''鄭州中考'' 中考倒計時52天
作為河南省中考的熱點與難點，二次函數(shù)的重要性不言而喻。事實上，作為最基本的初等函數(shù)，二次函數(shù)既簡單又有豐富的內(nèi)涵和外延，是初高中銜接最緊密的內(nèi)容之一。
可以以其為基礎(chǔ)研究函數(shù)的單調(diào)性、增減性、最值等性質(zhì)，也可以結(jié)合方程、不等式，甚至是幾何圖形形成比較復雜的綜合性題目。
但從初中學生對它的實際掌握情況來看，許多學生對二次函數(shù)的應用掌握得并不是很理想，甚至是“談函色變”，束手無策。對初中二次函數(shù)的認識在很大程度上影響著學生對高中新知識的學習。
距2017中考還有48天，希望本文能對孩子們梳理二次函數(shù)相關(guān)知識點有所幫助。
文章內(nèi)容有些長，請耐心看完全文，你會有意想不到的→→?收獲?，看不清的題目，請點擊圖片查看大圖。
說到圖象和基本性質(zhì)，首先二次函數(shù)有以下三種關(guān)系式：
例如下面這道例題：
這類題目的關(guān)鍵就是利用對稱軸的數(shù)值或者圖象所過的定點確定參數(shù)之間的關(guān)系。
例如下面這道例題：
二次函數(shù)剛開始學習的時候會有些抽象，所以在初步學習的時候如果能利用對稱軸以及和坐標軸交點畫出正確的草圖也是解決相關(guān)問題的一個利器。
中考23題一般考察的是二次函數(shù)與幾何的綜合題型，這里的幾何一般有特殊的三角形、特殊四邊形的存在性，以及線段及圖形的周長與面積的最值。
存在性問題分為兩類：一類是靜態(tài)的，我們可以根據(jù)二次函數(shù)的對稱性以及圖形的特點去解決，難度較?。?strong>另一類是動態(tài)的，關(guān)鍵是要根據(jù)題意找出動點在運動過程中一些不變的量或者不變的關(guān)系。
接下來從特殊三角形和特殊四邊形兩個方面梳理一下相關(guān)的邏輯思路。
一、三角形存在性
1. 等腰三角形
等腰三角形特性：兩腰相等
例如：一次函數(shù)與坐標軸分別交于 A 、B 兩點，以 AB為邊構(gòu)造等腰△ABC ，C 在坐標軸上。
⑴ AB=AC 時，以 A 為圓心，AB 為半徑畫圓與坐標軸交點（3 個）
⑵ BA=BC 時，以 B 為圓心，BA 為半徑畫圓與坐標軸交點（3 個）
⑶ CA=CB 時，AB 中垂線與坐標軸交點（2 個）
特別提醒
注意當與軸夾角為特殊角度時，交點有重復的情況▼
做等腰三角形存在性問題
①先用兩圓一垂的思路梳理出答案有幾種情況；
②根據(jù)動點所在圖象的關(guān)系式設(shè)出點坐標；
③分類討論按照兩點距離公式求出未知數(shù)的值。
2. 直角三角形
直角三角形特性：①三垂直相似；②直角邊 k 值乘積為 -1 ；③勾股定理
做直角三角形存在性問題時，根據(jù)題意判斷誰可以為直角頂點，根據(jù)動點所在圖象的關(guān)系式設(shè)出點、坐標，分類討論列出方程求出未知數(shù)的值。
3. 等腰直角三角形
等腰直角三角形特性：等腰三角形和直角三角形的綜合。
分為以下兩種：
⑴ 較為簡單的一種等腰直角三角形的存在性是三角形一邊確定，只有一個動點，此時可以構(gòu)成等腰直角三角形的點參考下圖（6 個）。
上述三種特殊三角形的存在性審題一定要注意分析清楚題目當中所給的條件，看動點在坐標系中的 位置是否是相對確定的，這樣我們在用所設(shè)坐標去表示線段長度的時候才不會出紕漏。
4. 相似（全等）三角形
相似三角形的存在性分為兩種：直角三角形和一般三角形。
⑴ 直角三角形本身就有一個直角相等，所以直角三角形的相似只需要再找一個銳角相等或者兩組邊對應成比例，銳角相等我們也可以借助三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為線段比例相等。
最后還有一個細節(jié)很重要，E 為直線 AC 上方拋物線上一點，所以相應地點 E 橫坐標注意取值范圍。
⑵ 一般三角形相似，需要先確定兩個三角形中的某一組角度相等，再去證明該組角的兩組鄰邊對應成比例。
二、特殊四邊形存在性
在這里所說的特殊四邊形是平行四邊形系列。因為平行四邊形對角線互相平分，所以坐標系中的平行四邊形存在一個很重要的性質(zhì)。
已知坐標系內(nèi)平行四邊形 ABCD ，對角線 AC 、BD 交于 M 。
坐標系內(nèi)特殊四邊形的存在性問題很多都是借助這一性質(zhì)來解決問題。
1. 平行四邊形
作為平行四邊形系列最普通的圖形，平行四邊形的存在性問題主要分為下列兩種：
⑴ 三定一動
已知坐標系內(nèi) A 、B 、C 三點坐標，確定平行四邊形第四個頂點的坐標。
⑵ 兩定兩動
為保險起見，確定兩動點之后可檢驗是否有三點共線的情況需排除。
2. 菱 形
作為一種特殊的平行四邊形，在考慮菱形存在性問題的時候也可以在平行四邊形存在性的基礎(chǔ)之上添加一些限定條件，如鄰邊相等（兩點距離公式）或者對角線互相垂直（ k1 · k2 =-1 ）。
這是四個頂點是已知或者在明確的圖象上的時候可以參考的方法，但在做題的時候一般菱形的存在性是兩定兩動的情況， 并且其中一個動點還是在坐標系中不確定具體的位置。
例如▼
坐標系中直線 AB 和拋物線交于點 A、B，且點 B 是拋物線的頂點。M 是直線 AB 上一動點，在平面直角坐標系內(nèi)是否存在點 N ，使 以 O、B、M、N 為頂點的四邊形是菱形。
思路▼
菱形任意三個頂點所構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，所以這道題實質(zhì)上是 △MOB 為等腰三角形，設(shè)點 M 坐標，分類討論（參考等腰三角形存在性）求出未知數(shù)，之后再利用中點公式求出點 N 坐標。
3. 矩 形
和菱形類似，矩形可以在平行四邊形的基礎(chǔ)之上添加一組鄰邊垂直（ k1 · k2 =-1 ）或?qū)蔷€相等（兩點距離公式）
例如▼
4. 正方形
正方形是最特殊的平行四邊形，在大多數(shù)情況下，其實正方形和等腰直角三角形是共通的。所以在做題的時候遇到以坐標系內(nèi)某條線段為邊構(gòu)造正方形的時候，和等腰直角三角形的存在性是一樣的。（參考之前等腰直角三角形存在性）就不做過多贅述。
坐標系內(nèi)特殊三角形和特殊四邊形的存在性問題，首先要把握好題目中所給的信息，按邊或者角度分類討論的時候勿遺漏情況。當然有時候也要結(jié)合動點坐標的取值范圍舍掉一些情況。
特殊圖形存在性思路其實并不是很難，但計算量不小，計算的時候要細心一些。
三、函數(shù)中的線段
作為圖形最基本的組成部分，線段在函數(shù)問題中當然也起著不可或缺的重要作用。初中階段所能夠遇到的線段問題主要分為（單）線段最值和線段比例問題。
1. 點到直線的距離
一次函數(shù)與坐標軸分別交于 A、B 兩點，C 為直線 AB 外一點，求點 C 到 直線 AB 的距離。
2. 鉛垂高
如圖，所謂鉛垂高，就是直線 AB 外一點 C ，過點 C 作 x 軸的垂線分別交直線 AB 和 x 軸于 E 、 D ， CE 即為點 C 與直線 AB 的鉛垂高。
3. 線段比例問題
涉及到線段比例問題，在初中階段一般情況下都是把線段比轉(zhuǎn)化成兩個線段端點的橫縱坐標的差之比，主要問法有以下兩種：
注意：線段問題一般情況下動點的位置都不確定，需要分類討論，所以在列等式的時候可以加上絕對值，這樣可以避免遺漏情況。
4. 焦點準線問題
二次函數(shù)是貫穿初高中的學習，有時候會把高中的某些簡單知識點下放，焦點準線問題就其中之一。主要考察的是拋物線上任意一點到某定點的距離和到定直線的距離的不變關(guān)系。
拋物線上任意一點到焦點的距離等于到準線的距離。若直線直線 L不是準線，還可以研究丨PM—PN丨為定值。
四、函數(shù)中的角度
角度問題是函數(shù)中的一個難點，但它和前面的三角形存在性是聯(lián)系著的，所以特殊角度可以轉(zhuǎn)化為特殊三角形存在性，角度相等可以轉(zhuǎn)化為全等或相似。另外，與三角函數(shù)值的結(jié)合也是一個很重要的知識點。
注意：
初中階段所學習的是銳角三角函數(shù)，所以圖象與 x 軸夾角咱們一般按銳角的角度來計算，所以由特殊角度的正切值與一次函數(shù)的 k 值轉(zhuǎn)化時注意圖象走向。
角度問題還有一個很重要的考點就是直線旋轉(zhuǎn)問題，這也會用到高中一個很重要的知識點，和角公式和夾角公式。
在研究線段繞固定點旋轉(zhuǎn)或者是否存在某個特殊角度的時候可以用這兩個公式來進行推導。
五、函數(shù)中周長與面積
函數(shù)中的周長與面積的有很多類型，關(guān)鍵是要根據(jù)題目中的信息找到周長和面積的表達式。
1. 周長
初中階段主要研究幾何圖形周長的最值，分為最大值和最小值兩種。
周
長
最
大
值
周
長
最
小
值
周長最小值時要找線段和的最小值，一般情況下是考慮將軍飲馬問題。
還有一種是將軍飲馬問題的升級版本，就是在固定三角形三邊上各找一個動點構(gòu)成三角形,使得新組成的三角形周長最小。
例如▼
思路▼
2. 面積
面積問題是函數(shù)中的常考題型，通常所讓求的圖形都不是很特殊的圖形，需要借助整體減部分、割補法或者鉛垂線法求得面積的表達式。
面積最值和定值
配方求最值:
規(guī)律：鉛垂高最大的時候面積最大
面積定值和面積最值解題思路是一樣的，讓面積的表達式是等于定值解方程，但在面積定值問題里一般點 M 和直線 BC 的位置關(guān)系不確定，鉛垂高表達式需加絕對值。
面積相等
函數(shù)的內(nèi)容重在理解，只有思路清晰在做題的時候才能無往而不利，并且不單單是中考，初中階段的二次函數(shù)綜合題還是新高一進一步學習函數(shù)的基礎(chǔ)。所以即使中考之后，希望大家也要好好梳理二次函數(shù)的內(nèi)容。三年磨一劍，預祝大家中考順利！
聲明：
本文由學而思培優(yōu)鄭州分校初中教研組張龍老師編寫，劉國棟老師校閱，轉(zhuǎn)載請注明出處，謝謝！
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