二次函數(shù)與四邊形的綜合
一、考點(diǎn)分析
二次函數(shù)的綜合題中在第二三小問(wèn)比較常考到四邊形的問(wèn)題，這類(lèi)題目主要考察兩種題型：1.四邊形的面積最值問(wèn)題 2.特殊平行四邊形的存在性問(wèn)題，這類(lèi)包括平行四邊形，矩形菱形等.
二、解決此類(lèi)題目的基本步驟與思路
1.四邊形面積最值問(wèn)題的處理方法：核心步驟：對(duì)于普通四邊形要轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形進(jìn)行研究，然后用求三角形面積最值問(wèn)題的方法來(lái)求解
2對(duì)于特殊平行四邊形問(wèn)題要先分類(lèi)，（按照邊和對(duì)角線進(jìn)行分類(lèi)）
3.畫(huà)圖，（畫(huà)出大致的平行四邊形的樣子，抓住目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)）
4. 計(jì)算（利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)）
【注意事項(xiàng)】
1.簡(jiǎn)單的直角三角形可以直接利用底乘高進(jìn)行面積的表示.
2.復(fù)雜的利用“補(bǔ)”的方法構(gòu)造矩形或者大三角形，整體減去部分的思想.
3.利用“割”的方法時(shí)，一般選用橫割或者豎割，也就是做坐標(biāo)軸的垂線.
4.利用點(diǎn)坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度時(shí)注意要用大的減去小的.
【解析】(1)拋物線l?，l?關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),那么C、C'也關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，據(jù)此可求出C'的坐標(biāo).然后根據(jù)A、B、C'三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線l?的解析式；
(2)由于PP'中關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， 因此PP'∥y軸，根據(jù)平行四邊形的判定定理可知，只有當(dāng)OD=PP'時(shí)，以點(diǎn)D，O，P，P'為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的解析式表示出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，由于PP'關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此PP'的長(zhǎng)就是P點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值的2倍，然后根據(jù)上面得出的等量關(guān)系可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，過(guò)M作ME⊥x軸于E，可在直角三角形AMB中，根據(jù)特殊角的度數(shù)、AB的長(zhǎng)以及射影定理求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大.
【解析】(1)由已知拋物線可求得A、B坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱(chēng)性可求得C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得曲線N的解析式；
(2)由外接圓的定義可知圓心即為線段BC與AB的垂直平分線的交點(diǎn)，即直線y=x與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，可求得外接圓的圓心，再利用勾股定理可求得半徑的長(zhǎng)；
(3) 設(shè)Q (x, 0)，當(dāng)BC為平行四邊形的邊時(shí)，則有BQ∥PC且BQ=PC，從而可用x表示出P點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到x的方程，可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，由B、C的坐標(biāo)可求得平行四邊形的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)，從而可表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到關(guān)于x的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo).
【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形外心、勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類(lèi)討論思想等知識(shí).在(1)中確定出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在(2)中確定出外心的位置和坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在(3)中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，特別最后一問(wèn)，情況很多，難度較大.
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