默認(rèn)分類2010-05-08 16:15:08閱讀95評論0 字號：大中小 訂閱
摘要：通過對實數(shù)完備性的相關(guān)理論的學(xué)習(xí)，我們雖然掌握了證明七條定理的某些方法，但我們沒有對他們進(jìn)行依次的推證，下面我對其進(jìn)行了依次的推證，從確界定理 單調(diào)有界原理 Cauchy 準(zhǔn)則 致密性定理 聚點定理 閉區(qū)間套定理 有限覆蓋定理 確界定理
關(guān)鍵詞：確界定理 單調(diào)有界原理 Cauchy 準(zhǔn)則 致密性定理 聚點定理 閉區(qū)間套定理 有限覆蓋定理
我們知道，實數(shù)空間是一種集合R，其中的元素為實數(shù)，且在這個集合上定義了加”+”,乘，運算，以及序關(guān)系”<”，滿足以下的公理：
1. 域公理 即任意的x, y, z∈R(實數(shù)域)有：
(1).交換律 x+y = y+x, x﹡y = y﹡x .
(2).結(jié)合律 (x+y)+ z = x + (y+z),(x﹡y) ﹡z = x﹡(y﹡z).
(3).分配律 x﹡(y+z) = x﹡y + x﹡z.
(4).有兩個特殊的成員0與1，對任意的x∈R有 x+0 = x, x﹡1= x.
(5).每個x∈R有關(guān)于＂＋＂的逆元-x；關(guān)于＂﹡＂的逆元１／ｘ，使得
x+(-x)=0,x﹡(1/x)=1.
２．與加＂＋＂、乘＂﹡＂運算相容的全序公理：
(1)任意的ｘ，ｙ∈Ｒ，以下三種關(guān)系：ｘ＜ｙ，ｘ＝ｙ，ｘ＞ｙ必有一個且僅有一個成立．
(2)．傳遞性 若ｘ＜ｙ，ｙ＜ｚ，則ｘ＜ｚ．
(3)．與“加法”相容性 若ｘ＜ｙ，ｚ∈Ｒ，則ｘ＋ｚ＜ｙ＋ｚ．
(4)．與“乘法”相容性 若ｘ＜ｙ，ｚ＞０，則ｘ﹡ｚ＜ｙ﹡ｚ．
３.（Ａrchimedes公理） 任意 x>0, y>0,存在n∈N ，使得nx≥y.與有理數(shù)不同，實數(shù)具有完備性.
4.完備性公理：有上界的非空集合必有上確界.
鑒于此，我們對實數(shù)有了大體的了解，而下面用實數(shù)的7個基本定理以不同的形式刻畫了實數(shù)的連續(xù)性.
一、七條定理的內(nèi)容分別如下：
（1）.（確界定理）任何R中的非空集E，若它有上界，則必有上確界supE∈R(等價的若有下界，必有下確界)
(2) ．（單調(diào)有界原理） 任何R中的單調(diào)遞增、有上界的序列{ Xn }，必有極限lim Xn∈R(n 趨于∞).(等價地，單調(diào)遞減、有下界也必有極限.)
(3).（ Cauchy 準(zhǔn)則） 對R中的序列{ Xn }收斂的充分必要條件是任意的a>0，存在N，當(dāng)m,n>N時，有 | Xn—Xm | < a.
(4). (致密性定理) 任何有界的無窮序列必有收斂的子序列.
(5). (聚點定理) 任何有界無窮集，至少有一個聚點.
(6). (閉區(qū)間套定理) 任何閉區(qū)間套，必存在唯一的公共點.
(7).(有限覆蓋定理) 閉區(qū)間上的任意開覆蓋，必存在有限子覆蓋.
二、下面為七條定理的相互推證。
下圖為證明的推導(dǎo)流程圖：
| 單調(diào)有界原理 |
| Cauchy 準(zhǔn)則 |
| 聚點定理 |
| 有限覆蓋定理 |
| 確界定理 |
（1）. 用確界原理來證明單調(diào)有界定理：
證明，因為R中的{ Xn }為單調(diào)序列，不妨設(shè){ Xn}單調(diào)遞增，由已知條件，{ Xn }有界，由確界原理知，{ Xn }有上確界，記為a=sup{ Xn }∈R.又有上確界的定義，且{ Xn}單調(diào)遞增，則對于 >0, N,使當(dāng)ｎ＞N時，有a- < Xn <a+ ,| Xn -a|< ,故有l(wèi)im Xn =a(n ).且a∈R.則該定理得證.
（2）. 用單調(diào)有界定理來證明Cauchy準(zhǔn)則定理：
證明， ）由于{ Xn } 收斂，不妨設(shè)lim Xn = a(n)，則對于 >0, N1，使當(dāng)ｎ＞N1時，有| Xn -a|< /2,且對于 >0, N2，使當(dāng)m＞N2時，有| Xm-a|< /2.取N=max{N1,N2}.則對于 >0， N，使當(dāng)m,n>N時，有
| Xn - Xm | | Xn -a|+|Xm-a|< /2+ /2=
由于對 >0， N，使當(dāng)m,n>N時，| Xn - Xm |< ，由單調(diào)有界原理知，{ Xn }的極限存在，從而{ Xn } 收斂.
(3). 用Cauchy準(zhǔn)則定理來證明致密性定理：
證明，設(shè)為一有界無窮序列，不妨設(shè)
① 若中有無窮多項相等，則把這無窮多項取出作為一個子列，由C準(zhǔn)則的充分性，收斂
② 若中相等的項只有有限項，有有界，則以下結(jié)論成立：對于 >0，N，使當(dāng)m,n>N時，| Xn - Xm |< 。把這樣的Xm,Xn放在一起構(gòu)成一個集合A { Xn}，再由Cauchy準(zhǔn)則定理的充分性知. A收斂.從而致密性定理得證。
（4）.用致密性定理來證明聚點定理：
證明，由于對于任何的有界無窮集{Xn},根據(jù)致密性定理，必有收斂子列{ Xn k}.不妨設(shè)a=lim{ Xn k}(k ).則對于 >0,U(a; )有{ Xn }中的無窮多項.根據(jù)聚點的定義知，a為{Xn}的聚點，從而聚點定理得證.
(5).用聚點定理來證明閉區(qū)間套定理：
證明，若{an}單調(diào)遞增，{ bn }單調(diào)遞減，an bn，bn - an0，則{[ an, bn]} 為閉區(qū)間列，{an},{ bn }而為兩個有界的無窮集，{an}有上界，{bn}有下界，則E={ an }U{bn }為有界無窮點集，有聚點定理，E中存在唯一的聚點a，使得an a bn.從而閉區(qū)間套定理得證.
(6).用閉區(qū)間套定理來證明有限覆蓋定理：
證明，設(shè) 為的一個覆蓋，反設(shè)中不存在的有限覆蓋，即中任何一個有限開區(qū)間都不能覆蓋[a,b]，將[a,b]分為[a,(a+b)/2]與[(a+b)/2，b]，則這兩個小區(qū)間中至少有一個被中的有限個開區(qū)間覆蓋，選之記為[a1,b1]，將這一過程不斷地進(jìn)行下去，得到一個閉區(qū)間列{[an,bn]}，滿足：
①[an ，bn] [an +1, bn +1]
②bn- an 0，即lim(bn - an)=0 (n ).
③ 任何一個都不能被中的有限個開區(qū)間覆蓋，由知存在一點a，使得，顯然。因此 中至少存在一個開區(qū)間s，使a∈s，必有[an, bn] s，即被一個開區(qū)間s覆蓋，與③矛盾.故反設(shè)錯誤, 中存在的有限覆蓋.
(7).用有限覆蓋定理來證明確界原理：
證明，設(shè) R， 有 。任取一點 0∈ ?？紤]閉區(qū)間[ 0, ,]，假若 上無上確界（最小上界），那么 [ 0, )：
?。┊?dāng) 為 的上界時，必有更小的上界 1< ，因而 有一開鄰域，其中皆為E的上界；
ⅱ）當(dāng) 不是 的上界時，自然有E中的點 2> ，于是 有開鄰域 x，其中每點皆不是E的上界。
[ 0， ]上沒電都找出一個鄰域x，他要么屬于第一類（每點為上界），要么屬于第二類（每點皆不是上界）。這些鄰域{ x： [ 0, ]}，組成閉區(qū)間[ 0,]的一個開覆蓋，由有限覆蓋定理，必存在有限覆蓋{ 1,…, n}。注意，M所在的開區(qū)間，應(yīng)為第一類的，相鄰接的開區(qū)間n有公共點，也應(yīng)為第一類的，經(jīng)過有限次鄰接，可知 0所在的開區(qū)間也是第一類的。這便得出矛盾。
其實，還有其他的方法可以證明此定理，上面只是其中的一種而已，我們可以用閉區(qū)間套定理來證明確界定理，單調(diào)有界原理，Cauchy 準(zhǔn)則，致密性定理，聚點定理。也可以用確界定理，單調(diào)有界原理，Cauchy準(zhǔn)則，致密性定理，聚點定理來證明區(qū)間套定理；用有限覆蓋定理來證明確界定理，單調(diào)有界原理，Cauchy準(zhǔn)則，致密性定理，聚點定理，區(qū)間套定理。也可以用確界定理，單調(diào)有界原理，Cauchy 準(zhǔn)則，致密性定理，聚點定理，區(qū)間套定理來證明有限覆蓋定理。
參考文獻(xiàn)：
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