勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

【證法1】（課本的證明）

做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像下圖那樣拼成兩個(gè)正方形.

從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即a2+b2+4×?ab=c2+4×?ab，整理得a2+b2=c2.

【證法2】（趙爽證明）

以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于?ab. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴∠HDA = ∠EAB.

∵∠HAD + ∠HAD = 90o，

∴∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.

∴ EFGH是一個(gè)邊長為（b―a）的正方形，它的面積等于(a+b)2

4×?ab+（b-a）2=c2，

∴a2+b2=c2

【證法3】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于?ab.

把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴ ΔDEC是一個(gè)等腰直角三角形，它的面積等于?c2.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于

?（a+b）2=2×?ab+?c2，

∴a2+b2=c2

【證法4】（歐幾里得證明）

做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀

使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)

BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面積等于?a2，

ΔGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，

∴ 矩形ADLM的面積 =a2.

同理可證，矩形MLEB的面積 =b2.

∵ 正方形ADEB的面積

= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積

∴c2=a2+b2 ，即a2+b2=c2.

【證法5】（利用相似三角形性質(zhì)證明）

如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，

∠CAD = ∠BAC，

∴ΔADC ∽ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

即AC2=AD·AB.

同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有

BC2=BD·AB

∴AC2+BC2=(AD+BD)·AB=AB2，

即a2+b2=c2.

【證法6】（利用切割線定理證明）

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)椤螧CA = 90o，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線.

由切割線定理，得

AC2=AE·AD=(AB+BE)·(AB-BD)

=(c+a)·（c-a）=c2-b2

∴b2=c2-a2

即a2+b2=c2

【證法7】（利用反證法證明）

如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.

假設(shè)a2+b2≠c2，即假設(shè)AC2+BC2≠AB2，

則由AB2=AB·AB=AB·(AD+BD)=AB·AD+AB·BD

可知AC2≠AB·AD，或者BC2≠AB·BD.

即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵∠A = ∠A，

∴若 AD：AC≠AC：AB，

則∠ADC≠∠ACB.

在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴若BD：BC≠BC：AB，

則∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90o，

∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.

這與作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC2+BC2≠AB2的假設(shè)不能成立.

∴a2+b2=c2.

當(dāng)然，勾股定理的證明方法還有很多很多種，以上幾種證明方法應(yīng)用了很多初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)習(xí)過程中還可以對一些重要知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)和回顧。如果你有更好的證明方法，歡迎在評論區(qū)分享！