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分析 （1）①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN；②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，由勾股定理求出BN即可．
（2）①只要證明△MCN≌△MCN'以及∠NAM=90°即可．
②如圖③作CM⊥AB，使得CM=AC，連接BM，作BM的垂直平分線EF交AB于D，點(diǎn)D就是所求的點(diǎn)．
（3）如圖④中，連接CM、CN，將△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF，將△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFE只要證明四邊形EFDN是平行四邊形以及MN=NF就可以了．

解答 （1）解：①當(dāng)MN為最大線段時(shí)，
∵點(diǎn) M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，

∴BN=√MN2?AM2√MN2?AM2=√32?22√32?22=√5√5；
②當(dāng)BN為最大線段時(shí)，
∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，
∴BN=√MN2+AM2√MN2+AM2=√32+22√32+22=√13√13，
綜上所述：BN=√5√5或√13√13；
（2）①證明：連接MN′，
∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠BCN+∠ACM=45°，
∵∠ACN'=∠BCN，
∴∠MCN'=∠ACN′+∠ACM=∠BCN+∠ACN=45°=∠MCN，
在△MCN和△MCN′中，
{CM=CM∠MCN′=∠MCNCN=CN′，
∴△MCN≌△MCN'，
∴MN'=MN，
∵∠CAN′=∠CAB=45°，
∴∠MAN′=90，
∴AN′²+AM²=MN′²，
即BN²+AM²=MN²，
∴點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．
②如圖③，作CM⊥AB，使得CM=AC，連接BM，作BM的垂直平分線EF交AB于D，點(diǎn)D就是所求的點(diǎn)．
（3）如圖④中，連接CM、CN，將△ACM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CBF，將△CDM繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△CFE．
∵△ABC，△DMN都是等腰直角三角形，
∴∠DMN=∠A=45°，∠CBA=∠DNM=45°
∴DM∥AC，DN∥BC，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴EF∥BC，
∴EF∥C∥ND，
∵DM=DN=EF，
∴四邊形EFND是平行四邊形，
∴ED=NF，
由（1）可知MN=NF，
∴MN=ED，
在RT△CDE中，∵CD=CE，∠DCE=90°，
∴DE=√2CD，
∴MN=√2CD．
∵M(jìn)N=4，
∴CD=2√2．
故答案為2√2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線是解決問題的關(guān)鍵．