背景介紹
今年，三位物理學(xué)家Alain Aspect （阿斯佩），John F. Clauser（克勞瑟），Anton Zeilinger（塞林格）因“糾纏光子，貝爾不等式的違反和開(kāi)創(chuàng)性量子信息科學(xué)實(shí)驗(yàn)研究”而獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，這無(wú)疑將推動(dòng)新的量子科技發(fā)展熱潮。正如諾貝爾物理獎(jiǎng)委員會(huì)主席A. Irback (伊爾巴克)所指出的：“越來(lái)越明顯，新的量子技術(shù)已經(jīng)出現(xiàn)，我們可以看到，獲獎(jiǎng)人關(guān)于糾纏態(tài)的工作非常重要，甚至超越了量子力學(xué)詮釋這樣的基本問(wèn)題”，所以可以認(rèn)為，獲獎(jiǎng)工作的意義，更重要的是體現(xiàn)在其對(duì)量子信息科學(xué)的開(kāi)創(chuàng)性和奠基性作用。事實(shí)上，量子計(jì)算和量子信息處理的基本機(jī)制和運(yùn)行原理，是直接以今年諾獎(jiǎng)工作為基礎(chǔ)的。
近些年來(lái)，量子科技可謂是世界科技競(jìng)爭(zhēng)的制高點(diǎn)之一，各國(guó)紛紛就量子計(jì)算、量子精密測(cè)量、量子通訊等技術(shù)路線投入大量資源。而另一方面，量子力學(xué)也越來(lái)越走入大眾的視野，筆者在網(wǎng)絡(luò)上經(jīng)常能發(fā)現(xiàn)一些人將諸如“量子糾纏”“薛定諤的貓”等量子力學(xué)概念用于吐槽與玩梗。那么量子糾纏的內(nèi)涵究竟是什么呢？基于其的貝爾不等式實(shí)驗(yàn)又為什么能斬獲物理學(xué)終極大獎(jiǎng)？本文將對(duì)這些問(wèn)題做出詳細(xì)解讀。相信大家在了解其中來(lái)龍去脈后，會(huì)覺(jué)得比單純玩梗有趣多了。
量子糾纏與EPR佯謬
這一切都要從神秘的量子糾纏說(shuō)起。1935年，薛定諤發(fā)現(xiàn)在量子力學(xué)的框架下會(huì)出現(xiàn)這樣一種量子態(tài)，即兩個(gè)粒子的波函數(shù)不能被寫(xiě)成其中單個(gè)粒子波函數(shù)的直積形式，也就是兩個(gè)粒子的波函數(shù)不可分，我們只能用這種整體的波函數(shù)來(lái)描述粒子狀態(tài)。就這個(gè)性質(zhì)來(lái)看似乎也沒(méi)啥特別的，但如果考慮量子力學(xué)關(guān)于測(cè)量的表述和空間定域性，就會(huì)產(chǎn)生連愛(ài)因斯坦都不能接受的EPR佯謬?？紤]我們可以制備一個(gè)特殊的糾纏態(tài)，其中每個(gè)粒子可以被測(cè)量到“+” “-”兩種狀態(tài)，根據(jù)測(cè)量的波函數(shù)塌縮理論，當(dāng)我們測(cè)量第一個(gè)粒子為“+”時(shí)，第二個(gè)粒子的測(cè)量結(jié)果一定為“-”，反之亦然。但是注意到，量子力學(xué)中波函數(shù)的塌縮是瞬時(shí)的，即使我們把兩個(gè)粒子分離到很遠(yuǎn)時(shí)，一個(gè)粒子的測(cè)量結(jié)果也會(huì)馬上影響到另一個(gè)，這樣就好像存在超越光速的超距作用。這個(gè)結(jié)果對(duì)于大多數(shù)人甚至是愛(ài)因斯坦都是荒謬的，因此稱為“佯謬”。愛(ài)因斯坦認(rèn)為世界是定域且實(shí)在的，其中定域說(shuō)的是不能有超過(guò)光速的影響產(chǎn)生，而實(shí)在性則描述一個(gè)物理元素的客觀存在，我們所做的測(cè)量均是出自于這種物理實(shí)在而不能影響它。簡(jiǎn)單地說(shuō)，實(shí)在性是說(shuō)一個(gè)物理量，不管我們測(cè)量還是不測(cè)量，其大小是確定的，并不因?yàn)槲覀兪欠駵y(cè)量而改變，但量子力學(xué)并不滿足這個(gè)性質(zhì)，因?yàn)閷?duì)量子態(tài)的測(cè)量，單次測(cè)量結(jié)果是隨機(jī)的，多次測(cè)量的統(tǒng)計(jì)平均才能反映其振幅信息。基于這些問(wèn)題，愛(ài)因斯坦等人認(rèn)為量子力學(xué)導(dǎo)致這種結(jié)果是因?yàn)槠淅碚撌遣煌陚涞摹?/span>
圖1 EPR糾纏粒子對(duì)
這種不完備性表現(xiàn)為后續(xù)1952年波姆提出的隱變量理論，該理論中量子力學(xué)仍是定域且實(shí)在的，EPR佯謬的出現(xiàn)是我們對(duì)隱變量的無(wú)知所造成的。為了理解隱變量，舉個(gè)日常生活中我們就可以感受的例子。比如甲有一雙鞋，他會(huì)發(fā)給相隔很遠(yuǎn)的兩個(gè)人乙和丙，而且告訴他們只有一雙鞋，但誰(shuí)是左腳誰(shuí)是右腳不確定。那么，當(dāng)乙打開(kāi)包裹的一瞬間他就可以確定丙的鞋是左腳還是右腳，這似乎和量子糾纏很像。但仔細(xì)想下，顯然這不是什么超距作用，只是因?yàn)槲覀冎懒艘粋€(gè)隱含條件：只有一雙鞋，正是這個(gè)隱含條件造成了結(jié)果的關(guān)聯(lián)性。波姆的理論中量子力學(xué)就像這樣，世界仍然是定域?qū)嵲诘?，只不過(guò)“只有一雙鞋”這樣的條件我們不知道，也許EPR中兩個(gè)粒子分離時(shí)的狀態(tài)已經(jīng)確定相反了，而不是測(cè)量時(shí)由于超距作用才決定。到這里問(wèn)題就變成了: 如何知道量子力學(xué)是不是由隱變量描述的呢？這就是貝爾不等式所解決的問(wèn)題。
貝爾不等式
貝爾不等式的意義在于將檢驗(yàn)世界是否是定域?qū)嵲谛缘倪@個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了一個(gè)數(shù)學(xué)公式，我們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證世界是否滿足這個(gè)公式。解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于，定域隱變量理論產(chǎn)生的關(guān)聯(lián)是有極限的。如果超過(guò)了這個(gè)極限，說(shuō)明世界不是由定域隱變量描述，超距作用存在，量子力學(xué)是完備的。第一個(gè)貝爾不等式由貝爾在1964年提出，后來(lái)基于此發(fā)展了很多相似的不等式，諾貝爾獎(jiǎng)?lì)C發(fā)給的是主要驗(yàn)證了違反CHSH（Clauser, Horne, Shimony, and Holt）不等式的工作。
CHSH不等式——考慮 Alice和Bob相隔了一定距離，且分別有一個(gè)粒子，這兩個(gè)粒子處于的狀態(tài)可能是由量子力學(xué)描述的，也可能由隱變量理論描述。假設(shè)Alice可以有兩種方式測(cè)量該粒子，我們標(biāo)記為x, 其值可以為x0或x1。同樣Bob也有兩種測(cè)量方式y，標(biāo)記為y0或y1。且假設(shè)測(cè)量的結(jié)果均只有兩種情況-1或+1，用a代表Alice的測(cè)量結(jié)果，b代表Bob的結(jié)果。經(jīng)過(guò)多次測(cè)量后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)事實(shí)：（1）測(cè)量基固定時(shí)結(jié)果可以呈現(xiàn)一定的概率分布，例如Alice測(cè)量x0，Bob測(cè)量y0時(shí)a和b總是相反，當(dāng)Alice測(cè)量x1，Bob測(cè)量y0時(shí)則沒(méi)有這種關(guān)聯(lián)且b的結(jié)果總是一半+1, 一半-1?？傊话闱闆r下我們可以定義某種概率分布，這里用p(ab|xy)代表兩個(gè)人測(cè)量方式為x, y時(shí)結(jié)果的概率分布。（2）無(wú)論Alice，Bob距離多遠(yuǎn)，兩人測(cè)量結(jié)果總是表現(xiàn)出關(guān)聯(lián)性，即
在上節(jié)我們提到過(guò)若測(cè)量過(guò)程依賴于某種隱變量，則結(jié)果會(huì)表現(xiàn)出關(guān)聯(lián)。現(xiàn)考慮我們這里除了變量x, y還存在一個(gè)變量λ。由于某些物理原因我們觀測(cè)不到它，且每次測(cè)量λ的值可以變化，設(shè)其同樣滿足一個(gè)概率分布q(λ)。這時(shí)Alice和Bob的測(cè)量的概率分布實(shí)際由兩個(gè)變量決定，分別為p(a|x, λ), p(b|y,λ)。那么聯(lián)合概率應(yīng)該長(zhǎng)什么樣子呢？如果我們引入定域條件，Alice和Bob的結(jié)果互不影響，則聯(lián)合概率一定為乘積形式。
注意在這種假設(shè)下由于對(duì)隱變量λ的無(wú)知，我們的觀測(cè)結(jié)果實(shí)際是對(duì)λ平均之后的結(jié)果，因此觀測(cè)的結(jié)果是可以出現(xiàn)關(guān)聯(lián)的，即
公式（2）是在定域隱變量理論下得到的聯(lián)合概率分布，可以看到Alice (Bob)的測(cè)量結(jié)果只依賴于局域變量x(y)和隱變量λ。而量子力學(xué)不是定域?qū)嵲诘?，這時(shí)Alice的測(cè)量結(jié)果可以以某種方式影響B(tài)ob, 因此量子力學(xué)的聯(lián)合概率有可能超出公式（2）的表達(dá)范圍。下面我們就來(lái)找在定域隱變量理論下這個(gè)表達(dá)能力的界限在哪，也就是貝爾不等式。
考慮某些測(cè)量方式在聯(lián)合概率下的平均值的關(guān)系。定義關(guān)聯(lián)函數(shù)
定義可觀測(cè)量
至此我們就得到了著名的CHSH型貝爾不等式
它是原始貝爾不等式的一個(gè)變型。即在定域隱變量假設(shè)得到的概率分布下，關(guān)聯(lián)函數(shù)S的值一定滿足這個(gè)不等式。如果說(shuō)實(shí)際測(cè)量結(jié)果違反了這個(gè)不等式，說(shuō)明實(shí)際世界是不能用定域隱變量理論描述的。那么量子力學(xué)是否違反這個(gè)不等式呢？確實(shí)是的，比如我們將Alice和Bob的粒子對(duì)制備為自旋單態(tài)(singlet)這樣的量子態(tài)
實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
貝爾不等式雖然是這樣簡(jiǎn)單的一個(gè)數(shù)學(xué)公式，但對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證是非常具有挑戰(zhàn)性的。首先，它要求實(shí)驗(yàn)上應(yīng)該能制備較高精度的糾纏態(tài)，并且要將其分離一定距離。因?yàn)樨悹柌坏仁绞菍?duì)定域性的檢驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)者需要保證對(duì)兩個(gè)粒子的測(cè)量可以排除光速以下的信息傳遞。其次是需要實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子在不同方向的測(cè)量，因?yàn)橹挥性谀承y(cè)量方向，量子力學(xué)才能違背貝爾不等式。此外探測(cè)器的粒子檢測(cè)效率也會(huì)對(duì)貝爾不等式的驗(yàn)證造成影響。因而歷史上對(duì)貝爾不等式的驗(yàn)證也是在不斷填補(bǔ)漏洞中進(jìn)行 [1,3]。
1972年， John F. Clauser和Stuart Freedman一起完成了第一次Bell實(shí)驗(yàn)。他們使用鈣原子級(jí)聯(lián)躍遷產(chǎn)生糾纏光子對(duì)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。但由于光子對(duì)產(chǎn)生效率極低，測(cè)量時(shí)間長(zhǎng)達(dá)200小時(shí)，而兩個(gè)光子之間的距離又較短，因此存在定域性“漏洞”。另外測(cè)量基固定也是受到詬病的原因之一。
圖2 John F. Clauser和Stuart Freedman的實(shí)驗(yàn)示意圖
1981年和1982年，Alain Aspect及其合作者進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)，提高了測(cè)量精度，減小了貝爾不等式驗(yàn)證的漏洞。在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，他們使用雙激光系統(tǒng)激發(fā)鈣原子，產(chǎn)生糾纏光子對(duì)，改善了糾纏光子源。在第二個(gè)實(shí)驗(yàn)中，使用雙通道方法，提高光子利用率。測(cè)量精度大大提高。第三個(gè)實(shí)驗(yàn)最為重要。關(guān)閉了定域性“漏洞”。兩個(gè)糾纏光子相隔約12米遠(yuǎn)，信號(hào)以光速在它們之間傳播，要花40納秒的時(shí)間。光子到每個(gè)偏振片的距離為6米。偏振片旋轉(zhuǎn)的時(shí)間不超過(guò)20納秒。而利用聲光器件甚至可以在更短的時(shí)間尺度上，將光子切換到兩組測(cè)量基上。測(cè)量時(shí)間遠(yuǎn)小于信號(hào)以光速在兩光子之間傳遞的時(shí)間，從而關(guān)閉了定域性漏洞。
1998年，Anton Zeilinger團(tuán)隊(duì)在嚴(yán)格的定域性條件下測(cè)試了Bell不等式，觀測(cè)者之間距離達(dá)到400米，徹底關(guān)閉了定域性“漏洞”，直到這時(shí)，我們才能挺起胸膛說(shuō)到，量子力學(xué) “基本”是對(duì)的了。后續(xù)，也有很多關(guān)于貝爾不等式驗(yàn)證的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行，他們都是為了從各個(gè)方面來(lái)彌補(bǔ)驗(yàn)證量子力學(xué)的漏洞，讓我們?cè)絹?lái)越自信地用量子力學(xué)來(lái)描述世界。其中一個(gè)比較有趣的實(shí)驗(yàn)是2016年的大貝爾實(shí)驗(yàn)（the Big Bell Test），該實(shí)驗(yàn)的目的是為了消除偽隨機(jī)性對(duì)貝爾不等式驗(yàn)證的影響。我們知道，無(wú)論做計(jì)算還是實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)數(shù)都是由計(jì)算機(jī)生成的，而計(jì)算機(jī)的隨機(jī)數(shù)是偽隨機(jī)數(shù)，它原則上可以由某種方法計(jì)算出來(lái)，只要我們給一個(gè)確定的種子，那么接下來(lái)一系列的隨機(jī)數(shù)都是確定的。這會(huì)導(dǎo)致用這種方法測(cè)出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的關(guān)聯(lián)性有超出貝爾不等式所代表的極限的可能。
圖3 大貝爾實(shí)驗(yàn)，利用人類自由意志挑戰(zhàn)定域?qū)嵲谛?/span>
那么如何得到“真”隨機(jī)數(shù)呢？大貝爾的出發(fā)點(diǎn)是利用自由意志產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，如果你相信一個(gè)人的意志是自由的、隨機(jī)的話。好的不相信，我也不相信，畢竟可能實(shí)驗(yàn)人員有強(qiáng)迫癥之類的。那很多個(gè)人的自由意志總是隨機(jī)吧，研究人員召集了世界各地超過(guò)10萬(wàn)名志愿者，讓他們?cè)谶^(guò)關(guān)游戲中快速隨機(jī)地按下0或者1，然后把這些選擇結(jié)果上傳到云端，隨機(jī)發(fā)給各地的實(shí)驗(yàn)者作為其實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)數(shù)生成器。通過(guò)大量參與者的自由意志，大貝爾實(shí)驗(yàn)在更廣泛的范圍內(nèi)關(guān)閉自由選擇漏洞，強(qiáng)烈否定了定域隱變量理論。至此，量子力學(xué)幾乎被完美地證明了其完備性。
這些實(shí)驗(yàn)都是以量子力學(xué)有可能不正確為出發(fā)點(diǎn)的，如果我們承認(rèn)量子力學(xué)是正確的，是否能方便地體驗(yàn)貝爾不等式的違反呢？我們可以考慮利用量子計(jì)算云平臺(tái)[4]，首先利用邏輯門(mén)操作制備量子糾纏態(tài)，然后對(duì)兩個(gè)量子比特進(jìn)行不同基下的測(cè)量，對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，我們可以很容易地發(fā)現(xiàn)貝爾不等式可以被違反，不過(guò)這里我們就不考慮隨機(jī)和信息傳遞等問(wèn)題了。
第二次量子革命
量子力學(xué)已被驗(yàn)證是對(duì)的，在這里其中的非定域性帶來(lái)的問(wèn)題需要解釋下。比如量子糾纏能否超光速傳遞信息？答案是否定的，盡管看上去超距作用超越光速，但實(shí)際并沒(méi)有傳遞信息。以EPR粒子對(duì)為例，第一，由于測(cè)量的塌縮是隨機(jī)的，Alice 和 Bob任何一方都無(wú)法將信息編碼到EPR中并通過(guò)測(cè)量解碼（不通過(guò)經(jīng)典手段的幫助）。第二，由于兩者間沒(méi)有經(jīng)典通訊，無(wú)論Bob測(cè)量不測(cè)量，也就是無(wú)論Alice的粒子是否由于超距作用塌縮，她測(cè)得結(jié)果的概率分布都不會(huì)改變，因此Bob的測(cè)量操作不會(huì)對(duì)Alice傳遞任何信息。在量子力學(xué)中，這表現(xiàn)為描述Alice粒子的密度矩陣并沒(méi)有改變。那么量子糾纏是否有用呢？當(dāng)然，貝爾不等式的違反顯示，糾纏是一種超越經(jīng)典的資源，它預(yù)示著即使我們用無(wú)限的經(jīng)典資源也無(wú)法模擬量子糾纏所得到的結(jié)果。我們現(xiàn)在只是發(fā)掘了其中一點(diǎn)點(diǎn)并用在解決某些特定問(wèn)題上。
對(duì)種種這些問(wèn)題的討論促生了以量子信息處理與應(yīng)用為主要目標(biāo)的第二次量子革命。歷史上第一次量子力學(xué)革命即量子力學(xué)剛創(chuàng)立不久，各種基于量子原理的經(jīng)典應(yīng)用被研發(fā)，如激光、半導(dǎo)體、核能等，這大大造福了人類，給予了世界翻天覆地的變化，使人類迅速邁進(jìn)了信息時(shí)代。而第二次量子力學(xué)革命則是直接開(kāi)發(fā)量子特性本身的應(yīng)用，量子信息以量子比特為單元，信息的產(chǎn)生、傳輸、處理、探測(cè)等全部要遵從量子力學(xué)規(guī)律，是真正的量子器件。21世紀(jì)以來(lái)，量子計(jì)算理論的發(fā)展，量子通信的應(yīng)用更是讓我們看到了量子技術(shù)改變世界的潛力。發(fā)展量子技術(shù)一方面是利用量子力學(xué)原理進(jìn)行量子信息的處理、傳遞和計(jì)算，另一方面也加深了人們對(duì)量子力學(xué)的理解。
【參考資料】
[1] Scientific Background on the Nobel Prize in Physics 2022
[2] N. Brunner, et al., Bell nonlocality, Rev. Mod. Phys. 86, 419 (2014)
[3] 薛鵬，2022年10月13日，2022年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)解讀報(bào)告會(huì)ppt
[4] quafu量子計(jì)算云平臺(tái) http://quafu.baqis.ac.cn
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