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新年好呀。要說今年大年初一有什么值得慶祝的事，相信熱愛物理的你們會(huì)脫口而出——《流浪地球2》上映了。我剛剛從電影院出來，確實(shí)是一部不錯(cuò)的科幻片。

這里先給不了解故事背景的讀者講講設(shè)定。按照電影制作手記^[1]和預(yù)告片所展示的故事線：早在1977年，就有天文學(xué)家根據(jù)太陽活動(dòng)歷史記錄推測(cè)太陽核心聚變加速；2026年，爆發(fā)了超過G5等級(jí)的太陽風(fēng)暴，國(guó)際開始重視氦閃危機(jī)，并逐漸形成乘坐飛船逃離的飛船派和帶著地球流浪的地球派；2030年，地球派方案被采納，開始建造推動(dòng)地球的行星發(fā)動(dòng)機(jī)；2039年，剎車時(shí)代，通過發(fā)動(dòng)機(jī)停止地球自轉(zhuǎn)；2042年，逐月計(jì)劃啟動(dòng)；2044年，太空電梯危機(jī)；2058年，月球墜落危機(jī)；2065年，地球停轉(zhuǎn)，推進(jìn)發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，進(jìn)入加速時(shí)代；2075年，木星引力危機(jī)；2078年，太陽氦閃危機(jī)。

我們先從整個(gè)故事的動(dòng)機(jī)，也就是太陽急速膨脹老化，即將氦閃說起。

我們的太陽正處于青壯年時(shí)期，天文上稱為主序星階段。它大約四分之三是氫，四分之一是氦，還含有少量的氧、碳、氖、鐵。太陽發(fā)光發(fā)熱的能量來源，主要是它里頭的氫在發(fā)生聚變，每4個(gè)氫1（質(zhì)子）會(huì)聚變成一個(gè)氦核，這被稱為質(zhì)子-質(zhì)子鏈反應(yīng)。

太陽的內(nèi)層高溫高壓，可以聚變生成氦，而外層環(huán)境不夠高溫高壓，氫無法聚變。由于太陽的質(zhì)量較大，內(nèi)層生成的氦會(huì)被引力困住而出不去，外層的氫又進(jìn)不到內(nèi)部。所以，當(dāng)太陽內(nèi)層的氫被耗盡，全部變成氦時(shí)，內(nèi)層聚變產(chǎn)生的熱能就抵抗不了引力，從而坍縮。

太陽的內(nèi)外層 | 圖源：bilibili@吟游詩人基德

但這并不意味著太陽會(huì)縮小，因?yàn)樘s后的內(nèi)層會(huì)變得更熱，使外層的氫升溫并點(diǎn)燃聚變反應(yīng)，這一下反而讓太陽膨脹上千倍，表面甚至可以達(dá)到金星軌道的位置。此時(shí)，太陽進(jìn)入紅巨星階段。紅巨星一般會(huì)持續(xù)10億年。在紅巨星的末期，太陽內(nèi)核溫度可高達(dá)一億度，足以點(diǎn)燃氦聚變成碳氧的核反應(yīng)，這稱為氦閃。

所以，按目前的恒星理論，早在氦閃之前，太陽就會(huì)膨脹變成紅巨星，把地球上的生命烤熟。

按目前的理論估計(jì)，太陽能在主序星階段持續(xù)110億年，而今太陽才50億歲，大可不用擔(dān)心它會(huì)膨脹老化。

為了推動(dòng)地球，人們一共建造了一萬兩千臺(tái)行星發(fā)動(dòng)機(jī)，其中一萬臺(tái)建在北半球用于推進(jìn)，兩千臺(tái)建在赤道附近用于轉(zhuǎn)向。這些發(fā)動(dòng)機(jī)的高度超過一萬米，占地面積約1千平方公里，非常巨大。

轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)和推進(jìn)發(fā)動(dòng)機(jī)

作為硬核科幻迷，我們?cè)诎肽昵熬凸浪氵^地球流浪的第一步——剎住自轉(zhuǎn)該如何進(jìn)行了（如何讓太陽從西邊升起）。我們假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)采用的是老航天喜愛的工質(zhì)推進(jìn)方案，并假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)能把工質(zhì)以第二宇宙速度11.2km/s噴出，然后算算看這需要多大的功率。

按照電影制作手記里規(guī)劃，人們花了26年完成剎車，但原著小說里是花了42年才完成的，這里我們采用小說的時(shí)間。經(jīng)過計(jì)算^[2]，兩千臺(tái)轉(zhuǎn)向發(fā)動(dòng)機(jī)需要每秒總共噴出733.6億噸工質(zhì)，平均功率達(dá)到4.6×10²¹W。

你可能對(duì)這個(gè)數(shù)沒什么概念，我打個(gè)比方，這相當(dāng)于它一秒鐘就要消耗2021年一整年全球發(fā)電量的45倍。對(duì)照目前的工程技術(shù)，這是2000億個(gè)三峽發(fā)電站的裝機(jī)容量，或5750億個(gè)核裂變電站機(jī)組（以目前裝機(jī)容量最大的柏崎刈羽核電站為計(jì)量單位）。但對(duì)于太陽來說，這又只不過是它輻射功率的十萬分之一。

換算下來，發(fā)動(dòng)機(jī)的總推力要達(dá)到8.21×10¹⁷N，所以單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力要達(dá)到410億噸。但是，原著和電影都設(shè)定一臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力是150億噸^[1]，保險(xiǎn)起見，我建議把這個(gè)設(shè)定再往上翻兩倍。

發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)會(huì)產(chǎn)生巨量的熱，所以在計(jì)劃伊始，地表溫度會(huì)上升到七八十?dāng)z氏度，兩極冰川融化，加上自轉(zhuǎn)停轉(zhuǎn)引起的潮汐，一些臨海城市會(huì)被淹沒。

被淹沒的上海和巨大的行星發(fā)動(dòng)機(jī)

這么巨大的推力，要從哪里獲得能量呢？《流浪地球》假想了一種技術(shù)——重核聚變，也就是“燒石頭”。我們先講講什么是核反應(yīng)。

原子核由質(zhì)子和中子構(gòu)成，它們統(tǒng)稱為核子。核子結(jié)合成原子核會(huì)釋放能量。在核反應(yīng)過程中，核子的結(jié)合方式會(huì)發(fā)生改變，這種結(jié)合方式重組的過程伴隨著能量變化。如果某個(gè)核反應(yīng)吸收能量，那說明初態(tài)比末態(tài)的能量低，如果核反應(yīng)釋放能量，那說明初態(tài)比末態(tài)的能量高。

由于核反應(yīng)中核子數(shù)守恒，我們把一個(gè)原子核結(jié)合時(shí)所釋放能量除以它的核子數(shù)，從而定義出在該核中核子的平均結(jié)合能。平均結(jié)合能越大，說明核子具有的能量越低，反應(yīng)活性就越差。而平均結(jié)合能越小，核子具有的能量就越高，更容易發(fā)生核反應(yīng)。

不同原子核的比結(jié)合能

從圖中可以看出H¹具有的平均結(jié)合能最小（因?yàn)樗挥幸粋€(gè)質(zhì)子，還沒有結(jié)合），Fe⁵⁶的平均結(jié)合能最大。凡是平均結(jié)合能比Fe⁵⁶小的原子核，都可以通過核反應(yīng)向Fe⁵⁶靠攏并釋放能量。在Fe⁵⁶左邊的原子核可以通過聚變變成Fe⁵⁶，而在右邊的原子核可以通過裂變變成Fe⁵⁶。

我們剛剛講了太陽的氫核聚變，從圖上也可以看出，氦核還可以繼續(xù)聚變成碳、氮、氧等等，只不過后續(xù)的反應(yīng)要求的壓強(qiáng)和溫度更高。

在比太陽更重的恒星中進(jìn)行的碳氮氧循環(huán)

“燒石頭”也是類似，石頭主要含的氧和硅在極高溫和高壓下都可以發(fā)生聚變并向鐵靠攏。但目前人們連輕核聚變都還沒掌握。當(dāng)今正在研究的聚變技術(shù)有三代，第一代以氘氚聚變?yōu)橹鳎枰臏囟群蛪簭?qiáng)相對(duì)而言較低；第二代是氘和氦3融合，第三代是兩個(gè)氦3融合，這兩代的反應(yīng)條件更苛刻。

日月間的引力大概有2×10²⁰N，所有發(fā)動(dòng)機(jī)全功率運(yùn)行也無法直接抵消這個(gè)力，為了消除這個(gè)不可控因素，《流浪地球》中設(shè)定了逐月計(jì)劃。

月球上的三個(gè)亮點(diǎn)就是三臺(tái)月球發(fā)動(dòng)機(jī)

但從預(yù)告片我們可以得知，2058年爆發(fā)了月球墜落危機(jī)，月球一個(gè)不小心沒有被推出去，反而是撞向地球了。

這個(gè)畫面很有意味，紅圈是月球相對(duì)地球的洛希極限。什么是洛希極限呢？我們以第一部電影舉例。

在第一部電影中，地球在借助木星引力彈弓增速時(shí)一個(gè)不小心沒控制好軌跡，即將墜入洛希極限，如果不想辦法施加更大的推力逃離，就會(huì)被木星引力撕碎，成為木星環(huán)的一部分。

這個(gè)撕碎的力來源于引力的不均勻。木星對(duì)地球的引力是不均勻的，遠(yuǎn)離木星的部位引力小，靠近木星的部位引力大，這個(gè)引力差就會(huì)形成引潮力。沒錯(cuò)，之所以叫這個(gè)名字，正是因?yàn)榈厍蛏系某毕窃虑驅(qū)Φ厍蛞绷Ξa(chǎn)生的，月升月落就導(dǎo)致了潮起潮落。

引潮力會(huì)隨著兩個(gè)天體間的距離減小而增大，距離減小到洛希極限時(shí)，引潮力就會(huì)大到超過地球自身的引力，從而讓地球崩解。對(duì)于剛體和流體，洛希極限分別有以下的計(jì)算式：

但是電影里有個(gè)bug。地球的平均密度是5.514g/cm³，而作為氣態(tài)行星的木星平均密度是1.326g/cm³，這樣算出來的洛希極限小于木星的半徑，也就是說，地球在與木星相撞前，都不存在洛希極限的說法。當(dāng)然，如果是考慮的地球上的流體，比如地球大氣，那確實(shí)會(huì)在相撞前就被木星引力掰扯開來。

地球大氣和木星大氣被相互拉出

回到第二部電影中來，月球的平均密度是3.340g/cm³，可以算出它對(duì)于地球的剛體洛希極限在地球半徑的1.49倍處。所以電影中月球墜向地球時(shí)，月球還沒接觸到地球就會(huì)被引潮力撕碎。

逐月計(jì)劃最終還是艱難地成功了。人們先在月表安裝上千枚核彈，通過相控陣引爆，將產(chǎn)生的沖擊波集中往月核，引發(fā)了月核聚變。雖然郭帆導(dǎo)演坦言讓月球瓦解是一個(gè)瘋狂的想法，要直接毀掉月球，所需要的核武器至少是當(dāng)前儲(chǔ)量的10億倍^[3]。但這個(gè)情節(jié)讓人看到，在全球危難面前，各國(guó)終于“放下對(duì)歷史、當(dāng)下、未來的執(zhí)念”，選擇了理智的合作方式。

“今人不見古時(shí)月，今月曾經(jīng)照古人”。從此之后，地球踏上了孤獨(dú)的流浪之旅。

現(xiàn)在所有的準(zhǔn)備工作都做好了，是時(shí)候脫離太陽系了。那么發(fā)動(dòng)機(jī)應(yīng)該向哪里噴呢？

直覺上來說，既然要逃離太陽，當(dāng)然是向著太陽噴才對(duì)。但問題是，按我們第二節(jié)的估算，一萬臺(tái)推進(jìn)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力才4.1×10¹⁸N，只能給地球提供0.7μm/s²的加速度，相比之下，日地間的引力約3.5×10²²N，簡(jiǎn)直是蚍蜉撼大樹。所以直愣愣地推離地球是不太可行的。

更實(shí)際的方案是讓加速方向沿著地球公轉(zhuǎn)的速度方向，這樣才能最大化地獲得動(dòng)能。這里有兩點(diǎn)，一是脫離引力束縛不需要速度背向引力源，只要?jiǎng)幽茏銐虼笠灾劣诔^引力勢(shì)能，那么只要速度方向不直愣愣地指向引力源，物體就可以掙脫引力。二是，在發(fā)動(dòng)機(jī)功率一樣的條件下，返噴所獲得的動(dòng)量增量的大小是一樣的，這里可以近似理解成地球的速度增量大小恒定。當(dāng)速度增量方向和原速度方向一致時(shí)，獲得的動(dòng)能增量才會(huì)最大。

現(xiàn)在的航天技術(shù)也是采用這種加速方向來實(shí)現(xiàn)從低軌道升到高軌道，大部分情況下，這是最省燃料的變軌方式，也稱霍曼轉(zhuǎn)移軌道。

霍曼轉(zhuǎn)移軌道

我假想了下地球升軌到木星軌道的過程，如果按第二節(jié)計(jì)算得到的發(fā)動(dòng)機(jī)推力，這個(gè)過程至少要花上百年。為了趕上電影的時(shí)間線進(jìn)度，我們先不考慮發(fā)動(dòng)機(jī)的推力問題，直接假設(shè)每次在近日點(diǎn)點(diǎn)火能為地球產(chǎn)生3km/s的增速，那么只需要3次變軌就能完成。

之所以只在近日點(diǎn)點(diǎn)火，是因?yàn)榇颂幍厍蛩俣茸畲?，相同速度增量所增加的機(jī)械能最多，也最能抬高遠(yuǎn)地點(diǎn)。在原著中，因?yàn)椴恢篮らW什么時(shí)候爆發(fā)，每次經(jīng)過近日點(diǎn)時(shí)人們都會(huì)變得緊張，這被比喻為“宇宙俄羅斯輪盤賭”。

木星的引力彈弓加速效果（為了示意，圖中沒有在近日點(diǎn)點(diǎn)火）

地球在接近木星時(shí)會(huì)與木星引力產(chǎn)生彈弓作用，獲得木星的一部分動(dòng)量從而加速。這個(gè)過程其實(shí)就像你在打球時(shí)揮舞球拍，如果球的質(zhì)量相比球拍非常小，那么球最多可獲得的增速能達(dá)到球拍速度的2倍。

地球的質(zhì)量只有木星的千分之三，可以認(rèn)為地球就是個(gè)被木星拍子擊出的輕質(zhì)小球，因此能從引力彈弓中獲得可觀的速度增量。

通過木星的引力彈弓，地球正式脫離太陽系的引力束縛，并向新的太陽進(jìn)發(fā)。在《流浪地球》中，人們將距離太陽4.2光年的比鄰星作為新家園。

想法很美好，但有一個(gè)很棘手的問題：比鄰星和半人馬座α星A（南門二A）、半人馬座α星B（南門二B）共同構(gòu)成了三星系統(tǒng)。這個(gè)半人馬座α三星系統(tǒng)，這正是科幻小說《三體》所設(shè)定的三體文明的所在地。而三體人之所以要入侵地球，就是因?yàn)樗鼈兯诘娜窍到y(tǒng)會(huì)在引力作用下做無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，我們?cè)凇?a target="_blank" >三體開播前，幫三體找找穩(wěn)定解》介紹過它。當(dāng)然，目前比鄰星離南門二AB雙星相對(duì)較遠(yuǎn)，按當(dāng)今的軌道參數(shù)推算，還算處于恒紀(jì)元。

半人馬座α三星系統(tǒng) | 圖源：KOSMO

不過倒是有一個(gè)段子：

離太陽最近的幾個(gè)恒星系 | 圖源：KOSMO

考慮到《流浪地球》成書早于《三體》，估計(jì)大劉自己也沒想到會(huì)有這種巧合。那么有沒有更好的選擇？目前觀測(cè)到的離地球第二近的恒星是巴納德星，距地球6光年。它和比鄰星一樣，也是一顆紅矮星，質(zhì)量約0.144M_☉，表面溫度約3000K。

2018年11月，人們通過視向速度法（多普勒頻移法）發(fā)現(xiàn)巴納德星也有一個(gè)行星，命名為巴納德星b。它的質(zhì)量超過地球的3倍，表面溫度約-170℃。

巴納德星b藝術(shù)假想圖

如果把地球泊入巴納德星b以內(nèi)的軌道，應(yīng)該也能獲得不錯(cuò)的生存環(huán)境。這樣能避免三星系統(tǒng)混沌的運(yùn)行方式，但得多流浪1.8光年，也就是大概400年的時(shí)間。

縱觀整個(gè)流浪地球計(jì)劃，人們先用500年加速至光速的千分之五，再花1300年走完全程的三分之二，然后用700年減速進(jìn)入比鄰星的引力范圍，調(diào)整地球航向，使其泊入穩(wěn)定的公轉(zhuǎn)軌道。整個(gè)過程持續(xù)2500年，跨越100代人。

電影中有人質(zhì)疑它能不能完成，李雪健老師回答道：“我信，我的孩子會(huì)信，孩子的孩子也會(huì)信”。這種愚公移山的精神，既是刻在傳統(tǒng)文化里的基因，在現(xiàn)實(shí)生活中也是我們寶貴的精神財(cái)富。

參考資料：

[1] 朔方等.流浪地球電影制作手記. 人民交通出版社, 2019

[2] 牧羊. 如何讓太陽從西邊升起. 中科院物理所, 2022.10.10

[3] 對(duì)話郭帆！時(shí)隔4年重逢，解密《流浪地球2》的幕后故事！