今年高考結(jié)束后，很多學(xué)生對數(shù)學(xué)卷的評價(jià)就是題目上手不難，方法也會，但一對答案，錯(cuò)了不少。
“全國甲卷屬于看似簡單，實(shí)則較為難的題型，計(jì)算量較大?！?/p>
“全國乙卷則屬于計(jì)算量大。”
“在新高考一卷中，選擇題和填空題相對簡單，大題難度大，計(jì)算量巨大?！?/p>
……
一個(gè)關(guān)鍵詞就是“計(jì)算量大”。
教育部教育考試院發(fā)布的2023年高考數(shù)學(xué)全國卷試題評析中提到，高考數(shù)學(xué)全國卷充分發(fā)揮基礎(chǔ)學(xué)科的作用，突出素養(yǎng)和能力考查，甄別思維品質(zhì)、展現(xiàn)思維過程，給考生搭建展示的舞臺和發(fā)揮的空間，致力于服務(wù)人才自主培養(yǎng)質(zhì)量提升和現(xiàn)代化建設(shè)人才選拔。一是重點(diǎn)考查邏輯推理素養(yǎng)；二是深入考查直觀想象素養(yǎng)；三是扎實(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。
這里的第三條就是扎實(shí)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。試題要求考生理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果。
因此，計(jì)算能力就是我們每一個(gè)高中生都需要去重點(diǎn)突破的問題。有些人認(rèn)為計(jì)算就是“求值”，就是寫寫算算，只要認(rèn)真，都能算對，這是大錯(cuò)特錯(cuò)的。計(jì)算是一個(gè)系統(tǒng)工程，有知識，有方法，有直覺，有化歸轉(zhuǎn)化，有數(shù)形結(jié)合，幾乎所有的數(shù)學(xué)思維都蘊(yùn)含其中，是很“高級的數(shù)學(xué)”，也是需要專門訓(xùn)練的，只有認(rèn)真是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。
本文就從“主元思想”的角度來談?wù)動?jì)算問題。
所謂“主元”指的是一個(gè)變元，它在整理或消去過程中起著主導(dǎo)地位。
先看下面這個(gè)例子：
這道題目中一共出現(xiàn)了四個(gè)字母，看得人眼花繚亂。這時(shí)就需要確定一個(gè)字母作為“主元”，把其他字母看成常數(shù)。選擇誰呢，由于要證的結(jié)論中沒有字母c，它最特殊，把它當(dāng)成主元，就得到下面的方法。
這道題的處理過程一直貫穿“主元”的思想，抓住了“主元”,就明確了解題的方向，就可以化繁為簡，也就等于掌握了解題的主動權(quán)?！爸髟枷搿痹谟?jì)算的很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，這里我們針對高中最常見的兩類情況來加以說明，一是多項(xiàng)式乘法，二是因式分解。
一、多項(xiàng)式乘法
先來看一個(gè)簡單的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：
這種運(yùn)算的解題步驟是：
（1）確定主元。這里顯然是k。
（2）確定展開后各項(xiàng)主元的次數(shù)并確定展開后有幾項(xiàng)。顯然有4項(xiàng)，分別是k的3次方項(xiàng)，2次方項(xiàng)，1次方項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。
（3）先寫次數(shù)，再寫系數(shù)，得出結(jié)果。
盡管這里說的是一步得出結(jié)果，但練習(xí)時(shí)一定要“先慢后快”，系數(shù)的計(jì)算需要借助草稿紙，在草稿紙上算好，再填上結(jié)果，并且完成后要復(fù)查檢驗(yàn)。如何復(fù)查，不是再算一遍，平時(shí)訓(xùn)練寧可算錯(cuò)，也要一遍得出結(jié)果，復(fù)查發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤才算第二遍，否則后面也快不起來。復(fù)查用的是“特殊化”思想，比如取k=1，不難算出原式等于2，后來的式子等于3+4-7+2=2（剛好是系數(shù)和），兩個(gè)結(jié)果一致，就說明你的運(yùn)算是正確的。
這個(gè)方法在我們記憶數(shù)學(xué)公式和結(jié)論時(shí)是應(yīng)該經(jīng)常用到的。
象這種平時(shí)用得比較少或自己記得不是特別清楚的公式，可以先寫出來，然后用特殊值去驗(yàn)證，最后再翻書確認(rèn)，幾次之后，就會記得特別清楚，想忘也忘不掉。
方法二主要用了立方差公式，仍然強(qiáng)調(diào)的是先觀察，制定策略，這樣才能事半功倍。
在多項(xiàng)式的混合運(yùn)算中，比如很多同學(xué)比較頭疼的解析幾何的綜合運(yùn)算問題，只要我們也應(yīng)用“主元思想”，先認(rèn)真觀察、確定策略，再動筆計(jì)算；先定次數(shù)，再定系數(shù)。那么那些計(jì)算還是可以輕松搞定的，因?yàn)槟切┛此茝?fù)雜的式子，化簡后很多項(xiàng)的系數(shù)都會是零，結(jié)果往往是比較簡潔的。
二、因式分解
因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。
因式分解的方法很多，除了初中課本涉及到的提公因式法和利用公式法（平方差公式和完全平方公式），還包括利用其他公式（立方和公式、立方差公式）、十字相乘法、分組分解法以及上述方法的綜合（分組后利用公式法，分組后提公因式法），在這些方法中最常用的是十字相乘法。
1.十字相乘法
在上述的題目中，x就是主元。
這道題比較簡單，我們希望大家通過這道題，熟悉十字相乘法的基本思路。
本題中有兩個(gè)字母，我們既可以把看成主元，也可以把看成主元，因此有兩種方法，大家比較一下，哪種方法更好。
本題看起來項(xiàng)特別多，但我們?nèi)绻褁看成主元，和【例2】并無差別，仍然只有3項(xiàng)。
大家想一想，在【方法二】中把什么當(dāng)成“主元”？
也就是中的是什么？
事實(shí)上，我們這里的主元是1，即上面的。也就是用
處理。
當(dāng)然，上面的題目在有些書上用的是“雙十字相乘法”，它的基本過程與我們的【方法二】很相似，但它們的邏輯還是有區(qū)別的。
2.雙十字相乘法
當(dāng)然，這個(gè)題目也可以用【例3】的【方法二】處理，在我看來，這比雙十字相乘法更便捷一些。即
這樣的因式分解非常重要，在解析幾何的大題中經(jīng)常用到，一旦你無法分解，往往整道題就無法進(jìn)行下去了。這種題型的結(jié)構(gòu)本質(zhì)上也是二次三項(xiàng)式，只是它一共有6項(xiàng)，2次項(xiàng)有3項(xiàng)，因式分解時(shí)將它們合在一起先進(jìn)行因式分解；1次項(xiàng)有兩項(xiàng)，當(dāng)成一個(gè)整體；常數(shù)項(xiàng)放在最后，就得到這樣的形式：
再把主元看成1，用十字相乘法分解即可。
確定“主元”后，如果主元比較復(fù)雜，經(jīng)常用換元來處理。換元法真是無處不在，我們在《基本不等式，只看這一篇就夠了！》中，也多次用到它。
通過前面的例子，我們需要明白。主元，可以是單個(gè)的字母，復(fù)雜的代數(shù)式，也可以是簡簡單單的常數(shù)1。
總之，計(jì)算的問題一定是一個(gè)老大難的問題，計(jì)算的邏輯很多，我們今天介紹的“主元思想”只是解決這個(gè)問題的路徑之一。但要想真正的解決問題，提高計(jì)算力，我們就得找一個(gè)靠譜的老師，踏踏實(shí)實(shí)地模仿老師的思路和解題習(xí)慣，先慢下來，再期望快起來，扎扎實(shí)實(shí)練，總結(jié)改錯(cuò)，反復(fù)驗(yàn)證，一定是可以搞定的。
