說到正方形，大家應(yīng)該都很熟悉，這是一種我們從小學(xué)就開始接觸的圖形，非常的對稱和完美。
小學(xué)期間因知識有限，并沒有對正方形進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，進(jìn)入初中之后，教材對正方形相關(guān)知識內(nèi)容進(jìn)行拓展和深化，成為初中幾何學(xué)習(xí)重要內(nèi)容之一，也是中考數(shù)學(xué)幾何重點(diǎn)考查對象之一。
什么是正方形？
有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
從正方形的概念，我們可以看出它本質(zhì)上是平行四邊形，是一種特殊的平行四邊形，更是一種特殊的矩形和菱形。因此，正方形不僅具有平行四邊形所有性質(zhì)，更加具有自己的特殊性質(zhì)。
縱觀近幾年以正方形為載體的中考數(shù)學(xué)試題，一般都是以基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗為依托，主要考查考生運(yùn)用基礎(chǔ)知識分析、解決問題的能力。
中考數(shù)學(xué)，正方形，典型例題分析1：
如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是 ．
作E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E′，點(diǎn)A關(guān)于DC的對稱點(diǎn)A′，
連接A′E′，四邊形AEPQ的周長最小，
∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，
∴AA′=6，AE′=4．
∵DQ∥AE′，D是AA′的中點(diǎn)，
∴DQ是△AA′E′的中位線，
∴DQ=AE′/2=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，
∵BP∥AA′，
∴△BE′P∽△AE′A′，BP/6=1/4
∴BP/AA’=BE’/AE’，即BP/6=1/4，BP=3/2，CP=BC﹣BP=3﹣3/2=3/2，
S四邊形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP
=9﹣AD·DQ/2﹣CQ·CP/2﹣BE·BP/2
=9﹣(3×2)/2﹣1×3/2×1/2﹣×1×3/2×1/2=9/2，
故答案為：9/2．
考點(diǎn)分析：
軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)；計算題．
題干分析：
根據(jù)最短路徑的求法，先確定點(diǎn)E關(guān)于BC的對稱點(diǎn)E′，再確定點(diǎn)A關(guān)于DC的對稱點(diǎn)A′，連接A′E′即可得出P，Q的位置；再根據(jù)相似得出相應(yīng)的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積。
解題反思：
本題考查了軸對稱，利用軸對稱確定A′、E′，連接A′E′得出P、Q的位置是解題關(guān)鍵，又利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形分割法是求面積的重要方法。
中考數(shù)學(xué)，正方形，典型例題分析2：
如圖，正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的點(diǎn)F重合，展開后折痕DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、G，連結(jié)GF，給出下列結(jié)論：
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折疊的性質(zhì)可得：∠ADG=∠ADO/2=22.5°，
故①正確．
∵由折疊的性質(zhì)可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜AB/2，
∴＞2，
故②錯誤．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
∴S△AGD＞S△OGD，
故③錯誤．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
故④正確．
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四邊形AEFG是菱形，
∴∠OGF=∠OAB=45°，
考點(diǎn)分析：
四邊形綜合題．
題干分析：
①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折疊的性質(zhì)，可求得∠ADG的度數(shù)；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面積＞△OGD的面積；
④由折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)，易得△EFG是等腰三角形，即可證得AE=GF；
⑤易證得四邊形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得BE=2OG；
⑥根據(jù)四邊形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF時等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的長，進(jìn)而可得出BE及AE的長，利用正方形的面積公式可得出結(jié)論．
解題反思：
此題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。
認(rèn)真掌握以下這些正方形的性質(zhì)：
1、具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)；
2、正方形的四個角都是直角，四條邊都相等；
3、正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；
4、正方形是軸對稱圖形，有4條對稱軸；
5、正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，兩條對角線把正方形分成四個全等的小等腰直角三角形；
6、正方形的一條對角線上的一點(diǎn)到另一條對角線的兩端點(diǎn)的距離相等。
中考數(shù)學(xué)，正方形，典型例題分析3：
如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說明理由；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由．
解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時，
PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：PE=PD，PE⊥PD；
（2）∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，
∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
（i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°﹣（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時，PE⊥PD．
（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時，如圖．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
綜合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；
考點(diǎn)分析：
正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。
題干分析：
（1）根據(jù)點(diǎn)P在線段AO上時，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時，分別分析即可得出；
（3）利用PE=PB得出P點(diǎn)在BE的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P為圓心，PB為半徑畫弧即可得出E點(diǎn)位置，利用（2）中證明思路即可得出答案．
解題反思：
此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和尺規(guī)作圖等知識，此題涉及到分類討論思想，這是數(shù)學(xué)中常用思想同學(xué)們應(yīng)有意識的應(yīng)用。
如何判定一個四邊形是不是正方形？掌握好這些正方形判定定理：
1、判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等。
先證它是菱形，再證有一個角是直角。
2、判定一個四邊形為正方形的一般順序如下：
先證明它是平行四邊形；
再證明它是菱形（或矩形）；
最后證明它是矩形（或菱形）。
中考數(shù)學(xué)，正方形，典型例題分析4：
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D都在第一象限．
（1）當(dāng)∠BAO=45°時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；
（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由．
（3）因為點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，所以h＞0．
考點(diǎn)分析：
正方形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；幾何動點(diǎn)問題；幾何綜合題。
題干分析：
（1）當(dāng)∠BAO=45°時，因為四邊形ABCD是正方形，P是AC，BD對角線的交點(diǎn)，能證明OAPB是正方形，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）過P點(diǎn)做x軸和y軸的垂線，可通過三角形全等，證明是角平分線．
（3）因為點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，所以h＞0．
解題反思：
本題考查里正方形的性質(zhì)，四邊相等，四角相等，對角線互相垂直平分，且平分每一組對角，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點(diǎn)。
