為什么音樂創(chuàng)作需要基于一系列規(guī)則？為什么以這些方式創(chuàng)作就容易得到悅耳的音樂？物理學(xué)家給出的答案是——相變——聲音從嘈雜到和諧的過程，與分子從無序到有序的過程驚人地相似。本文介紹了一項(xiàng)經(jīng)典研究，用統(tǒng)計(jì)力學(xué)框架來解釋為音律是怎樣從無序音符中涌現(xiàn)的。原來音律的背后有深刻的物理與數(shù)學(xué)約束，而不只是人類隨意的發(fā)明。
集智俱樂部主辦的“復(fù)雜科學(xué)與藝術(shù)”研討會，正在持續(xù)進(jìn)行中，匯聚各領(lǐng)域內(nèi)的行動(dòng)者與思想者——包括科學(xué)家、藝術(shù)家、學(xué)者及相關(guān)從業(yè)者，展開跨學(xué)科研討，并合作產(chǎn)出。研討會每月一期，持續(xù)至2023年6月（延長至7月）。在研討會第三期“音樂復(fù)雜性、范疇論與聲音藝術(shù)”中，對本文所涉研究做了具體介紹。加入研討會即可查看回放視頻并入群交流。
關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)力學(xué)、十二平均律、協(xié)和音、平均場近似、相變、涌現(xiàn)
早年間，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，撥動(dòng)琴弦所發(fā)出的聲音與琴弦的長度有關(guān)，音高與弦長成反。而這里的音高，指的就是聲音的頻率。同時(shí)，人們還發(fā)現(xiàn)當(dāng)頻率之比為1:2的兩個(gè)聲音同時(shí)發(fā)出的時(shí)候，這兩個(gè)音聽起來是“協(xié)和（Consonant）”的。人們根據(jù)這兩個(gè)特點(diǎn)，按照音樂演奏需要，研究出了多種“律法”來標(biāo)注與記錄動(dòng)聽的音樂，這些律法就被稱為“音律”。音律實(shí)際上就是在頻率為1:2的兩個(gè)音之間繼續(xù)細(xì)分，以達(dá)到用這些音就可以記錄盡可能多音樂的目的。
雖然中西方音樂種類繁多、各具特色，但中西方音律發(fā)展的歷程與結(jié)果卻驚人地相似。盡管文化交流在其中發(fā)揮了很大作用，但這似乎并不是中西方音律相似的全部原因。在2019年一篇題為《The structure of musical harmony as an ordered phase of sound: A statistical mechanics approach to music theory》的文章中，作者Jesse Berezovsky，凝聚態(tài)物理學(xué)家，亦是一名中提琴手，他認(rèn)為音律的最終形成似乎具有一定的物理意義，也許與某種相變有關(guān)。
為了能夠更好地理解這篇文章，我們需要花一些篇幅來簡單介紹一些樂理知識以及音律發(fā)展的歷程。
聲音的組成
聲音的產(chǎn)生源自于物體的振動(dòng)。當(dāng)演奏樂器、拍打一扇門或者敲擊桌面時(shí)，他們的振動(dòng)會引起介質(zhì)——空氣分子有節(jié)奏的振動(dòng)，使周圍的空氣產(chǎn)生疏密變化，形成疏密相間的縱波，這就產(chǎn)生了聲波，這種現(xiàn)象會一直延續(xù)到振動(dòng)消失為止。
純音 (Pure tone) 與復(fù)音 (Complex tone)
純音 (Pure tone) 就是最基本的聲波，即標(biāo)準(zhǔn)的正弦波 (圖1-1)，但是可以被人耳聽到的純音在自然界中幾乎不存在，自然界的聲波可以被分解成頻域空間中各種頻率的正弦信號的線性疊加。我們聽到的幾乎所有聲音都是一大群正弦信號的組合 (圖1-2)，即復(fù)音 (Complex tone)。復(fù)音中振幅最大的那個(gè)波的頻率被稱為這個(gè)音的“基頻”。
圖1-1. 純音時(shí)域波形圖
圖1-2.復(fù)音時(shí)域波形圖
泛音(harmonics)
古希臘人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象，撥弄一下琴弦，這根琴弦除了發(fā)出一個(gè)響亮的音調(diào)外，還會發(fā)出一個(gè)比這個(gè)音調(diào)高八度且振幅更小的協(xié)和音。在音樂理論中，若一個(gè)音的基頻為F，則它到它頻率兩倍（2F）的這個(gè)范圍就稱為“八度”。“高八度”的意思便是基頻頻率為原來的兩倍。換句話講，他們在八度音程的較低音調(diào)中發(fā)現(xiàn)了較高音調(diào)。而泛音的英文為什么會是“Harmonics”，這是因?yàn)榍傧艺駝?dòng)產(chǎn)生的聲音就是無數(shù)簡諧波的疊加，最終形成鋸齒狀的音色。泛音中的基頻就是頻率最低的那個(gè)音的頻率，泛音也是一種特殊的復(fù)音。
圖1-3. 撥動(dòng)琴弦產(chǎn)生的“鋸齒”音色
聲與人
振動(dòng)具有三個(gè)很關(guān)鍵的特性：頻率、振幅以及相位。一個(gè)聲音的頻率（也就是前文所說的基頻）決定了這個(gè)聲音有多“高”。聲波的振幅決定了這個(gè)聲音有多“響”。相位則代表了聲音開始發(fā)出的位置。音律是為記錄音的“位置”而存在的律學(xué)，所以音律研究的重點(diǎn)就是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率范圍是20赫茲到20000赫茲（每秒振動(dòng)20000次）。聲波的頻率越大（每秒振動(dòng)的次數(shù)越多），聽起來就越“高”。
但是，我們對音高的線性變化并沒有那么敏感，而對音高的指數(shù)變化更敏感。舉個(gè)例子，有如下兩個(gè)系列的聲音：
系列1：
200Hz、400Hz、600Hz、800Hz、1000Hz、1200Hz、1400Hz、1600Hz
系列2：
200Hz、400Hz、800Hz、1600Hz
（每個(gè)單音持續(xù)時(shí)間為3s，同時(shí)由于單音的聲音較為刺耳，請讀者降低音量。）
等差音高 200 400 600 8000 1000 1200 1400 1600音頻：00:0000:24
等比音高 200 400 800 1600音頻：00:0000:12
（每個(gè)單音持續(xù)時(shí)間為3s，同時(shí)由于單音的聲音較為刺耳，請讀者降低音量。）
對于人耳來說，只有系列2的聲音聽起來像是具有相等距離的，聽起來像是一組“等差”音高?？墒菍?shí)際上系列2的聲音是一組等比音高。
協(xié)和（Consonant）用來形容人們聽到兩個(gè)音時(shí)的感受，人們將兩個(gè)音之間的音高差稱作音程。所有聽起來悅耳、融合的音程，叫協(xié)和音程，也說這兩個(gè)音是協(xié)和的；而聽起來比較刺耳，彼此不很融合的音程叫做不協(xié)和（Dissonant）音程。所以大家可以發(fā)現(xiàn)，協(xié)和與不協(xié)和都是描述人的感受，所以最早得到的哪些音程協(xié)和，哪些不協(xié)和，都是通過記錄無數(shù)人的感覺得來的。
那么哪些音程是協(xié)和的呢，我們首先來看看兩個(gè)單音相互作用產(chǎn)生的結(jié)果：
圖1-3. 在一個(gè)臨界帶寬內(nèi)兩個(gè)音的不協(xié)和程度
圖1-3表示兩個(gè)單音相互作用的結(jié)果?？v坐標(biāo)為協(xié)和、不協(xié)和度。橫坐標(biāo)表示兩個(gè)純音之間的音程與較低音的臨界帶寬的比值，這里要介紹一個(gè)新概念：臨界帶寬 (Critical Bandwidth) 。
臨界帶寬，這個(gè)概念首先被Harvey Fletcher在1933年提出，這個(gè)概念成功解釋了耳蝸聽覺濾波效應(yīng)和掩蔽效應(yīng)。
人耳具有十分復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，臨界頻帶指的是由于耳蝸構(gòu)造產(chǎn)生的聽覺濾波器的頻率帶寬。人的聽覺系統(tǒng)中，耳蝸起著頻譜分析的作用，耳蝸基底膜上特定位置點(diǎn)對某一特征頻率（Characteristic Frequency，CF）的響應(yīng)最大，當(dāng)聲波偏離CF點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)的響應(yīng)減少，因此基底膜上每一點(diǎn)可等效成具有特定頻率（CF）的帶通濾波器，整個(gè)聽覺系統(tǒng)可等效成一系列具有連續(xù)CF的、相互交疊的帶通濾波器，稱為“聽覺濾波器”。臨界頻帶就是聽覺系統(tǒng)帶通濾波功能的反映，聽覺濾波器的帶寬即為臨界帶寬。
再回到圖1-3，我們可以知道當(dāng)兩個(gè)音的音程處于臨界帶寬內(nèi)的某一個(gè)值時(shí)會存在一個(gè)最大的不協(xié)和的點(diǎn)。由于低頻區(qū)與高頻區(qū)臨界頻帶不同，這個(gè)位置也不會相同。
但是我們也提到，純音在自然界上是不存在的。一般都是復(fù)音，那么復(fù)音之間的協(xié)和關(guān)系又是怎樣呢，早期學(xué)者們將圖1中的線條方程寫出來（圖1的結(jié)果是無數(shù)實(shí)驗(yàn)擬合出來的）再將任意兩個(gè)復(fù)音做傅里葉變換，計(jì)算兩個(gè)音相同次序項(xiàng)之間的協(xié)和度，最后加起來就得到了圖2的結(jié)果。并且這個(gè)結(jié)果也經(jīng)過了大量的人耳檢驗(yàn)。
圖1-4. 一個(gè)八度內(nèi)的協(xié)和音程關(guān)系(采用鋸齒音色進(jìn)行計(jì)算得出的結(jié)果)
圖1-4中描述了一個(gè)八度內(nèi)兩個(gè)復(fù)音的協(xié)和音程關(guān)系，這兩個(gè)復(fù)音都是前文所提的具有6個(gè)諧波疊加的泛音。其中一個(gè)的基頻為250Hz，它與任意一個(gè)頻率在250Hz到500Hz內(nèi)的音的協(xié)和關(guān)系如圖2所示?？v坐標(biāo)表示不協(xié)和度，橫坐標(biāo)表示另一個(gè)音的基頻，這里的單位cps (Cycle per second) 與赫茲意義相同。
從圖中我們可以看到在一個(gè)八度內(nèi)協(xié)和度最高的就是我們最開始提到的1:1與1:2的比例關(guān)系，也就是兩個(gè)250Hz的音，或者一個(gè)250Hz和一個(gè)500Hz的音。協(xié)和度排第二的是當(dāng)兩個(gè)音頻率之比為2:3的時(shí)候，也就是250Hz與375Hz，這個(gè)比例也很重要，與后文要提到的五度相生律有重要關(guān)系。
雖然這些嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)計(jì)算得出的結(jié)果在19世紀(jì)才出現(xiàn)，但其實(shí)在很早的時(shí)候，人們就發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)音頻率之比為2:3的時(shí)候，這樣的音組十分協(xié)和，根據(jù)這樣的原則，人們開始制定音律。
早年間，不僅畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了2:3是一個(gè)十分協(xié)和的頻率之比，我國先秦時(shí)期的《管子·地員篇》也記載了所謂“三分損益律”，具體說來是取一段弦，“三分損一”，即均分弦為三段，舍一留二，便得到 3/2F (F為弦的原頻率)。如果“三分益一”，即弦均分三段后再加一段，便得到 4/3F。“三分損益率”就是最早的音律設(shè)計(jì)方法。但是如果加上一個(gè)4/3F的音，那么他與前面幾個(gè)音的協(xié)和程度就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足了。（其實(shí)在這里我們可以發(fā)現(xiàn)，古人最早發(fā)現(xiàn)的協(xié)和頻率比是2:3和3:4。他們并沒有采用比3:4更協(xié)和的比例3:5。）所以古人一想，不如找3/2F的3/2倍，也就是9/4 F，但是這個(gè)數(shù)已經(jīng)比2還大了，并不在我們要的第一個(gè)八度區(qū)間[F,2F]中。我們必須找到這個(gè)八度里的9/4F，也就是用9/4F除以離他最近的一個(gè)整數(shù)，也就是2。這樣它就變成了9/8F。按照這樣的方式，古人在沒有計(jì)算計(jì)算機(jī)的情況下一直算到了243/32 F。通過如上的對應(yīng)關(guān)系，形成了最早音律，最終這些比例的頻率將一個(gè)八度音程分成了七份（如表1-1所示）。
表1-1：五度相生律演化出來的八度音階(注意:音名其實(shí)是與固定音高聲音一一對應(yīng)的，比如C4=261Hz，A4=440Hz)
可以看到有兩種比例出現(xiàn)，一種是1.125，另一種是1.0535，前一種音程叫做全音，后一種叫做半音。
這套理論是通過2:3的頻率比制定而成的，在樂理中這樣音程被稱為“純五度”，所以這套音律被稱為“五度相生律”。但是這套音律自誕生之起就飽受詬病，因?yàn)樵谙覙分袕椬?:5和1:6的位置就已經(jīng)很麻煩了，而且聲音很不和諧，現(xiàn)在居然還要彈奏81:64、243:128這樣的位置！
對“五度相生律”的修改自其發(fā)明的第一天起就沒有斷過，經(jīng)過對比例簡單的調(diào)整后，純律 (Just intonation) 誕生了。但其實(shí)“純律”的修正也很簡單，只是把五度相生律的復(fù)雜比例變簡單一點(diǎn)。即243/128變?yōu)?40/128即15/8、27/16變?yōu)?5/15即5/3、81/64變?yōu)?0/64即5/4。這樣做的好處很容易理解，就是為了容易演奏，可是壞處同樣也顯而易見，引入了更多不夠協(xié)和的頻率之比。事實(shí)上這樣的改動(dòng)是十分失敗的！
那既然修“正”不行，那就繼續(xù)細(xì)分。隨著數(shù)學(xué)水平的上升，大家就開始繼續(xù)細(xì)分音節(jié)，看看能不能對細(xì)分后的音節(jié)進(jìn)行修“正”。于是這次由(3/2)5變成了(3/2)12=129.7≈27=128，這次劃分十分細(xì)致，已經(jīng)去到了第7個(gè)八度。具體的比例如表1-2所示。
表1-2. 最早的12聲音階
可以看出隨著計(jì)算能力的上升，這一次的音階數(shù)更多，更加細(xì)化，同時(shí)有更多的半音出現(xiàn)。“#”表示“升高”的意思，“b”表示“降”的意思，所以除了原始的CDEFGAB以外又多了5個(gè)半音出現(xiàn)，這使得整個(gè)音階更加平滑，能夠描述更多更復(fù)雜的曲調(diào)。
可12音階也存在一個(gè)問題：在這12個(gè)音階當(dāng)中，存在兩種半音，它們分別為：自然半音 (比例為1.0535)、變化半音 (比例為1.0676)。這會導(dǎo)致一個(gè)問題：假如我想唱一首歌，但是我自己的音域達(dá)不到這首歌原調(diào)的范圍，我只能把這首歌降調(diào)來演唱，但是如果每個(gè)音階之間的比例不一樣，降一個(gè)半音或者一個(gè)全音的時(shí)候旋律就和以前不一樣了，那怎么辦？
后來人們又想出了各種修正的辦法，比如構(gòu)造一些等差數(shù)列來修正每個(gè)音與理想曲線的誤差等等，但這些方法既復(fù)雜又不能從根本上解決問題。這時(shí)整個(gè)音樂界都在急迫地等待新律制的誕生。直到公元17世紀(jì)，明朝人朱載堉提出十二平均律，雖然可能沒有傳到西方，但他這卻是最早提出十二平均律的人。18世紀(jì)的時(shí)候，巴赫也創(chuàng)造了十二平均律，但是他的目的不是為了修善音律，只是為了更好的教自己妻子音樂而已。雖然十二平均律看起來很完美，但也不是完全沒有問題。
十二平均律（表1-3）的原理并不復(fù)雜，既然是平均，那就是每個(gè)音之間的頻率之比是一樣的。因?yàn)橐粋€(gè)八度為[F,2F]，那么就直接把這個(gè)1:2的關(guān)系分成十二份，每一份就是(2)1/12=1.059，這樣雖然損失了一部分完美的協(xié)和頻率比，但是這套律法能夠?yàn)橛涗浐蛣?chuàng)作樂曲提供了更多可能。樂器之王鋼琴上的每一個(gè)鍵對應(yīng)的頻率都可以通過十二平均率推算出來（圖4）。
表1-3：十二平均律
圖1-5 鋼琴音高對照表
至此，要想閱讀完這篇論文所需要的一些知識已經(jīng)全部講完，論文中提到的其他樂理名詞，筆者也會在闡述論文內(nèi)容時(shí)加以補(bǔ)充。
這一部分我們將重點(diǎn)講解Jesse Berezovsky的這篇《The structure of musical harmony as an ordered phase of sound: A statistical mechanics approach to music theory》，看看如何從物理的角度來解釋十二平均律的出現(xiàn)。
根據(jù)上一章的介紹，人們最終選擇十二平均律的原因是，它在保證了一定的協(xié)和頻率比的同時(shí)具有“平均”的特性，轉(zhuǎn)調(diào)操作十分容易，可以適應(yīng)更多的演奏。假如用物理或者數(shù)學(xué)模型來描述某一種“系統(tǒng)”的演化過程，最終這種“系統(tǒng)”中出現(xiàn)了今天的“十二平均律”。那么出現(xiàn)“十二平均律”的這個(gè)點(diǎn)應(yīng)該具有兩個(gè)特征：一、協(xié)和程度盡可能高（Minimizes dissonant sounds.）；二、它能盡可能描繪足夠多的“音樂狀態(tài)”（Allows sufficient complexity to allow the desired artistic expression.）。
所以，作者想到如果將以上兩個(gè)特征以物理的方式表述出來，并看作某個(gè)系統(tǒng)自然演化的方向，那么“十二平均律”會不會就是這個(gè)系統(tǒng)演化的必然結(jié)果。之前人們對音樂復(fù)雜性的研究就已經(jīng)提出了音樂的復(fù)雜性可以由“熵S”來表示，同時(shí)加上前文所提到的兩個(gè)音之間的非協(xié)和程度D也可以存在很多經(jīng)驗(yàn)公式。作者通過將統(tǒng)計(jì)力學(xué)中著名的亥姆霍茲自由能（F）的表達(dá)式（公式1）改寫為（公式2）來描述一個(gè)具有很多不同基頻的聲音產(chǎn)生的系統(tǒng)。
對于一個(gè)宏觀系統(tǒng)來說，最小化自由能取決于內(nèi)能U與熵S在不同溫度下的權(quán)衡，而對于這個(gè)各種聲音組成的系統(tǒng)，要最小化其自由能，就需要降低這些聲音之間的不協(xié)和度D，同時(shí)增加其復(fù)雜程度S。這正與以上提出的兩個(gè)方向吻合。
當(dāng)然，光是寫出這一個(gè)方程還不夠，還需要確定聲音之間相互作用的方式。我們已經(jīng)知道，任何一個(gè)聲音都是由一系列頻率的波疊加而成的，而其中振幅最大的那個(gè)波的頻率，也就是這個(gè)聲音的基頻。在音樂理論中，“基頻”就是“音高”。而由于組成每個(gè)聲音的一系列波的振幅，相位等各不相同，所以即使用不同的樂器演奏音高相同的音時(shí)，給人的聽感往往也大不相同，這就是我們說的“音色不同”。在本文中Jesse使用的就是鋸齒音色，也就是“泛音”，這類音色一般可以在弦樂器中找到。
為了簡化計(jì)算，作者將兩個(gè)音不協(xié)和程度的計(jì)算方式設(shè)定為：先將組成每個(gè)音的波按振幅由大到小排列，然后計(jì)算其中相同次序的波相互作用導(dǎo)致的非協(xié)和度d，最后將所有的d相加，得到這兩個(gè)音的總非協(xié)和度D。
當(dāng)然，Jesse首先只計(jì)算了一個(gè)八度內(nèi)兩個(gè)純音之間的非協(xié)和程度與純音頻率差距的關(guān)系（如圖2-1）。
圖2-1. 兩個(gè)純音的非協(xié)和度與純音頻率之差的關(guān)系
其中，
表示兩個(gè)音之間的頻率差距，fa和fb則是兩個(gè)純音的頻率，且fb>fb，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)音相差一個(gè)八度，也就是頻率比為2。而其中不同顏色的線條代表處于不同頻率區(qū)域的兩個(gè)音的不協(xié)和度。Wc為不協(xié)和度最高時(shí)的音程。當(dāng)這兩個(gè)音的頻率都很低時(shí)，處在低頻的一個(gè)八度區(qū)間內(nèi)得到的比較大，而高頻的八度區(qū)間內(nèi)比較小。
既然知道了純音相互作用的協(xié)和度關(guān)系。那么接下來就可以對這個(gè)充滿很多不同音高聲音的體系進(jìn)行縮小自由能的“實(shí)驗(yàn)”了。
平均場理論（Mean Field Theory, MFT）是將隨機(jī)過程模型中一個(gè)單體受到的所有影響近似為一個(gè)外部場（External field），從而將多體問題（Many-body problem）分解為多個(gè)單體問題（One-body problem）進(jìn)行求解的理論。這個(gè)思想已經(jīng)在物理學(xué)中被廣泛使用了。
對于每一個(gè)音來說，它受到其它每一個(gè)音相互作用。在使用平均場近似后，這個(gè)過程變成了一個(gè)音與其它所有音組成的“平均場”相互作用，這將大大減少計(jì)算量。根據(jù)這個(gè)原理，定義以下參數(shù)：
其中，式（4）代表一個(gè)音和其他音產(chǎn)生的平均場之間的頻率差距。式（5）用來計(jì)算整個(gè)系統(tǒng)的不協(xié)和度。為音高為“x”的音的概率，代表所有音與音高“x”的音形成的不協(xié)和度的總和，積分區(qū)間為(0,1]是因?yàn)樵O(shè)定了周期性邊界條件，(0,1]代表一個(gè)八度，積分函數(shù)都滿足這個(gè)周期性的邊界條件。最后式（6）表示的是這個(gè)系統(tǒng)的熵。
其中，因?yàn)楦怕适且粋€(gè)周期函數(shù)，所以很容易想到使用傅里葉級數(shù)作為他的表達(dá)式。可以將其寫成：
圖2-2.
(A)當(dāng)時(shí)，計(jì)算的鋸齒音色不同頻率差的兩個(gè)音的非協(xié)和度(圖中展示了兩個(gè)八度)。（B）通過（A）圖的非協(xié)和度計(jì)算出來的公式（8）的每一項(xiàng)的參數(shù)dk。
那么，既然所有參數(shù)都設(shè)置好了，我們就要開始最小化自由能了。在這個(gè)系統(tǒng)中，默認(rèn)，同時(shí)溫度T只是一個(gè)參數(shù)，并不代表真實(shí)溫度。但是我們?nèi)绻廊蝗ツM一個(gè)T不斷變小的降溫過程，并且在每一個(gè)T下都使得系統(tǒng)的亥姆霍茲自由能最小時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)中的音的頻率分布會是怎樣的呢？
圖2-3. 隨著“溫度”下降，一個(gè)八度內(nèi)聲音概率密度的變化
如圖2-3縱坐標(biāo)表示音的概率密度，縱坐標(biāo)越大說明在，也就是一個(gè)八度內(nèi)具有某個(gè)基頻音的數(shù)量越多，令人驚喜的是，在T=20.2、T=16.3時(shí)，都能看到12個(gè)概率相同的尖峰。這說明：若是某一個(gè)音樂系統(tǒng)，要具有最小的非協(xié)和度，同時(shí)要足夠復(fù)雜時(shí)，只需要在一個(gè)八度內(nèi)形成一個(gè)有十二項(xiàng)的“等差”音高就行！這正好對應(yīng)著“十二平均律”的出現(xiàn)。而在T小于16.2時(shí)，可以看到12個(gè)不同概率的峰出現(xiàn)，這也對應(yīng)著早期具有12聲音階的純律。
圖2-4.約化序參量隨溫度的變化情況
同樣，我們也可以繪制公式（7）中序參量隨溫度變化的規(guī)律。根據(jù)圖2-4，似乎可以發(fā)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的“冷卻”過程存在一種二階相變。在這兩個(gè)臨界溫度之間存在一種十分穩(wěn)定的狀態(tài)——即“十二平均律”階段。
圖2-5. 不同八度內(nèi)的序參數(shù)的變化
因?yàn)樯弦淮挝覀冏龅钠骄鶊鼋乒潭?，但是從圖2-1可知在不同高低的八度區(qū)間內(nèi)是不一樣的。所以，如果使用正確的會得到怎樣的結(jié)果呢？如圖2-5所示，橫坐標(biāo)為溫度，從右到左不斷降低以描繪所述的降溫過程。左邊的彩色矩形顯示了不同顏色對應(yīng)的k值，左邊的縱坐標(biāo)為值，對應(yīng)右邊從C4到C8共4個(gè)八度范圍。
可以看到，在高頻八度范圍出現(xiàn)K=12的“相變區(qū)間”非常大，而在其他范圍會出現(xiàn)一些其他的音律，比如“七聲音階”、“五聲音階”等。作者認(rèn)為這樣的現(xiàn)象來自平均場模型的限制。
原文作者提出的平均場模型近似起到一個(gè)拋磚引玉的效果，因?yàn)槠骄鶊鼋撇⒉皇墙y(tǒng)計(jì)力學(xué)中最準(zhǔn)確的模型，作者猜想也許其他模型能夠更好解釋音樂或者音律發(fā)展的同時(shí)，甚至可以從物理出發(fā)指導(dǎo)音律和音樂的發(fā)展！其實(shí)在本文的后半部分，作者還是用了XY模型 (XY model) 構(gòu)建了一個(gè)屬于音樂的晶格網(wǎng)絡(luò)，“溫度”降低的過程中可以發(fā)現(xiàn)：相鄰的位置的音程符合一定的規(guī)律，甚至可以在這個(gè)晶格網(wǎng)絡(luò)中看到主流音樂所用的三和弦、五和弦。有興趣的讀者可以查看原文，在此就不過多贅述了。
在本文中Jesse Berezovsky使用平均場近似對一個(gè)音樂系統(tǒng)進(jìn)行“緩慢降溫”過程，在每一個(gè)時(shí)間步上都使得組成該系統(tǒng)的音高盡可能協(xié)和，同時(shí)不失多樣性。結(jié)果表明，在某個(gè)溫度下這個(gè)系統(tǒng)的音高組成與近代音律的發(fā)展相似。似乎在冥冥之中物理和藝術(shù)存在著交匯點(diǎn)。這不禁讓筆者驚喜而又后怕，驚喜的是沒想到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢砼c數(shù)學(xué)居然能夠與藝術(shù)有所糾葛；后怕的是那些藝術(shù)家們窮極一生所創(chuàng)造的作品，就像散落在夜空里的星星。在我們小的時(shí)候成為我們夏日幻想，而在長大的某一天我們才意識到那有可能只是一顆冰冷的星球不知道反射了誰的光芒。
不過筆者認(rèn)為即使是這樣人們也不應(yīng)該停下追求真理的腳步，因?yàn)檫@個(gè)世界是如此復(fù)雜，要想走到最后可沒那么容易；而且無論是音樂、繪畫、甚至是表演。既然他如此美好，那么我相信即使人類有一天能夠走到最后，結(jié)果也應(yīng)該不會太差。
羅天麟 | 作者
丁亞飛、Xiangying Shen | 審校
鄧一雪 | 編輯
