“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”課題組（初中）第四次研討會(huì)，于2009年4月17日—18日在北京市第166中學(xué)舉行．本次會(huì)議分別以“平行四邊形的性質(zhì)”、“平均數(shù)”、“抽樣調(diào)查”為題，分別請(qǐng)湖北省荊州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)王用華和天津市大港區(qū)油田四中張淑媛就“平行四邊形的性質(zhì)”以同課異構(gòu)的方式呈現(xiàn)了兩節(jié)研討課，請(qǐng)北京市第166中學(xué)張韜上了“抽樣調(diào)查”一課，請(qǐng)山西省陽(yáng)泉市平定縣南坳中學(xué)趙軍才老師上了“平均數(shù)”一課．與會(huì)代表圍繞課題研究的核心內(nèi)容，以這四節(jié)課為載體展開(kāi)了反思、交流與研討．
一、剖析數(shù)學(xué)核心概念和思想方法
1. 關(guān)于平行四邊形的性質(zhì)
平行四邊形的性質(zhì)是本章的第一課時(shí)，其內(nèi)容包括平行四邊形的定義和平行四邊形的性質(zhì)．由于小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)有關(guān)平行四邊形的知識(shí)，學(xué)生曾經(jīng)通過(guò)動(dòng)手測(cè)量和觀察，知道平行四邊形的定義和性質(zhì)，因此，本節(jié)課如何處理平行四邊形概念和性質(zhì)成為與會(huì)者討論和反思的一個(gè)焦點(diǎn)．
天津李果民認(rèn)為，這節(jié)課的核心是平行四邊形的定義和性質(zhì)，涉及三個(gè)重要的問(wèn)題，一是如何給一個(gè)新概念下定義，即屬加種差，后面幾種特殊四邊形也都是這么定義的．盡管小學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)平行四邊形定義，但這節(jié)課是給學(xué)生一個(gè)科學(xué)的思維方式．平行二字是從邊的位置出發(fā)的，所以用邊平行定義．二是要強(qiáng)調(diào)推理論證，滲透推理必要性．三是平行四邊形向三角形轉(zhuǎn)化的思想．輔助線如何自然是課堂教學(xué)實(shí)踐的問(wèn)題．
通過(guò)研討反思，大家取得一致認(rèn)識(shí)：盡管在小學(xué)階段學(xué)習(xí)了平行四邊形的概念和有關(guān)性質(zhì)，但更多是從平行四邊形的整體上獲得的感性的認(rèn)識(shí)．這節(jié)課要從平行四邊形與一般四邊形的關(guān)系入手，通過(guò)對(duì)平行四邊形的特殊屬性—兩組對(duì)邊分別平行的分析，揭示它與一般四邊形之間的屬種關(guān)系，進(jìn)而向?qū)W生滲透給概念下定義的一種重要方式：屬加種差．這種定義概念的方式將在本章中反復(fù)出現(xiàn)，因此，在第一課時(shí)中明晰這種定義方式有助于學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維方法．
當(dāng)然，對(duì)這種給概念下定義的方式的深入分析和理解還需要在本章結(jié)束時(shí)進(jìn)一步梳理．屆時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了多種特殊四邊形的相關(guān)知識(shí)，因此，能夠更清楚地看到同一鄰近屬概念（平行四邊形）下的不同種概念（幾種特殊平行四邊形）之間的種差，這將有助于學(xué)生把握本章中其他特殊四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系．
對(duì)平行四邊形性質(zhì)的學(xué)習(xí)，是重視探究過(guò)程還是注重證明過(guò)程也是討論中大家關(guān)注的話題，經(jīng)過(guò)研討和反思，大家一致認(rèn)為，由于在小學(xué)階段，通過(guò)動(dòng)手活動(dòng)，學(xué)生已經(jīng)對(duì)平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)有所了解，因此，這節(jié)課不應(yīng)該把動(dòng)手探究過(guò)程作為一個(gè)重要內(nèi)容處理，而是在回顧所學(xué)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，把教學(xué)重點(diǎn)放在對(duì)性質(zhì)的證明上．這樣處理的理由是，通過(guò)證明過(guò)程，一方面可以著重對(duì)學(xué)生進(jìn)行演繹推理能力的訓(xùn)練，另一方面，可以滲透證明中蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想---轉(zhuǎn)化．
此外，作為本章的第一課時(shí)，或者說(shuō)一章的初始課，應(yīng)該怎樣上也成為大家議論的一個(gè)焦點(diǎn)．有教師認(rèn)為，作為一章的初始課要清楚地說(shuō)明這一章的重要內(nèi)容和學(xué)習(xí)的基本方法，特別是學(xué)習(xí)方法，屬于認(rèn)知策略性知識(shí)，對(duì)后續(xù)探究性學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)作用．因此，上課之初應(yīng)對(duì)本章內(nèi)容和研究方法進(jìn)行簡(jiǎn)要說(shuō)明，如，本章將要學(xué)習(xí)四邊形家族中哪些特殊四邊形，以此讓學(xué)生對(duì)全章內(nèi)容有一個(gè)大致了解．再如，通過(guò)回顧和類(lèi)比三角形的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生了解，對(duì)每一個(gè)特殊四邊形的學(xué)習(xí)都要經(jīng)歷這樣的過(guò)程：給概念下定義，探索其性質(zhì)，研究其判定方法．對(duì)于每一種特殊四邊形性質(zhì)和判定方法的研究，主要是針對(duì)圖形中特殊線段、特殊角的關(guān)系進(jìn)行研究．
這里還需要指出的是，大家對(duì)證明過(guò)程中蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想是怎樣體現(xiàn)的尚未達(dá)成一致意見(jiàn)，一種看法是轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)為把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題；另一種看法是，轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)為把證明線段相等或角相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形全等．這兩種轉(zhuǎn)化的方向恰好相反，前一種轉(zhuǎn)化的方向是從整體—四邊形到局部—三角形；后一種轉(zhuǎn)化的方向是從局部—線段或角到整體—三角形．筆者認(rèn)為，后一種認(rèn)識(shí)更貼近學(xué)生思維的真實(shí)過(guò)程，因?yàn)樗枷敕椒ù蠖嗍前l(fā)生在問(wèn)題解決之初，為問(wèn)題解決指明方向或提供方法．在證明平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等之前，學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中存在證明線段相等和角相等的有關(guān)策略—“三角形全等”，因此，當(dāng)學(xué)生看到所要求證的結(jié)論時(shí)，想到的首先是上述策略，進(jìn)而思考如何構(gòu)造兩個(gè)全等三角形．根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)（三角形內(nèi)角和定理證明），若要構(gòu)造三角形，自然會(huì)想到借助于輔助線，因此，輔助線引入水到渠成自然流暢．
2. 關(guān)于抽樣調(diào)查
大家一致認(rèn)為，利用樣本數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體的數(shù)據(jù)特征是“抽樣調(diào)查”這一課時(shí)的數(shù)學(xué)思想，其核心體現(xiàn)為估計(jì)的科學(xué)性，即借助于樣本的數(shù)據(jù)特征推斷總體的數(shù)據(jù)特征．隨機(jī)性伴隨抽樣調(diào)查，即每一次抽樣得到的數(shù)據(jù)可能與總體相應(yīng)的真值存在差異，不同批次的抽樣得到的數(shù)據(jù)之間存在差異．在操作中，樣本的代表性是抽樣調(diào)查的核心技術(shù)問(wèn)題．代表性涉及到樣本的抽取方法，樣本數(shù)量多少，這些因素影響到估計(jì)的準(zhǔn)確程度．
比較全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)常常是深化理解兩種數(shù)據(jù)收集方法的有效辦法．抽樣調(diào)查常常用于被調(diào)查的總體中個(gè)體數(shù)量較大，甚至是無(wú)限多個(gè)；或調(diào)查過(guò)程具有較大損耗和破壞性，但并不是說(shuō)抽樣調(diào)查只能用于這樣的調(diào)查，這與問(wèn)題解決的要求密切相關(guān)．值得注意的是，調(diào)查方法的選擇與抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的優(yōu)劣并無(wú)直接關(guān)系，特別是準(zhǔn)確性的問(wèn)題，不能說(shuō)全面調(diào)查就一定比抽樣調(diào)查更精確（詳見(jiàn)本期論文：初中抽樣調(diào)查教學(xué)中四個(gè)基本問(wèn)題的探討）．
3. 關(guān)于平均數(shù)
學(xué)生對(duì)平均數(shù)并不陌生，但如何理解“權(quán)”的意義關(guān)系到教師如何處理教材，如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，甚至關(guān)系到教學(xué)手段的選擇．廣州許世紅老師認(rèn)為，權(quán)即“權(quán)衡輕重”，根據(jù)權(quán)在統(tǒng)計(jì)中的具體應(yīng)用主要有以下幾種常見(jiàn)的基本分類(lèi)：（1）從取值形式看，權(quán)可以取正整數(shù)，也可以是零或正小數(shù)．（2）從表現(xiàn)形式看，權(quán)有絕對(duì)權(quán)和相對(duì)權(quán)兩種．絕對(duì)權(quán)是以總量指標(biāo)形式表示的．例如：在分組情況下，計(jì)算平均成績(jī)時(shí)，以各組學(xué)生人數(shù)為權(quán)．相對(duì)權(quán)是以相對(duì)數(shù)形式表示，這個(gè)相對(duì)數(shù)可以與被平均的變量有著數(shù)量上的直接關(guān)系，也可以沒(méi)有數(shù)量上的直接關(guān)系．例如：計(jì)算平均成績(jī)時(shí)，可以用各組學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為權(quán)．（3） 從產(chǎn)生方式看，權(quán)有自然權(quán)和人工權(quán)之分．自然權(quán)是指通過(guò)變換統(tǒng)計(jì)資料的表現(xiàn)形式（如對(duì)統(tǒng)計(jì)資料進(jìn)行分組）而得到的一種統(tǒng)計(jì)權(quán)，如人教版課標(biāo)教材8年級(jí)下20.1數(shù)據(jù)的代表中的探究問(wèn)題（5路公共汽車(chē)載客量計(jì)算）中的權(quán)，這種權(quán)往往具有確定性和客觀性．而人工權(quán)指根據(jù)一定的研究目的而人為構(gòu)造的、以反映各項(xiàng)標(biāo)志值重要程度的統(tǒng)計(jì)權(quán)，如演講比賽各項(xiàng)成績(jī)（演講內(nèi)容、演講能力、演講效果）的權(quán)，這種權(quán)具有主觀性和假定性，因此，往往表現(xiàn)出不確定性和多元性的特征．（4） 從與待加權(quán)的標(biāo)志值的關(guān)系來(lái)看，權(quán)數(shù)有相關(guān)權(quán)和獨(dú)立權(quán)之分．相關(guān)權(quán)，其數(shù)值大小與被加權(quán)的標(biāo)志值大小有關(guān)；獨(dú)立權(quán)，其數(shù)值大小與被加權(quán)的標(biāo)志值大小無(wú)關(guān)．
二、有效落實(shí)核心概念和思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)
1.關(guān)注認(rèn)知起點(diǎn)
著名美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W斯貝爾說(shuō)過(guò)，如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)．因此，教學(xué)設(shè)計(jì)必須尊重學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知發(fā)展水平．本次課題研討會(huì)讓大家充分地理解了這一點(diǎn)．例如，針對(duì)平行四邊形的性質(zhì)，很多老師都認(rèn)為，課堂教學(xué)首先由搞清楚學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)是什么，小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了，這里再進(jìn)行探究猜想驗(yàn)證就是花架子．初中階段的主要任務(wù)是論證，包括其中填輔助線的方法，八年級(jí)更應(yīng)當(dāng)注重演繹推理．課堂教學(xué)中，學(xué)生對(duì)教師提出動(dòng)手的要求相應(yīng)不積極，其主要原因是學(xué)生對(duì)平行四邊形的性質(zhì)已經(jīng)了然于胸．
再比如，在抽樣調(diào)查一課的教學(xué)目標(biāo)中，如何讓學(xué)生感受到這種思想，感受到什么程度是教學(xué)中難以把握的，因此，這些問(wèn)題備受關(guān)注，換句話說(shuō)，在課堂上，怎樣使學(xué)生感受到抽樣調(diào)查的必要性，抽樣調(diào)查的科學(xué)性，抽樣調(diào)查與全面調(diào)查各自的優(yōu)勢(shì)和不足，樣本的代表性等等，是本節(jié)課不容回避的問(wèn)題．
在日常生活中，學(xué)生已經(jīng)積累了很多關(guān)于抽樣調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)抽樣調(diào)查的必要性已經(jīng)有了初步的認(rèn)同，對(duì)樣本選擇的代表性問(wèn)題也有所感悟，但這些經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)識(shí)和感悟更多地是感性的，沒(méi)有從數(shù)學(xué)理性的高度加以系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)，因此，當(dāng)某些具體問(wèn)題出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生可能會(huì)在抽樣調(diào)查與全面調(diào)查的方法選擇上產(chǎn)生疑惑，對(duì)樣本如何選擇不知所措，甚至對(duì)這種思想方法的科學(xué)性產(chǎn)生質(zhì)疑．正是基于這樣的認(rèn)知沖突，經(jīng)驗(yàn)的、感性的認(rèn)識(shí)才得以提升，使之達(dá)到數(shù)學(xué)的理性境界；正是基于這樣的認(rèn)知沖突，學(xué)生猜感受到數(shù)學(xué)的魅力．因此，我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須尊重學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行有效地?cái)?shù)學(xué)化．
2.放飛學(xué)生的思維
本次會(huì)議達(dá)成的一個(gè)共識(shí)是，教師需要進(jìn)一步放手，讓學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題．從四節(jié)觀摩課的教學(xué)實(shí)際情況看，教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題中留給學(xué)生的探究空間太小，對(duì)學(xué)生的思維牽制太多，沒(méi)能讓學(xué)生放開(kāi)思維．北京一中王坤老師認(rèn)為，課堂上應(yīng)當(dāng)完全放手，把問(wèn)題拋給學(xué)生，完全由學(xué)生來(lái)證明，老師只負(fù)責(zé)完善與整理．如果教師過(guò)多引導(dǎo)，牽著學(xué)生想到類(lèi)似于課本提供的證法，邊角同時(shí)證，那么證明的技巧性太強(qiáng)，過(guò)于精致，與學(xué)生的自然思維差距比較大．如果針對(duì)不同的兩條性質(zhì)，讓學(xué)生自己思考，那么學(xué)生可能先證角相等，然后再證邊相等．因此，我們是否可以多立足于學(xué)生的“學(xué)”與“取”，而少立足教師的“教”與“給”．
關(guān)于自主探究，很多教師都認(rèn)識(shí)到，在實(shí)踐中，探究式教學(xué)很容易流于形式，走向兩個(gè)極端：“探究活動(dòng)”成為引誘學(xué)生鉆教師預(yù)設(shè)的“圈套”，沒(méi)有豐富的探究空間；抑或“探究活動(dòng)”成為一種“標(biāo)簽”，學(xué)生其實(shí)沒(méi)有真正地進(jìn)行探究活動(dòng)，而是被教師牽著鼻子去發(fā)現(xiàn)“新知識(shí)”．比如，在這堂課中，教師讓學(xué)生畫(huà)一個(gè)平行四邊形，再讓學(xué)生度量邊和角，讓學(xué)生得出對(duì)邊和對(duì)角相等的結(jié)論．為什么只度量邊和角？這樣的探究，名義上是探究，實(shí)際上還是老師讓做什么，學(xué)生就跟著做什么．看起來(lái)學(xué)生親自動(dòng)手了，實(shí)際上不過(guò)是貼了一個(gè)“探究活動(dòng)”的標(biāo)簽而已，學(xué)生的動(dòng)手根本就不是自主探究．
由于這種標(biāo)簽式的探究活動(dòng)過(guò)多地牽制了學(xué)生的思維活動(dòng)，“平行四邊形對(duì)角線相互平分”就不可能自然地進(jìn)入學(xué)生的視野范圍內(nèi)，探究活動(dòng)就會(huì)成為了窮途末路．
3.在具體真實(shí)的情境中感受數(shù)學(xué)
在課堂教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生親身經(jīng)歷抽樣調(diào)查全過(guò)程，感受數(shù)據(jù)生成的真實(shí)過(guò)程．章建躍談到，初中教學(xué)有兩個(gè)任務(wù)，一是教知識(shí)，但更重要的是教思想．統(tǒng)計(jì)思想是很難概括的，如果用一兩句話概括，那就是歸納的思想．課堂教學(xué)中如何落實(shí)？經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程，親自讓學(xué)生收集數(shù)據(jù)，這是第一要點(diǎn)．收集數(shù)據(jù)了，一系列東西就出來(lái)了．但日常教學(xué)中，很少讓學(xué)生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)過(guò)程．這就是說(shuō)，只有在具體真實(shí)的情景中學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，才能讓學(xué)生感受到統(tǒng)計(jì)的味道，脫離真實(shí)情景統(tǒng)計(jì)的味道就淡化了，隨之強(qiáng)化的是算數(shù)的味道．
此外，為體現(xiàn)問(wèn)題情境的真實(shí)性，問(wèn)題中的數(shù)據(jù)要真實(shí)．討論中，大家認(rèn)為，招聘數(shù)據(jù)太明顯，不算就能看出來(lái)，數(shù)據(jù)傾向性太強(qiáng)，無(wú)需加權(quán)平均數(shù)就可以作出判斷．
4.防止多媒體喧賓奪主
在上課期間，偶遇停電，打亂了教師使用多媒體的教學(xué)設(shè)計(jì)，雖然上課教師沉著地處理了這一偶發(fā)事件，但怎樣應(yīng)用多媒體教學(xué)手段再一次引起大家關(guān)注．北京邵海磊老師認(rèn)為，多媒體教學(xué)只是輔助教學(xué)，課件是輔助教學(xué)的手段，其根本目的在于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解．雖然課件中已將所需圖形準(zhǔn)備好，但并不能完全代替現(xiàn)場(chǎng)在黑板上畫(huà)圖．教師在黑板上作圖，一方面要邊讀題變畫(huà)圖，借助于這個(gè)過(guò)程可以向?qū)W生示范將數(shù)學(xué)文字或符號(hào)語(yǔ)言怎樣轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言．另一方面有助于學(xué)生形成和發(fā)展圖形的想象能力．此外，脫離了多媒體的限制，課堂教學(xué)靈活性會(huì)更大，學(xué)生思維會(huì)更靈活．比如，對(duì)于輔助線的添加，學(xué)生可能有不同的做法，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的提法，及時(shí)靈活應(yīng)地在黑板上結(jié)合圖形加以說(shuō)明．
湖北吳明龍質(zhì)疑，幾何教學(xué)性質(zhì)的推理論證，要不要利用投影設(shè)備學(xué)生說(shuō)一句，老師在大屏幕上顯示一句．對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生，應(yīng)該自己完成動(dòng)手書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，以此發(fā)展學(xué)生書(shū)面表達(dá)能力．因此，此處利用多媒體設(shè)備呈現(xiàn)證明過(guò)程會(huì)阻礙數(shù)學(xué)表達(dá)能力的發(fā)展．
三、怎樣才能有效反思
如何判斷教學(xué)設(shè)計(jì)的有效性是課題開(kāi)展研究以來(lái)一直關(guān)注的問(wèn)題之一，本次會(huì)議在課后檢測(cè)方面做了一點(diǎn)嘗試．每一節(jié)課結(jié)束后，都對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了書(shū)面測(cè)試，并把書(shū)面測(cè)試結(jié)果及時(shí)反饋給與會(huì)教師，希望能從學(xué)生的作業(yè)反饋中尋找到一些信息，用以支持對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有效性合理性的推測(cè)．當(dāng)然，如果能有對(duì)比班參與測(cè)試，那么對(duì)兩組數(shù)據(jù)比較分析將對(duì)課題研討更有參考價(jià)值．
在嘗試書(shū)面測(cè)試過(guò)程中，大家也意識(shí)到，試題本身能否體現(xiàn)對(duì)核心數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想方法的考查力度，關(guān)系反饋信息的質(zhì)量，進(jìn)而會(huì)影響我們對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)有效性的判斷．因此，設(shè)計(jì)高質(zhì)量的測(cè)試題目將是下一階段課題研究的另一個(gè)問(wèn)題．
在探索書(shū)面測(cè)試的同時(shí)，如何進(jìn)行有效反思也是課題組關(guān)心的問(wèn)題．人教社章建躍指出，反思不是記流水帳，要針對(duì)具體現(xiàn)象和問(wèn)題進(jìn)行分析和概括．遼寧景敏認(rèn)為，課后反思的邏輯起點(diǎn)是從課前的教學(xué)設(shè)計(jì)開(kāi)始的，反思是把教學(xué)實(shí)踐獲得的感受與教學(xué)設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)意圖進(jìn)行對(duì)比，確切地說(shuō)，是把學(xué)生的實(shí)際行為與設(shè)計(jì)的目的進(jìn)行對(duì)比的過(guò)程．因此，設(shè)計(jì)意圖越明確，對(duì)比就會(huì)越有成效．通過(guò)反思，教師能更好地理解學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展水平，從而使今后的教學(xué)更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．
此外，寫(xiě)反思時(shí)要把教學(xué)片段盡可能詳細(xì)地描述來(lái)，針對(duì)描述中出現(xiàn)的行為進(jìn)行分析，從中抽象出觀點(diǎn)或結(jié)論，這樣的反思可讀性強(qiáng)．
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