深圳中學(xué) 郭慧清
在廣東、山東、海南、青海四省依照《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施的高中數(shù)學(xué)新課程中，如何貫徹新課程理念，正確把握和實(shí)施高中數(shù)學(xué)教學(xué)，已成為每一個高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該研究的課題。本教學(xué)案例選取“進(jìn)位制”作為“算法初步”的教學(xué)內(nèi)容，以教學(xué)設(shè)計(jì)的形式探索高中數(shù)學(xué)新課程的實(shí)施過程。
一．教學(xué)設(shè)計(jì)意圖
1．關(guān)注問題性、啟發(fā)性，加強(qiáng)聯(lián)系性
本課通過“猜生月生日”這一程序游戲創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，使學(xué)生自然提出問題：“這一程序是怎樣設(shè)計(jì)的？”進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生主動探索程序中的算法算理，從而引進(jìn)數(shù)的進(jìn)位制及其轉(zhuǎn)化問題。教學(xué)過程中，由學(xué)生熟悉的十進(jìn)制出發(fā)，引導(dǎo)他們分析得到“除10取余法”，再通過類比得到“除2取余法”，進(jìn)而推廣得到“除k取余法”，從而解決十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制的問題。在此基礎(chǔ)上，再研究k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的問題，最后解決兩種不同進(jìn)位制間的互相轉(zhuǎn)化問題。這樣設(shè)計(jì)的目的，是遵循認(rèn)知規(guī)律，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成與學(xué)生認(rèn)知的過程性，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系性，促使學(xué)生主動探究，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識。
2．講背景，講數(shù)學(xué)，講思想，講應(yīng)用，
在“猜生月生日”這個真實(shí)背景下，學(xué)生能真切地體會算法的作用與數(shù)學(xué)的力量，引入這個背景的意義，在于講數(shù)學(xué)中的算法思想，在于應(yīng)用算法思想解決實(shí)際問題。在課的設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中，始終圍繞“不同進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)化”這一目標(biāo)，讓學(xué)生經(jīng)歷由探究算理，到抽象算法步驟，繪制程序框圖，再到設(shè)計(jì)并優(yōu)化程序的全過程，使學(xué)生明確自己是在學(xué)數(shù)學(xué)而不僅僅是在編程序或玩計(jì)算機(jī)，這一過程的主要目的是使學(xué)生得到算法思想的熏陶與提升。課后作業(yè)要求學(xué)生利用已學(xué)的知識與方法探究“猜生月生日”的算法與算理，意在講應(yīng)用，讓學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)的“源”與“流”，加強(qiáng)數(shù)學(xué)與事物間的聯(lián)系。
3．注重數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的整合，嘗試改進(jìn)教與學(xué)的方式
在教學(xué)過程中，師生充分利用TI圖形計(jì)算器一起進(jìn)行算理探索、程序設(shè)計(jì)、演示交流，這不僅使學(xué)生親身體驗(yàn)了算法的實(shí)現(xiàn)過程，而且為改進(jìn)教與學(xué)的方式提供了強(qiáng)有力的平臺。在數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)的整合中堅(jiān)持貫徹“必要性”、“平衡性”、“廣泛性”、“實(shí)踐性”、“實(shí)效性”等原則。
二．教學(xué)任務(wù)分析
1. 通過“進(jìn)位制”這一案例的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步加深對算法含義的認(rèn)識：
（1）算法通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決某類問題的程序或步驟（可行性）；
（2）算法中的程序或步驟必須是明確和有效的（確定性）；
（3）算法中的程序或步驟必須在有限步之內(nèi)完成（有窮性）．
2．通過“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”與“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的算理分析與程序框圖，加深對算法的三種基本結(jié)構(gòu)（順序結(jié)構(gòu)、選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)）的認(rèn)識，正確理解與使用循環(huán)結(jié)構(gòu)中的選擇結(jié)構(gòu)．
3．根據(jù)“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”與“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的程序框圖，利用TI圖形計(jì)算器的程序語言寫出程序，由此體會并正確選用算法語句（輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句）表達(dá)算法的步驟與算法的基本結(jié)構(gòu)．
4. 通過“進(jìn)位制”這一案例的教學(xué)，使學(xué)生熟悉用算法思想解決問題的基本步驟：
（1）用自然語言寫出“算法步驟”；
（2）根據(jù)算法步驟寫出“程序框圖”；
（3）選用一種計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語言，根據(jù)程序框圖寫出“程序”；
（4）上機(jī)驗(yàn)證程序的可行性，完善和優(yōu)化算法．
三．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”與“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的算理分析．
四．教學(xué)基本流程
五．教學(xué)用具
師生每人一臺TI－92PLUS圖形計(jì)算器，一塊TI液晶顯示屏，實(shí)物投影儀，投影機(jī)，投影屏幕．
六．教學(xué)情境設(shè)計(jì)
情景步驟
師生活動
設(shè)計(jì)意圖
1．“猜生月生日游戲”：
“請先依次指出表格（見附注1）中哪些行有你的生月，然后再依次指出表格中哪些行有你的生日，便知道你的生月生日．”
教師給出生月生日表，并同時講清游戲規(guī)則，然后請一位或兩位學(xué)生根據(jù)表格回答，教師使用編好的TI程序（見附注2）記錄學(xué)生的回答，學(xué)生回答完畢則由程序立即獲得學(xué)生的生月生日．
這個游戲中用到的“生月生日表”的制作原理是二進(jìn)制記數(shù)法，它需要掌握“十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制”的方法；計(jì)算生月生日的程序1的算理是“二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的算理，這一過程可以引起學(xué)生對游戲的算法的興趣，從而引入本節(jié)課．
2．讓學(xué)生用TI圖形計(jì)算器計(jì)算：（1）3×103＋7×102＋2×10＋1×1.00；（2）4×103＋9×102＋3×10＋6×100．
師生一起用TI圖形計(jì)算器計(jì)算，教師的計(jì)算結(jié)果投影在屏幕上，學(xué)生計(jì)算完畢后思考一般情況．
讓學(xué)生體會十進(jìn)制記數(shù)法的實(shí)質(zhì)，為探究“除10取余”作準(zhǔn)備．
3．以3721為例，探究“除10取余”的過程．
教師啟發(fā)，學(xué)生觀察：
3721=372×10＋1,
372= 37×10＋2,
37= 3×10＋7,
3= 0×10＋3.
得出“除10取余”的十進(jìn)制記數(shù)法則（見附注3），為學(xué)習(xí)二進(jìn)制的“除2取余”記數(shù)法則作準(zhǔn)備．
4．以十進(jìn)制數(shù)89為例，探究“除2取余”的過程．
讓學(xué)生模仿得出：
89 = 44×2 ＋1，
44 = 22×2 ＋0，
22 = 11×2 ＋0，
11 = 5×2 ＋1，
5 = 2×2 ＋1，
2 = 1×2 ＋0，
1 = 0×2 ＋1.
得出“除2取余”的二進(jìn)
制記數(shù)法則．
5．在TI圖形計(jì)算器上以89實(shí)現(xiàn)“除2取余”的過程．
師生一起進(jìn)行下述操作：
89→
（取余）
（取商）
重復(fù)進(jìn)行上述取余與取商的操作，直至商為0．
探究“十進(jìn)制化二進(jìn)制”算法中的主要算法結(jié)構(gòu)：條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)．
6．從操作過程中提煉出“十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制”算法步驟，并推廣到“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的算法步驟．
教師讓學(xué)生先思考上述操作中的算法結(jié)構(gòu)，然后寫出算法步驟并進(jìn)行交流，最后由教師評析并給出正確的算法步驟．
得出“十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制”的算法步驟，并推廣到“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的算法步驟（見附注4）．
7. 由“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的算法步驟寫出程序框圖
讓學(xué)生寫出程序框圖并進(jìn)行交流，隨后教師評析 并給出正確的程序框圖．
得出“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的程序框圖（見附注5），進(jìn)一步領(lǐng)會算法結(jié)構(gòu)．
8．根據(jù)“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的程序框圖，在TI－92PLUS圖形計(jì)算器上編寫程序并運(yùn)行．
讓學(xué)生在TI－92PLUS圖形計(jì)算器上編寫程序并運(yùn)行，以89分別轉(zhuǎn)二進(jìn)制、五進(jìn)制，檢查學(xué)生的程序是否正確．
這是本節(jié)課的一個重要環(huán)節(jié)，不僅能使學(xué)生正確掌握“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的算法程序（見附注6），還能使學(xué)生積極主動并有效地學(xué)習(xí)．
9．以1011001（2）為例，探究“二進(jìn)制化十進(jìn)制”的算理．
師生一起將“情景步驟4”中的“師生活動”所得到的算式由后往前代入并整理得到：1011001（2）＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21
＋1×20＝89．
通過實(shí)例體會“二進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的算理，為得到“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的算法程序作鋪墊．
10．在TI－92PLUS圖形計(jì)算器上編寫并運(yùn)行“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”程序．
讓學(xué)生在TI－92PLUS圖形計(jì)算器上編寫程序并運(yùn)行，以1011001（2）、324（5）分別轉(zhuǎn)十進(jìn)制，檢查學(xué)生的程序是否正確．
使學(xué)生掌握“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的算法程序（見附注7），促使學(xué)生積極主動并有效地學(xué)習(xí)．
11．把二進(jìn)制數(shù)1011001化為五進(jìn)制數(shù)．
讓學(xué)生先利用“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的程序得出：1011001（2）＝89，
先利用“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的程序得出：
89＝324（5），
所以，1011001（2）＝324（5）．
體會任意兩種進(jìn)位制的數(shù)之間的轉(zhuǎn)化方法：先“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”，再“十進(jìn)制轉(zhuǎn)s進(jìn)制”．
12．討論與小結(jié)．
讓學(xué)生討論、交流對算法的認(rèn)識及利用算法思想解決問題的基本步驟，教師進(jìn)行歸納小結(jié)．
使學(xué)生體會教學(xué)任務(wù)中所期望的學(xué)習(xí)目標(biāo)．
13．教師給出下列作業(yè)：
（1）了解日常生活中經(jīng)常用到的進(jìn)位制，并舉一個運(yùn)用二進(jìn)制數(shù)的例子，體會
二進(jìn)制數(shù)的重要作用.
（2）將十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制、 k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制的算法步驟、流程圖及TI程序整理
成作業(yè).
（3）寫出“猜生月生日表”的設(shè)計(jì)原理，完成“猜生月生日”的算法步驟、流程圖
及TI程序，并上傳到數(shù)學(xué)論壇“高一（1）、（2）、（3）班”與同學(xué)交流.
七．附注
1．生月生日表：
2．猜生月生日程序：
Birthday()
Prgm
Clrio
For i,1,2
If i=1 then
Disp “month”
Else
Disp “day”
Endif
Disp “ 16 17 18 19 20 21 22 23”
Disp “ 24 25 26 27 28 29 30 31”
Input “1 or 0?”,a
Disp “ 8 9 10 11 12 13 14 15”
Disp “ 24 25 26 27 28 29 30 31”
Input “1 or 0?”,b
Clrio
Disp “ 4 5 6 7 12 13 14 15”
Disp “ 20 21 22 23 28 29 30 31”
Input “1 or 0?”,c
Clrio
Disp “ 2 3 6 7 10 11 14 15”
Disp “ 18 19 22 23 26 27 30 31”
Input “1 or 0?”,d
Clrio
Disp “ 1 3 5 7 9 11 13 15”
Disp “ 17 19 21 23 25 27 29 31”
Input “1 or 0?”,e
Clrio
If i=1 then
a*2^4+b*2^3+c*2^2+d*2+e→m
Else
a*2^4+b*2^3+c*2^2+d*2+e→n
Endif
Endfor
{m,n}→l
Disp “birthday”,l
Endprgm
3．一個十進(jìn)制數(shù)a除以10所得的商是b0，余數(shù)是
，即
，
則
是a的個位數(shù)；
b0除以10所得的商是b1，余數(shù)是
，即
，
則
是a的十位數(shù).
一般地，
除以10所得的商是
，余數(shù)是
，即
，
則
是a的從右往左數(shù)第n+1位數(shù).
4．“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的算法步驟：
第1步：給定十進(jìn)制正整數(shù)a，確定轉(zhuǎn)化后的進(jìn)位k；
第2步：求出a除以k所得的余數(shù)、商，并分別賦值給r、a；
第3步：若a≠0，則重復(fù)第2步, 直到a=0；
第4步：將依次得到的余數(shù)從右往左排列起來，則得到k進(jìn)位數(shù).
5．“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的程序框圖：
6．“十進(jìn)制轉(zhuǎn)k進(jìn)制”的TI程序：
（1）循環(huán)結(jié)構(gòu)為當(dāng)型結(jié)構(gòu)：
g1310520()
Prgm
Clrio
Local a,b,r,k,x
“ ”→b
Input “x(10)=?”,x
Input “k=?”,k
x→a
If a=0 then
string(a) →b
Else
While a≠0
mod(a,k) →r
string(r)&b→b
int(a/k) →a
Endwhile
Endif
b&”(”&string(k)&”)” → b
String(x)&” (10)= “&b → b
Disp b
Endprgm
（2）循環(huán)結(jié)構(gòu)為直到型結(jié)構(gòu)：
g1320520()
Prgm
Clrio
Local a,b,r,k,x
“ ”→b
Input “x(10)=?”,x
Input “k=?”,k
x→a
loop
mod(a,k) →r
string(r)&b→b
int(a/k) →a
if a=0 then
exit
endif
Endloop
b&”(”&string(k)&”)” → b
String(x)&” (10)= “&b → b
Disp b
Endprgm
7．“k進(jìn)制轉(zhuǎn)十進(jìn)制”的TI程序：
g1330520()
Prgm
Clrio
Local a,b,c,k,n,s,x
0→s
1→i
Input “k=?”,k
Input “x=?”,x
Dim(string(x)) →n
String(x) →a
While i
n
mid(a,i,1) →b
expr(b) →c
s+c*k^(n-i) →s
i+1 →i
Endwhile
Disp string(x)&”(”&string(k)&”)=”&string(s)”(10)”
Endprgm
八．后記
本案例的設(shè)計(jì)者根據(jù)設(shè)計(jì)實(shí)施了課堂教學(xué)，感謝廣東省一百多位高中數(shù)學(xué)老師親臨聽課并指導(dǎo)，特別感謝人民教育出版社的宋莉莉老師在聽完課后與授課者進(jìn)行了交流，并給出了如下的評價：
“‘進(jìn)位制’一課是中學(xué)新增的“算法初步”的內(nèi)容，這堂課的設(shè)計(jì)與實(shí)施，值得我們認(rèn)真研究和思考。總體看來，本堂課具有較高的教學(xué)質(zhì)量，這與教師的精心設(shè)計(jì)和學(xué)生的配合是分不開的。具體分析，以下幾個方面特別值得我們借鑒：
1. 引入精彩，展開自然。能準(zhǔn)確猜出學(xué)生的生月生日的程序引起了學(xué)生極大的興趣，“這個程序的算理就是本堂課的內(nèi)容”又把學(xué)生帶入了課題，而課后作業(yè)“設(shè)計(jì)猜生月生日的程序”既與引入相呼應(yīng)，又是本課內(nèi)容的自然應(yīng)用。
2. 教學(xué)重點(diǎn)突出，過程流暢自然。本堂課緊緊圍繞“進(jìn)位制的轉(zhuǎn)換”這個重點(diǎn)，環(huán)環(huán)相扣，引人入勝。由學(xué)生熟悉的十進(jìn)制出發(fā)，引導(dǎo)他們分析得到“除10取余法”，再將這一算法的算理進(jìn)行遷移，得到“除2取余法”，進(jìn)而得到“除k取余法”，從而解決了十進(jìn)制轉(zhuǎn)化為k進(jìn)制的問題。師生接著研究了k進(jìn)制轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制的問題，最后解決了兩種不同進(jìn)位制間的互相轉(zhuǎn)化問題。
3. 重視學(xué)生的親身體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的算法思想。在教學(xué)過程中，師生利用TI圖形計(jì)算器一起進(jìn)行算理探索、程序設(shè)計(jì)、演示交流，使學(xué)生親身體驗(yàn)了算法的實(shí)現(xiàn)過程，讓學(xué)生經(jīng)歷了由探究具體問題的算理，到抽象出算法步驟，繪制出程序框圖，再到設(shè)計(jì)并優(yōu)化程序的全過程，使學(xué)生的算法思想得到了熏陶與提升?！?div style="height:15px;">
