走進數(shù)學思維（一）：善于舉例
作者:南京大學教授 鄭毓信
抽象性常常被說成數(shù)學最為基本的一個特性。幫助學生較好地理解與掌握抽象的數(shù)學概念與數(shù)學理論，這是數(shù)學教學的一項基本任務(wù)。實現(xiàn)這個目標的一個基本手段就是恰當?shù)嘏e例——會舉例，善于舉例。這應(yīng)當被看成數(shù)學教師的一個基本功。
應(yīng)當指明，就高度抽象的數(shù)學概念而言，舉例并非一件易事。以下就是筆者在南京大學執(zhí)教時的一個親身體驗：
由于函數(shù)是數(shù)學中最為重要的基本概念之一，因此，作為 大學微積分學課程的開端，筆者首先對學生關(guān)于函數(shù)概念的掌握情況進行了解。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：盡管當時的教學對象是文科學生，但大部分人都能正確地表述出函數(shù)概念的“三個要素”，即自變量、因變量和對應(yīng)關(guān)系。進而，筆者又要求學生聯(lián)系實際生活舉出函數(shù)的若干實例，這一任務(wù)對學生來說應(yīng)當不會有任何困難，因為在中學的全部學習過程 中，他們已經(jīng)接觸到了各種各樣的函數(shù)，教材中也已給出了這個函數(shù)的若干實例。另外，在物理和化學等課程的教學過程中學生也常常會遇到各種各樣的函數(shù)，如彈簧的長度與拉力的關(guān)系、炮彈的射程與發(fā)射角的關(guān)系，等等。
然而，出乎意料的是，學生卻普遍表現(xiàn)出了一定的困難。當時有一個學生舉出了這樣的例子：“一個人的年齡與他所消耗的食品以及與他所消耗的衣物之間的關(guān)系。”
“這能否被看成函數(shù)的實例?”筆者組織學生對此進行了簡短討論。以下的“修正”很快為全班一致接受了：我們在此應(yīng)當首先實行必要的量化，因為，在目前的水平上，函數(shù)所涉及的只是數(shù)量之間的關(guān)系。然而，當教師提出以下問題后，大部分同學卻陷入了思想混亂：“但是，一個人所消耗的食品或衣物與他的年齡之間并不存在必然的聯(lián)系。這就是說，當他20歲時，他所消耗的食品可能是X噸，也完全可能是(X＋1)噸或(X－1)
噸。這種‘不確定性’是否與函數(shù)定義中所說的‘確定的對應(yīng)關(guān)系’相矛盾?”
由于筆者沒有立即提供相應(yīng)的解答，而是讓學生自己去思考，因此，在這一堂課后就有不少同學反映：“對于函數(shù)概念我們原來是懂的，現(xiàn)在反而不懂了!”
當然，這些學生所說的“原來是懂的”，其實并不是真懂；另外，就我們目前的論題而言，這也就十分清楚地表明：舉例特別是舉出適當?shù)睦訉嵎且患资隆?/font>
對于上述的例子，相信一些教師會認為：您這是就較為高深的數(shù)學概念而言的，如果是初等數(shù)學就不存在這樣的問題。例如，通過1個蘋果、兩只桔子等實例我們就可順利地幫助學生掌握1、2、3等概念及其運算；再例如，只需借助木制的三角尺與黑板上所畫出的各種三角形等，我們就可幫助學生順利地建立起三角形的概念……
上面的看法應(yīng)當說有一定道理，但是，作為問題的另一方面，我們又應(yīng)強調(diào)指出：盡管數(shù)學教學中時時都在用到各種各樣的例子，但例子又有“好”與“壞”，或者說“恰當”與“不恰當”的區(qū)分。作出這種區(qū)分的一個重 要標志是：這些例子是否真正有利于學生很好地去掌握相應(yīng)的抽象概念。“會舉例、善于舉例”的一個具體內(nèi)涵，就是應(yīng)當有利于學生較好地實現(xiàn)由具體實例向抽象數(shù)學概念的重要過渡。
顯然，從這樣的角度去分析，我們也就可以立即看出以下論述的不足之處：“數(shù)學，對學生來說，就是利用自己的生活經(jīng)驗對數(shù)學現(xiàn)象的一種‘解讀’。”因為，如果采用皮亞杰的術(shù)語，數(shù)學學習并非僅僅是一種“同化”(用建構(gòu)主義的話來說，就是意義賦予”)，而且也是一個順應(yīng)”的過程，即如何能夠超出生活經(jīng)驗并學會數(shù)學地思維，特別是數(shù)學抽象。
下面這個四年級的教學實例能給予我們直接的啟示。
任課教師要求學生求解這樣一個問題：“52型拖拉機，一天耕地150公畝，問12天耕地多少公畝?”一位學生是這樣解題的：52×50×2=(略)。接下來就出現(xiàn)了這樣的師生對話：
“告訴我，你為什么這么列式?”
“老師，我錯了。”
“好的，告訴我，你認為正確的該怎么列式?”
“除。”
“怎么除?”
“大的除以小的。”
“為什么是除呢?”
“老師，我又錯了。”
“你說，對的該是怎樣呢?”
“應(yīng)該把它們加起來。”
顯然，這位學生是在瞎猜。
“我們換一個題目，比如你每天吃兩個大餅，5天吃幾個大餅?”
“老師，我早上不吃大餅的。”
“那你吃什么?”
“我經(jīng)常吃粽子。”
“好，那你每天吃兩個粽子，5天吃幾個粽子?”
“老師，我一天根本吃不了兩個粽子。”
“那你能吃幾個粽子?”
“吃半個就可以了。”
“好，那你每天吃半個(小數(shù)乘法沒學)粽子，5天吃幾個粽子?”
“兩個半。”
“怎么算出來的?”
“兩天一個，5天兩個半。”
對話進行到這里就很有點“搞笑”了!但是，如果要對這個學生的問題進行診斷，我想大家都會得出這樣的結(jié)論：他所缺乏的并不是生活經(jīng)驗，而是數(shù)學抽象的能力。盡管這個學生已經(jīng)上到了四年級，但在由“日常數(shù)學”上升到“學校數(shù)學”這一方向上并未獲得真正的進展。
在此我們應(yīng)清楚地認識到：數(shù)學抽象事實上是一個模式化的過程。作為數(shù)學抽象的產(chǎn)物，數(shù)學概念(與命題)所反映的不只是某一特定事物或現(xiàn)象的量性特征，而是一類事物或現(xiàn)象在量的方面的共同性質(zhì)——這就是所謂的“模式”，它與通常所說的“模型”是不同的，模型從屬于某個特定的事物或現(xiàn)象，也就不具有模式那樣的普遍意義。模式
化的一個重要特征，就是“去情境化、去時間化和去個性化”，這意味著與現(xiàn)實原型在一定程度上的分離。由此可見數(shù)學教學中對于例子的恰當應(yīng)用的重要性。
最后，從更為廣泛的角度看，恰當舉例不僅適用于數(shù)學教學，也適用于數(shù)學教材的編寫；不僅適用于數(shù)學學習，而且也適用于任何一種抽象理論甚至是“研究傳統(tǒng)”的學習或繼承：例如，著名科學哲學家?guī)於髑宄刂该髁?#8220;范式”對于科學活動的特殊重要性：常規(guī)情況下的科學研究就可被看成范式指導下的解疑活動：進而，就范式的學習而言，庫恩又突出地強調(diào)了這樣一點：只有借助于范例我們才能真正掌握相應(yīng)的范式。“最基本的是，范式是指某些具體的科學成就事例，是指某些實際的問題解答，科學家認真學習這些解答，并仿照它們進行自己的工作。”顯然，這事實上也就更為清楚地表明了在具體與抽象之間所存在的重要的辯證關(guān)系。
另外，現(xiàn)代數(shù)學學習心理學的研究也為以上的論述提供了重要的論據(jù)。研究表明，就數(shù)學概念的學習而言，我們應(yīng)對“概念定義”與“概念意象”作出明確的區(qū)分，因為，在大多數(shù)情況下，數(shù)學概念的心理對應(yīng)物(心理表征)并非相應(yīng)的形式定義，而是一個由多種成分組成的復合體，其中例子占據(jù)了十分重要的地位，它為主體獲得適當?shù)男睦韴D像(視覺形象，對此不應(yīng)簡單地等同于直觀形象)提供了直接的基礎(chǔ)。
由此可見，我們不能停留于各個具體的例子，特別是不能停留于學生已有的知識和經(jīng)驗，而應(yīng)努力幫助學生由具體實例上升到抽象的數(shù)學概念。但是，我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W生很好地實現(xiàn)所說的“抽象”呢?
先來看一個真實的故事。
20世紀60年代，一個數(shù)學家的女兒由幼兒園放學回到了家中，父親問她今天學到了什么?女兒高興地回答道：“我們今天學了‘集合’。”數(shù)學家覺得要學習這樣一個高度抽象的數(shù)學概念，女兒的年齡實在太小了，因此就關(guān)切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂!一點也不難。”“這樣抽象的概念會這樣容易懂嗎?”聽了女兒的回答，作為數(shù)學家的父親仍然放不下心，因此就追問道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“女教師首先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；然后，她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合……最后，教師問全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答復。”
顯然，這個教師所采用的教學方法并沒有什么問題，甚至可以說相當不錯。因此，父親就決定用以下的問題作為最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合?”遲疑了一會兒，女兒最終作出了這樣的回答： “不行!除非它們都能站起來!”
由此可見，學生的認知發(fā)展水平正是實現(xiàn)上述目標的一個必要條件。
從教學的角度看，比較應(yīng)被看成實現(xiàn)數(shù)學抽象最為重要的一個手段。從這樣的角度去分析，現(xiàn)行數(shù)學教學中經(jīng)?？梢钥吹降囊韵伦龇ú⒎鞘智‘敚驗椋@完全忽視了數(shù)學思維的特殊性，從而對于學生學會數(shù)學抽象就不是很有利：
“分類”的教學常常是這樣組織的：教師首先拿出事先準備好的一些模塊——其中不僅呈現(xiàn)出了各種不同的形狀，如三角形、四邊形、圓形等，也被涂成了各種不同的顏色，它們是用一些不同的材料制成的，包括木制的、硬紙片的、塑料的等——教師要求學生對這些模塊進行分類，在一般情況下學生往往會給出多種不同的分類方法，教師對
此往往也會普遍地加以肯定，甚至還會積極地鼓勵學生去提出新的、更多的分類方法……
與此相對照，以下教學方法不僅有利于學生順利地求解所面對的“水池問題”，而且也包含了由“表層結(jié)構(gòu)”向“深層結(jié)構(gòu)”的重要過渡，達到了更高的抽象層次：
“學生在解決有關(guān)往水池里注水的問題時，會認為水池一邊開進水管，一邊開出水管，不論經(jīng)過多長時間，都不會注滿水池。在教學時，教師可以不急于講解，而是引導學生尋找生活中類似的實例。(1)追及問題?？蛙嚸啃r行40千米，小汽車每小時行50千米?，F(xiàn)在客車在小汽車前25千米的地方，同時沿筆直的公路行駛，多長時間小汽車能追上客車?(2)儲蓄問題。爸爸每月工資420元，媽媽每月工資300元，每月平均支出450元，余下的錢存在銀行，幾個月后能購買一臺價格1350元的電視機?通過小汽車追上客車、家庭每月收支情況的實例，學生就容易弄明白，只要進水量大于出水量，經(jīng)過一段時間水池就一定能注滿水。”
另外，為了幫助學生很好地掌握數(shù)學概念的本質(zhì)，我們在教學中不僅應(yīng)當十分重視以所謂的“非標準變式”作為“標準變式”的必要補充，而且也應(yīng)通過“概念變式”與“非概念變式”的必要對照，幫助學生切實避免或糾正各種可能的錯誤。
具體地說，在通過某些具體實例引出數(shù)學概念的同時，為了防止學生將相關(guān)實例的某些特殊性質(zhì)誤認為相應(yīng)概念的本質(zhì)屬性，我們在教學中就不應(yīng)局限于平時所經(jīng)常用到的一些實例(這就是所謂的“標準變式”)，也應(yīng)當有意識地去引人一些“非標準變式”。
例如，以下就是在教學中經(jīng)?？梢钥吹降囊恍╁e誤觀念，而學生之所以會形成這些錯誤觀念，往往就與我們在教學中所使用的只是“標準變式”有著直接的關(guān)系：
角必定有一條水平射線；
直角必定是指向右邊的角；
三角形和四邊形的底邊都應(yīng)處于水平位置；
三角形的高必須處于垂直的位置，并必定與三角形的底邊相交；
對角線不可能處于垂直或水平的位置。
顯然，從這樣的角度去分析，我們也就可以理解引入以下一些“非標準圖形”對于改進教學的積極意義(圖1)：
再者，由以下圖形(圖2)我們可以很好地理解“非概念變式”的作用：就概念的理解而言這事實上起到了“反例”的作用，從而對于防止或糾正學生的錯誤觀念也就具有特別的重要性。
