不定期分享一些本人原創(chuàng)文章、說題短文或者專家系列講座，主要對象針對初中學(xué)生，尤其是初三學(xué)生，對于解題研究展開系列探究！
解題后反思：本解法是處理“垂直問題”普遍適用的一種代數(shù)解法，其優(yōu)勢是可以實(shí)現(xiàn)“盲解”，即不需看圖或畫圖等，只需列出或設(shè)出目標(biāo)三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)，剩下的就是“暴力計(jì)算”了；
對于“等腰三角形存在性問題”，一般情況下以“任意兩邊都可能相等”，即以“腰相等”分三種情況列方程求解即可；
對于“直角三角形存在性問題”，一般情況下以“斜邊”或者“直角”為分類標(biāo)準(zhǔn)也分三種情況利用勾股定理列方程求解即可；
值得一提的是，解完所列方程之后，一定要養(yǎng)成“檢驗(yàn)或驗(yàn)證”的好習(xí)慣，對于等腰三角形存在性問題，一般通過簡要畫圖分析，防止出現(xiàn)三點(diǎn)共線或者兩點(diǎn)重合等構(gòu)不成三角形的情況出現(xiàn)即可；對于直角三角形存在性問題，也要檢驗(yàn)一下，防止出現(xiàn)兩點(diǎn)重合等情況或者是題目限制的其他條件等，拿本題來說，第三步情形二中就出現(xiàn)了“兩點(diǎn)重合而導(dǎo)致構(gòu)不成三角形”的情形，故排除，這也是學(xué)生比較容易忽視的地方；
所以“檢驗(yàn)或驗(yàn)證”是一個優(yōu)生必備的好品質(zhì)，解完題目或者即將解完題目時，千萬不能掉以輕心、得意忘形，一定要更加謹(jǐn)慎細(xì)心，確保自己前面好不容易的計(jì)算等“千真萬確”，一定要使自己的過程“無懈可擊”、毫無漏洞，大家以后可以在這方面在靜下心來想一想，“實(shí)踐出真知”！
“凡事都有兩面性”，既然“代數(shù)勾股暴力計(jì)算法”帶來了“盲解”的巨大優(yōu)勢，只需最后一步結(jié)合具體圖形檢驗(yàn)或驗(yàn)證取舍，但同時它也有自己的弊端與劣勢，那就是在于此法對于計(jì)算要求過高，一個字，全是“算”！另一方面，有一些情形是一眼就能看出答案的，如果執(zhí)意用此法，很明顯就有些“得不償失”了，下面的幾種策略中，大家會看出來有一些情形的答案是直接可以口算的，甚至兩種情形都可以實(shí)現(xiàn)口算；
所以，筆者最推崇的還是不要拘泥于一種解法，要把“垂直處理”的幾種策略練得滾瓜爛熟，熟才能生巧，熟才能得心應(yīng)手，甚至于可以將多種策略結(jié)合使用，這就是本人提出的所謂“混合解法”；
看需要而定，有的可能需要用幾何策略簡單，那就用幾何策略；有的可能還是計(jì)算來的快，分析取來稍麻煩，那就果斷放棄畫圖分析等，而果斷采取“暴力計(jì)算”，如此才能稱得上“隨心所欲”！
策略二（幾何畫圖“兩線一圓”，比例口算相似法）：
第一步（畫出所謂“兩線一圓”）：由△ABC為直角三角形知，這是一個典型的“直角三角形”存在性問題，可采取所謂“兩線一圓法”畫出較準(zhǔn)確的圖形，再去慢慢分析計(jì)算，如圖3-1所示；
第二步（根據(jù)圖形分析，比例口算相似法）：如圖3-2所示，通過“精準(zhǔn)畫圖”，很明顯符合這樣的點(diǎn)A有兩個，即為第一步中的“兩線一圓”與題目中已知直線的交點(diǎn)（B點(diǎn)除外，要舍去）；
顯然，點(diǎn)A1的坐標(biāo)可直接進(jìn)行口算，為（3，5/2）；
瞧，這種情形多簡單啊，哪用上面的“代數(shù)盲解”法“千辛萬苦才喚出來”啊！
至于另一個點(diǎn)A2坐標(biāo)的求法，可采取策略一，即“代數(shù)勾股暴力計(jì)算法”，這樣也就不用動腦想其他幾何策略，而是“一意孤行”地去算即可，這就是吾之所謂的“混合解法”；
當(dāng)然點(diǎn)A2坐標(biāo)的求法，還可以采取下面的“比例口算相似法”：
解題后反思：這兒介紹的解直角三角線存在性問題偏幾何策略的“兩線一圓法”知適合于通過“精準(zhǔn)畫圖”找到這樣的點(diǎn)，但還沒求出，若是想要求其坐標(biāo)，一方面通過畫完的圖分析思路，看看有沒有較簡單的偏幾何的解法，這樣可以有效避開“代數(shù)勾股盲解法”繁瑣的計(jì)算；當(dāng)然還有一些情形，需要深入分析才能找到更適合的簡易的幾何解法，比如此題中通過抓確定的不變角，結(jié)合比例口算得出所求，這需要一定的思維量；當(dāng)然若是思維量達(dá)不到，還有路可走，那就是毅然決然地放棄“思維”，改變策略專門針對個別情形“一通死算”得出結(jié)論即可；
“幾何思維量”與“代數(shù)計(jì)算量”二者不可兼得，舍其一而取另一者也；當(dāng)然也可以“混合使用”，看需要靈活穿插使用；
另，此題還可以采取兩次“射影定理”計(jì)算出所有的邊長進(jìn)而求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)，不再贅述，跟上面的“比例口算”本質(zhì)原理都是相似，都屬于“水平—豎直”輔助線，起到“改斜歸正”之作用，具體可參見題2中策略二的解題后反思部分；
甚至于此題求點(diǎn)A2的坐標(biāo)時還可以采取“見斜置直角三角形，造K字型相似”的解題策略，如圖3-3所示，但這依然略微有些“大材小用”、“小題大做”之感，而且其本質(zhì)與“射影定理”相同，不再贅述；
關(guān)于策略二中點(diǎn)A2的坐標(biāo)求法，這里再提供一種巧妙借助“縱橫比”，借助解析法先求出直線A2C的解析式，再與已知直線聯(lián)立解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)的方式；
策略三（巧用“縱橫比”，借助解析法求交點(diǎn)坐標(biāo)）：
第一步（利用“垂直處理”，構(gòu)造“三垂直相似”）：如圖3-4所示，延長CA2與y軸交于點(diǎn)E，易得由Rt△COE∽Rt△DOB，這是一個典型的“三垂直結(jié)構(gòu)”；
解題后反思：策略三依然采取了所謂“混合解法”，點(diǎn)A1可直接口算，而點(diǎn)A2則采取了“解析法”，通過求交點(diǎn)坐標(biāo)解得，這里提到了直線的“縱橫比”，而所謂“縱橫比”，其本質(zhì)就是“三垂直相似”而已，不要覺得多么高大上，它是一種常見的“垂直問題”處理策略！
關(guān)于等腰三角形存在性問題中“兩圓一線法”與直角三角形存在性問題“兩線一圓法”，下面再舉一個更典型的例子，專門類比介紹這兩種題型，希望同學(xué)們用心體會；
題4（來源：高郵市贊化學(xué)校二輪復(fù)習(xí)存在性問題專題）
如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），B（0，6），動點(diǎn)C在直線y=x上.若以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，則點(diǎn)C的個數(shù)有 個.
簡析：本題一個典型的等腰三角形存在性問題，屬“兩定一動型”，且只要求點(diǎn)C的個數(shù)，無需求其坐標(biāo)，這特別適合于上面所說的“兩圓一線法”，但有前提，那就是“精準(zhǔn)畫圖”，一方面要求題目給定的圖是準(zhǔn)確圖，另一方面要求自己畫的“兩圓一線”都要準(zhǔn)確；
第一步（精準(zhǔn)畫圖，兩圓一線）：如圖4-1所示，分別以A、B為圓心，以AB為半徑作兩個圓，再將這兩個圓的兩個交點(diǎn)連成直線，其必然為線段AB的垂直平分線，這就是所謂的“兩圓一線法”；
第二步（利用“兩圓一線”數(shù)交點(diǎn)個數(shù)）：如圖4-1所示，上一步中畫出的“兩圓一線”與直線y=x的交點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)C；
如果題目給定圖形準(zhǔn)確，自己畫圖又相對準(zhǔn)確，則基本就能數(shù)出符合條件的點(diǎn)C的個數(shù)，很明顯有三個；
如果沒有幾何畫板等作圖工具，這樣的精準(zhǔn)畫圖并不容易，那有沒有更有說服力的依據(jù)去推導(dǎo)所要尋找的交點(diǎn)個數(shù)呢？
第三步（判斷直線與圓的位置關(guān)系，理論推導(dǎo)交點(diǎn)的個數(shù)）：如圖4-1所示，顯然只要判斷⊙B與已知直線y=x有沒有公共點(diǎn)即可，而⊙B的半徑r為4，只需求出⊙B的圓心B到直線y=x的距離d，比較d與r的大小關(guān)系即可知道⊙B與直線y=x的位置關(guān)系，進(jìn)而得知它們的公共點(diǎn)個數(shù)；
解題后反思：對于“兩定一動型”等腰三角形存在性問題，我們可以通過“兩圓一線法”精準(zhǔn)畫圖找到所需動點(diǎn)的位置，若需要求其坐標(biāo)，可以采用等腰三角形存在性問題的“代數(shù)勾股盲解法”或者采取“抓不變角”策略，結(jié)合“三線合一”比例相似口算法等，甚至這兒也可以采取“混合解法”策略，不再詳述，具體可參見本人與等腰三角形存在性問題相關(guān)的作品；
上述問題還有個有趣的變式如下：
題4變式：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），B（0，6），動點(diǎn)C在直線y=x上.若以A，B，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則點(diǎn)C的個數(shù)有 個.
簡析：將這個變式問題中的直角三角形存在性問題與原題4中的等腰三角形存在性問題進(jìn)行類比分析，將趣味橫生；
此變式是一個“兩定一動型”直角三角形存在性問題，且只要求點(diǎn)C的個數(shù)，無需求其坐標(biāo)，這特別適合于“兩線一圓法”，但有前提，那就是“精準(zhǔn)畫圖”，一方面要求題目給定的圖是準(zhǔn)確圖，另一方面要求自己畫的“兩線一圓”都要準(zhǔn)確；
第一步（精準(zhǔn)畫圖，兩線一圓）：如圖4-3所示，分別過A、B作y軸的垂線，此為所謂的“兩線”，再以AB為直徑作⊙M，此為所謂的“一圓”，這就是“兩定一動型”直角三角形存在性問題精準(zhǔn)畫圖之“兩線一圓法”；
第二步（利用“兩線一圓”數(shù)交點(diǎn)個數(shù)）：如圖4-3所示，上一步中畫出的“兩線一圓”與直線y=x的交點(diǎn)即為所要找的點(diǎn)C；
如果題目給定圖形準(zhǔn)確，自己畫圖又相對準(zhǔn)確，則基本就能數(shù)出符合條件的點(diǎn)C的個數(shù)，很明顯只有兩個；、
如果沒有幾何畫板等作圖工具，這樣的精準(zhǔn)畫圖并不容易或者說并不能讓人百分之百信服，那有沒有更有說服力的依據(jù)去推導(dǎo)所要尋找的交點(diǎn)個數(shù)呢？此時再次用到圓與直線位置關(guān)系的判定；
第三步（判斷直線與圓的位置關(guān)系，理論推導(dǎo)交點(diǎn)的個數(shù)）：如圖4-3所示，顯然只要判斷⊙M與已知直線y=x有沒有公共點(diǎn)即可，而⊙M的半徑r為2，只需求出⊙M的圓心M到直線y=x的距離d，比較d與r的大小關(guān)系即可知道⊙M與直線y=x的位置關(guān)系，進(jìn)而得知它們的公共點(diǎn)個數(shù)；
解題后反思：題4及其變式是兩道典型的“兩定一動型”特殊三角形存在性問題，前者是等腰三角形存在性問題，可借助“兩圓一線法”精確畫圖找到所需動點(diǎn)的位置；而后者是直角三角形存在性問題，可借助“兩線一圓法”精確畫圖找到所需動點(diǎn)的位置；這兩種題型、兩種方法之間具有驚人的相似度，相輔相成，建議同學(xué)們將兩者放在一起琢磨，越琢磨會越有趣，記憶、理解都會越深刻！
