一、“方程與不等式”的主要內(nèi)容及其地位作用
（一）主要內(nèi)容
等式的基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)是解方程（組）和解不等式（組）的依據(jù)。每一個(gè)知識(shí)都是從有關(guān)概念學(xué)習(xí)開(kāi)始，到方程（組）或不等式（組）的解法及方程（組）或一元一次不等式的應(yīng)用。
（二）地位作用
方程和不等式的應(yīng)用十分廣泛。一元一次方程是最簡(jiǎn)單的代數(shù)方程，也是學(xué)習(xí)其他方程和方程組的基礎(chǔ)。解二元一次方程組就是通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程來(lái)求解，一元二次方程是通過(guò)降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。學(xué)習(xí)一元一次不等式的概念和解法時(shí)，都可與一元一次方程的有關(guān)內(nèi)容相類比，可使一元一次方程、一元一次不等式的教學(xué)相輔相成，并使一元一次不等式的教學(xué)變得較為容易。
列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)中困難較多的內(nèi)容。之所以重要，是因?yàn)橥ㄟ^(guò)列方程解應(yīng)用題的教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。而由于應(yīng)用題可以千變?nèi)f化，往往不能套用一些現(xiàn)成的模式，需要具備較強(qiáng)的審題能力、分析問(wèn)題的能力、熟練的解方程的能力，以及對(duì)求出的根正確判斷取舍的能力，所以學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)有很多困難。
（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn)：
1. 等式的基本性質(zhì)；不等式的基本性質(zhì)；
2. 方程（組）的解法和列方程（組）解應(yīng)用題；
3. 不等式的解法和列一元一次不等式解應(yīng)用題。
教學(xué)難點(diǎn)：
1. 列方程（組）解應(yīng)用題；
2. 列一元一次不等式解應(yīng)用題。
熟練的解方程關(guān)鍵是正確了解方程的有關(guān)概念，正確運(yùn)用等式的基本性質(zhì)。正確列出方程關(guān)鍵在于正確分析應(yīng)用題中的已知數(shù)和未知數(shù)以及它們之間的關(guān)系，能夠找到表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系。
二、教學(xué)策略
（一）課標(biāo)要求
1.模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。
2.應(yīng)用意識(shí)有兩個(gè)方面的含義，一方面有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題；另一方面，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過(guò)程中都應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，綜合實(shí)踐活動(dòng)是培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)很好的載體。
3.具體要求
（ 1 ）方程與方程組
① 能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型（參見(jiàn)課標(biāo)例 51 ）。
② 經(jīng)歷估計(jì)方程解的過(guò)程（參見(jiàn)課標(biāo)例 52 ）。
③ 掌握等式的基本性質(zhì)。
④ 能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。
⑤ 掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組。
⑥ * ① 能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組。
⑦ 理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。
⑧ 能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等。
⑨ * 了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。
⑩ 能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理。
（ 2 ）不等式與不等式組
①結(jié)合具體問(wèn)題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)（參見(jiàn)課標(biāo)例 53 ）。
②能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示出解集；會(huì)用數(shù)軸確定由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集。
③能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
修改后的課程標(biāo)準(zhǔn)刪除了較為繁難的內(nèi)容“能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式組，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題”。增加了必學(xué)內(nèi)容“能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等”。增加了選學(xué)內(nèi)容“能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組”和“了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”。選學(xué)內(nèi)容的增加主要是為學(xué)生的個(gè)性發(fā)展提供機(jī)會(huì)和可能，為學(xué)有余力的學(xué)生、有特殊需求的學(xué)生提供發(fā)展空間。
（二）教學(xué)中要突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)
熟練的解方程關(guān)鍵是正確了解方程的有關(guān)概念，正確運(yùn)用等式的基本性質(zhì)。
1.深入理解概念
(1)方程與代數(shù)式的區(qū)別
含有未知數(shù)的等式叫做方程。方程的概念明確指出了方程與代數(shù)式的區(qū)別。代數(shù)式是“用代數(shù)運(yùn)算符號(hào)把數(shù)字或字母表示的數(shù)連結(jié)而成的式子”，因而，它歸根到底表示一個(gè)數(shù)，即它的本質(zhì)是“數(shù)”；而方程是用等號(hào)連結(jié)兩個(gè)代數(shù)式，它的本質(zhì)是表明一個(gè)“關(guān)系”。只有當(dāng)其中字母代表一定數(shù)值時(shí)，兩個(gè)代數(shù)式的值才相等，由于上述的“一定數(shù)值”一般不是立即就能看出來(lái)的，所以稱為“未知數(shù)”。
(2)二元一次方程的解與一元一次方程的解的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)
一元一次方程的解是一個(gè)數(shù)，而二元一次方程組的解是一組兩個(gè)數(shù)。一個(gè)一元一次方程只有一個(gè)解，而一個(gè)二元一次方程有無(wú)數(shù)組解。
2.正確理解等式的兩條基本性質(zhì)
性質(zhì)：等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或整式，所得的等式仍然成立。
性質(zhì) 2 ：等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是 0 ），所得的等式仍然成立。
對(duì)這兩條性質(zhì)要認(rèn)真剖析，分析性質(zhì) 1 和性質(zhì) 2 的不同點(diǎn)，使學(xué)生真正理解，才能正確運(yùn)用。
3.準(zhǔn)確熟練地掌握解方程（組）的技能
（ 1 ）一元一次方程是基礎(chǔ)
一元一次方程是學(xué)習(xí)其他方程的基礎(chǔ)，必須熟練掌握。
對(duì)于①學(xué)生最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是什么？教師要做到心中有數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)因，提出避免出錯(cuò)的措施。
對(duì)于②如果先去分母，運(yùn)算量較大，而如果先去括號(hào)，就可以避免數(shù)字計(jì)算的復(fù)雜程度。因此首先要引導(dǎo)學(xué)生觀察方程的特征，學(xué)生通過(guò)觀察，親自動(dòng)手實(shí)踐、體會(huì)，并總結(jié)何時(shí)先去分母，何時(shí)先去括號(hào)。
（ 2 ）掌握一元二次方程的解法，選擇適當(dāng)方法時(shí)的思考程序
在選擇方法之前，要做三件事，有利于減少出錯(cuò)和提高求解速度。
（?。┌?a 、 b 、 c 整理為整數(shù)；
（ⅱ）約去 a 、 b 、 c 公因式；
（ⅲ）使 a 為正數(shù)。
（ 3 ）根據(jù)未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程
例 2 ：解下列方程組。
分析：（ 1 ）和（ 2 ）兩種方法都可以，（ 1 ）用加減消元更容易。（ 3 ）應(yīng)觀察系數(shù)特點(diǎn)，選取方法。（ 4 ）可用整體思想。
二元一次方程組的教學(xué)，要講清如何通過(guò)“代入”或“加減”達(dá)到“消元”的目的，使二元轉(zhuǎn)化為一元。教學(xué)中要強(qiáng)調(diào)認(rèn)真觀察方程組中各未知數(shù)系數(shù)的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M。要通過(guò)對(duì)比，使學(xué)生體會(huì)并總結(jié)出如何選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠探M。
（ 4 ）弄清分式方程的解法和分式運(yùn)算的區(qū)別
解分式方程利用的是等式的性質(zhì)，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，而且必須進(jìn)行檢驗(yàn)。而分式運(yùn)算利用的是分式的基本性質(zhì)。
學(xué)生常常將分式運(yùn)算與解分式方程混淆，分式運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)去分母的錯(cuò)誤。教學(xué)中，要講清分式運(yùn)算和解分式方程的依據(jù)和它們的區(qū)別，應(yīng)經(jīng)常把它們放在一起，反復(fù)強(qiáng)化，使學(xué)生真正理解并掌握。
在解分式方程時(shí)，每一個(gè)步驟都存在學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，教學(xué)中應(yīng)分析錯(cuò)誤原因。去分母時(shí)，應(yīng)避免常數(shù)項(xiàng)漏乘的錯(cuò)誤；當(dāng)括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)，去括號(hào)要注意括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)都要改變符號(hào)；移項(xiàng)必須變號(hào)等等。
講清解分式方程為什么一定要驗(yàn)根。
4.利用一元二次方程根的判別式解決有關(guān)問(wèn)題
（ 1 ）不解方程，判斷方程根的情況；
（ 2 ）已知方程根的情況，求待定系數(shù)的取值范圍；
（ 3 ）利用判別式，證明方程根的情況。
5.類比方程的概念和解法，學(xué)習(xí)不等式的概念和解法
（ 1 ）在教學(xué)中，要注意引導(dǎo)學(xué)生剖析不等式的三條性質(zhì)，特別是不等式的性質(zhì) 3 在應(yīng)用時(shí)常常出現(xiàn)錯(cuò)誤。
（ 2 ）重視不等式解集在數(shù)軸上的表示。圖示能形象地表達(dá)解集所包含的數(shù)的范圍，準(zhǔn)確熟練地用數(shù)軸表示不等式的解集，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)解不等式組的前提。更重要的是培養(yǎng)學(xué)生把數(shù)與圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思考的習(xí)慣和能力。
6.充分利用應(yīng)用題的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力（以方程的應(yīng)用為例）
列方程解應(yīng)用題一般可分為：審題，設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程，檢驗(yàn)，寫(xiě)出答案等六步，其中審題是非常重要的一步。
（ 1 ）重視引導(dǎo)學(xué)生審題
① 搞清問(wèn)題中的基本量之間的數(shù)量關(guān)系。
② 搞清問(wèn)題中的已知量和未知量。
③ 搞清問(wèn)題中的運(yùn)動(dòng)方式、運(yùn)動(dòng)方向（行程問(wèn)題）。
④ 充分利用肢體語(yǔ)言。
⑤ 利用線段圖（或表格）分析等量關(guān)系。
（ 2 ）引導(dǎo)學(xué)生深入分析各量之間的關(guān)系，盡可能多種方式列方程
在用列方程解的應(yīng)用題中，各種量之間常有多種關(guān)系出現(xiàn)，由于選擇的未知數(shù)不同，借助于不同的關(guān)系表示相關(guān)的量，因而可列出不同的方程。只有深入分析各量間的關(guān)系，明確使用哪個(gè)等量關(guān)系，才可能多種方式列方程。
① 選擇不同的相等關(guān)系
列方程時(shí)選擇不同的等量關(guān)系可列出不同的方程，教學(xué)時(shí)不應(yīng)硬性規(guī)定，規(guī)定的太死，不利于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
② 選擇不同的設(shè)未知數(shù)的方法
例 6：某天，小明以 4 千米 / 小時(shí)的速度出發(fā)前往學(xué)校， 15 分鐘后，爸爸發(fā)現(xiàn)他忘了帶語(yǔ)文書(shū)，于是騎自行車以 16 千米 / 時(shí)的速度去追趕小明，問(wèn)：爸爸在途中追上他時(shí)騎了多少千米？
有些問(wèn)題中的未知數(shù)不止一個(gè)，如何設(shè)未知數(shù)呢？
例 7 ：從甲地到乙地先下山在走平路， 某人以 每小時(shí) 6 千米的速度下山，然后以每小時(shí) 4.5 千米的速度走平路，到達(dá)乙地時(shí)共用了 55 分鐘； 原路返回時(shí)，以每小時(shí) 4 千米的速度走平路，然后以每小時(shí) 2 千米的速度上山，回的甲地時(shí)共用了 1.5 小時(shí)，問(wèn)甲、乙兩地間的距離是多少？
這個(gè)題還有很多不同的設(shè)未知數(shù)的方法，可以通過(guò)這樣的題培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
方法 2 ：設(shè)平路的距離為 x 千米。
方法 3 ：設(shè)下山所用的時(shí)間為 x 小時(shí)，則：
此題可以列一元一次方程，也可以列二元一次方程組求解?？梢赃x擇設(shè)不同的未知數(shù)，也可以選擇不同的相等關(guān)系列方程或方程組。一題多解可以發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。
（ 3 ）通過(guò) 變換題目條件，引導(dǎo)學(xué)生把握問(wèn)題中各量之間的關(guān)系
例 8： A 、 B 兩地相距 108 千米，甲、乙兩人分別從 A 、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，
相向而行，甲的速度為 10 千米 / 時(shí)，乙的速度為 8 千米 / 時(shí)，多少小時(shí)兩人相遇？
變式 1 ：A 、 B 兩地相距 108 千米，甲、乙兩人分別從 A 、 B 兩地出發(fā)，相向而行，甲先出發(fā) 3 小時(shí)，若甲的速度為 10 千米 / 時(shí)，乙的速度為 8 千米 / 時(shí)，乙出發(fā)多少小時(shí)后相遇。
變式 2 ：A 、 B 兩地相距 108 千米，甲、乙兩人分別從 A 、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，同向而行，乙在前，甲在后，若甲的速度為 10 千米 / 時(shí)，乙的速度為 8 千米 / 時(shí)，甲多少小時(shí)可以追上乙？
變式 3 ：A 、 B 兩地相距 108 千米，甲、乙兩人分別從 A 、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，背向而行，若甲的速度為 10 千米 / 時(shí)，乙的速度為 8 千米 / 時(shí)，幾小時(shí)后兩人相距 192 千米？
變式 4 ：A 、 B 兩地相距 108 千米，甲、乙兩人分別從 A 、 B 兩地出發(fā)，相向而行，若甲的速度為 10 千米 / 時(shí)，乙的速度為 8 千米 / 時(shí)，乙先出發(fā)多少小時(shí)兩人在中點(diǎn)相遇？
變式 5 ：A 、 B 兩地相距 108 千米，甲、乙兩人分別從 A 、 B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度為 10 千米 / 時(shí)，乙的速度為 8 千米 / 時(shí)，多少小時(shí)兩人相距 36 千米。
變式 6 ：A 、 B 兩地相距 108 千米，甲、乙兩人分別從 A 、 B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲的速度為 10 千米 / 時(shí)，乙的速度為 8 千米 / 時(shí)，多少小時(shí)相距 144 千米。
在列方程（組）或不等式解應(yīng)用題的教學(xué)中，重點(diǎn)放在審題上，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力，特別應(yīng)注意題目不在于多少，而重要的是如何充分利用例題，發(fā)揮好例題的作用。
在不等式（組）的教學(xué)中應(yīng)類比方程（組）的教學(xué)進(jìn)行。
三、幾點(diǎn)教學(xué)建議
1. 在方程（組）的教學(xué)中，注意講清一般步驟，以及每一步的方法和依據(jù)。
2. 在方程（組）的教學(xué)中，對(duì)于學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)要分析錯(cuò)誤原因，有針對(duì)性的講解。
3. 在方程（組）的教學(xué)中，重視轉(zhuǎn)化思想的滲透。
4. 在不等式（組）的教學(xué)中，應(yīng)類比方程（組）的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)。
5. 在不等式（組）的教學(xué)中，重視用數(shù)軸表示不等式（組）的解集，滲透數(shù)形結(jié)合的思想。
6. 在方程或不等式的應(yīng)用的教學(xué)中，重視培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。
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