給你一個(gè)圓，在圓周上任意找四個(gè)點(diǎn)，容易之極；反過來，平面上任意四個(gè)點(diǎn)，是否在同一個(gè)圓上？就這比較麻煩了，我們的判斷方法有多種，可以從定義出發(fā)，如果這四個(gè)點(diǎn)到某個(gè)點(diǎn)的距離相等，或者說這四個(gè)點(diǎn)圍成的四邊形對角互補(bǔ)，那么便能判斷四點(diǎn)共圓。
共圓的好處是引入了新的圖形——圓，于是在圓的相關(guān)性質(zhì)加持下，解決問題就有了新的途徑。
題目
將拋物線C:y=(x-2)2向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線C2.
(1)直接寫出拋物線C1，C2的解析式；
(2)如圖1，點(diǎn)A在拋物線C1對稱軸l右側(cè)上，點(diǎn)B在對稱軸l上，△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(3)如圖2，直線y=kx(k≠0，k為常數(shù))與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)，直線y=-4x/k與拋物線C2交于G，H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn)，求證：直線MN經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).
解析：
(1)揪住頂點(diǎn)坐標(biāo)再來看平移，是最簡單的方法，C1為y=(x-2)2-6，C2為y=x2-6；
(2)請注意“以O(shè)B為斜邊的直角三角形”，并聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，更進(jìn)一步想到直角三角形一定存在一個(gè)外接圓，且圓心恰好就是斜邊中點(diǎn)。
有以上基礎(chǔ)，后面的問題便好解決了，如下圖：
當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，對于Rt△OBD和Rt△OBA，斜邊都是OB，于是它們的外接圓圓心都是OB中點(diǎn)，且直徑也是OB，因此A，B，O，D四點(diǎn)共圓，過點(diǎn)A作AK⊥x軸；
共圓的好處就是角度轉(zhuǎn)換可以利用圓周角相等了，∠AOB=∠ADB=45°，于是得到∠ADK=45°，發(fā)現(xiàn)△ADK也是等腰直角三角形，不妨設(shè)A(x,x2-4x-2)，則AK=DK=x2-4x-2，OK=x，得方程x-2=x2-4x-2，解得x=0或x=5，由于點(diǎn)A在對稱軸x=2右側(cè)，因此A(5,3)；
當(dāng)點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，如下圖：
方法與前一種情況類似，只是在列方程的時(shí)候注意符號，x-2=-(x2-4x-2)，解得x=-1或x=4，由于點(diǎn)A在對稱軸x=2右側(cè)，因此A(4,-2)；
(3)拋物線解析式已知，直線解析式中含參數(shù)k，因此基本思路是將點(diǎn)坐標(biāo)用含k的代數(shù)式表示出來，然后表示出直線MN的解析式，根據(jù)解析式的特點(diǎn)判斷是否經(jīng)過定點(diǎn)，如下圖：
首先聯(lián)立直線EF和拋物線C2，得出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式得到點(diǎn)M坐標(biāo)，類似的，得到點(diǎn)N坐標(biāo)，再表示直線MN的解析式，推導(dǎo)如下：
從MN的解析式可以看出來，它經(jīng)過定點(diǎn)(0,2).
解題反思
今年武漢地區(qū)受疫情影響嚴(yán)重，因此壓軸題難度比去年有所降低，但作為選拔性考試，依然需要一定思維突破，而第2小題的難點(diǎn)就是想到利用四點(diǎn)共圓，從而得到等腰直角三角形，再利用它尋找數(shù)量關(guān)系；第3小題考察了學(xué)生對中點(diǎn)公式的理解和韋達(dá)定理的使用，對于含參二次函數(shù)，大膽設(shè)元，仔細(xì)推導(dǎo)才能順利求解。
對于四點(diǎn)共圓，和我們通常所說的隱圓有異曲同工之妙，多數(shù)時(shí)候?qū)W生習(xí)慣于在全等和相似中找角的等量關(guān)系，而在圓中，則要習(xí)慣于看圓周角所對的弧，只有心中有圓，才能體會其中的妙處，這對平時(shí)課堂教學(xué)也提出更高要求，畢竟學(xué)生這些能力的培養(yǎng)，都要通過一節(jié)節(jié)扎實(shí)高效的數(shù)學(xué)課堂來實(shí)現(xiàn)。
