6a5a4a3
a2a1a0
0000
0001
0010
0011
000
011
101
110
0100
0101
0100
0111
110
101
011
000
1000
1001
1010
1011
111
100
010
001
1100
1101
1100
1111
001
010
100
111
接收端收到每個碼組后，計算出
、
和
，如不全為0，則可按表8-4確定誤碼的位置，然后予以糾正。例如，接收碼組為0000011，可算出
＝011，由表8-4可知在
位置上有一誤碼。
不難看出，上述（7，4）碼的最小碼距
，因此，它能糾正一個誤碼或檢測兩個誤碼。如超出糾錯能力，則反而會因“亂糾”而增加新的誤碼。
監(jiān)督矩陣H和生成矩陣G
式（10-9）所述（7，4）碼的三個監(jiān)督方程式可以重新改寫為如下形式：
（10-11）
對于式（10-11）可以用矩陣形式來表示：
（10-12）
上式可以記作：
，其中
（10-13a）
（10-13b）
（10-13c）
通常H稱為監(jiān)督矩陣，A稱為信道編碼得到的碼字。在這個例子中H為r×n階矩陣，P為r×k階矩陣，Ir為r×r階單位矩陣，具有這種特性的H矩陣稱為典型監(jiān)督矩陣，這是一種較為簡單的信道編譯碼方式。典型形式的監(jiān)督矩陣各行是線性無關(guān)的，非典型形式的監(jiān)督矩陣可以經(jīng)過行或列的運(yùn)算化為典型形式。
對于式（10-10）也可以用矩陣形式來表示：
或者
（10-14）
比較式（10-13a）和式（10-14）可以看到
，如果在Q矩陣的左邊在加上一個k×k的單位矩陣，就形成了一個新矩陣G：
（10-15）
這里G稱為生成矩陣，利用它可以產(chǎn)生整個碼組
（10-16）
由式（10-15）表示的生成矩陣形式稱為典型生成矩陣，利用式（10-16）產(chǎn)生的分組碼必為系統(tǒng)碼，也就是信息碼元保持不變，監(jiān)督碼元附加在其后。
校驗(yàn)子S
在發(fā)送端信息碼元M利用式（10-16），實(shí)現(xiàn)信道編碼，產(chǎn)生線性分組碼A；在傳輸過程中有可能出現(xiàn)誤碼，設(shè)接收到的碼組為B。則收發(fā)碼組之差為：
（10-17）
這里，
基于這樣的原則接收端利用接收到的碼組B計算校正子：
（10-18）
因此，校正子僅與E有關(guān)，即錯誤圖樣與校正子之間有確定的關(guān)系。
對于上述（7，4）碼，校正子S與錯誤圖樣的對應(yīng)關(guān)系可由式（10-18）求得，其計算結(jié)果見表10-6所示。在接收端的譯碼器中有專門的校正子計算電路，從而實(shí)現(xiàn)檢錯和糾錯。
表10-6（7，4）碼校正子與錯誤圖樣的對應(yīng)關(guān)系
序號
錯誤碼位
E
S
e6 e5 e4 e3 e2 e1 e0
S3 S2 S1
0
1
2
3
4
5
6
7
/
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b6
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 1 1
漢明碼
漢明碼是一種能夠糾正單個錯誤的線性分組碼。它有以下特點(diǎn)：
（1）最小碼距
，可以糾正一位錯誤；
（2）碼長n與監(jiān)督元個數(shù)r之間滿足關(guān)系式：
。
如果要產(chǎn)生一個系統(tǒng)漢明碼，可以將矩陣H轉(zhuǎn)換成典型形式的監(jiān)督矩陣，進(jìn)一步利用Q = PT的關(guān)系，得到相應(yīng)的生成矩陣G。通常二進(jìn)制漢明碼可以表示為：
（10-19）
根據(jù)上述漢明碼定義可以看到，構(gòu)造的（7，4）線性分組碼實(shí)際上就是一個漢明碼，它滿足漢明碼的兩個特點(diǎn)。圖10-5中給出（7，4）系統(tǒng)漢明碼的編碼器和譯碼器電路。
（a）發(fā)端編碼器
（b）收端譯編碼器
