有網(wǎng)友認為考試教育存在很多問題，降低考試難度、打擊奧數(shù)是好的。誠然我也認為國內(nèi)目前的奧數(shù)存在很大問題，但目前的降低難度方法（減少難題、靈活題）是不可取的：首先，會導致缺乏理科學習能力的學生誤認為自己很擅長理科；其次，會導致拔尖學生無法冒尖，這種情況下競爭變成1分都不能多扣，迫使大家進一步加強機械化訓練（理解再深刻，練習少了，計算錯一個可能前5名高中都上不了的話，那只能瘋狂練習了）；最后，反而有利于不理解定義定理、只機械背誦典型題型的教學方法。
還是要學習歐洲的做法，事實上二戰(zhàn)后，現(xiàn)代科學大師越來越少，剛好就是因為二戰(zhàn)，美式教育、美式科研體制替代歐式教育、歐式科研體制占據(jù)主導地位之后出現(xiàn)的。當然，不可否認我們培養(yǎng)工程師有自己的優(yōu)勢，怎樣做到科學家和工程師的培養(yǎng)體系共存是最大的問題。
比如俄羅斯一本中學代數(shù)教材，是根據(jù)莫斯科大學附屬柯爾莫哥洛夫中學的課堂錄音編撰而成的，適用于俄羅斯第10-11年級的數(shù)理中學代數(shù)課程。作者是莫斯科大學數(shù)學力學學院離散數(shù)學系正教授、柯爾莫哥洛夫中學兼職教授加什科夫。
因為不懂俄語，只能根據(jù)軟件+看數(shù)學符號，大致翻譯一下它的目錄：
第一章：數(shù)與組合數(shù)學
1.1）進位制；1.2）整數(shù)；1.3）歐幾里得算法與連分數(shù)；1.4）斐波那契數(shù)列；1.5）二次方程；1.6）映射的組合；1.7）多項式定理；1.8）組合與分劃；1.9）排列與置換；1.10）置換與對換；
第二章：數(shù)與群
2.1）置換群；2.2）群與子群；2.3）循環(huán)群；2.4）拉格朗日定理；2.5）剩余類的環(huán)與域；2.6）直積；2.7）有限域；2.8）原根；2.9）代數(shù)與密碼學
第三章：多項式
3.1）多項式環(huán)；3.2）歐幾里得算法與貝祖定理；3.3）插值；3.4）差分與重根；3.5）秦九韶算法；3.6）差分加法鏈；3.7）多項式根的近似算法；3.8）分解；3.9）逆多項式；3.10）對稱多項式；3.11）多項式快速乘法；3.12）無平方分解
第四章：代數(shù)方程
4.1）解三次方程；4.2）無法化簡的情況；4.3）復數(shù)；4.4）用計算器；4.5）復數(shù)根；4.6）復數(shù)域上的三次方程；4.7）四次方程；4.8）用拉格朗日方法求三次方程；4.9）用拉格朗日方法解四次方程；4.10）用歐拉方法解四次方程；4.11）代數(shù)學主定理；4.12）方程解法；4.13）方程組；4.14）為什么解方程可以這么難？；4.15）代數(shù)與幾何；4.16）復數(shù)與三角；4.17）三角多項式；4.18）域擴張；4.19）尺規(guī)問題；4.20）阿貝爾-魯菲尼定理
可以看出，內(nèi)容確實是初等數(shù)學，也兼顧了一些競賽的知識點，但絕不止于此，而是真正全面夯實基礎的深度。比如進位制這樣的基礎知識，都進行了深入探討：10進制、2進制、3進制，分別有什么優(yōu)勢？全部進行了探討，并且融入了抽象代數(shù)的思想。同一所中學的分析講義網(wǎng)絡上也找到了，用公理法嚴格定義了實數(shù)。
當然，這是一所在俄羅斯上游的中學，10-11年級的講義。普通的教材，內(nèi)容確實看起來似乎少一些，排版上是彩色排印而不是這種學術性LaTeX排印，但實際上和我們比起來，同樣不逞多讓，比如這本11年級《代數(shù)與分析初步》教材的第一頁，我就看到了幾乎和大學數(shù)學教材一樣嚴謹語言描述的極限定義，用的是ε-δ語言。而中國諸多大學生還在抱怨ε-δ語言很難懂。區(qū)別在于這些普通中學數(shù)學教材在實數(shù)上似乎沒看到嚴格的定義，留待大學了。
高中有堅實的基礎，大學的教學就完全不一樣了。
比如這是南京大學的《數(shù)學分析》講義，竟然把實數(shù)系的構造列為“附錄”并建議學生第一次閱讀時跳過：
絕不是南京大學的老師不好，事實上南京大學這一版教材在全世界范圍內(nèi)也算是優(yōu)秀的，在分析和線性代數(shù)的結合上做的不錯，為了知識點的引入也絕對是煞費苦心，頗具功夫的。但是實數(shù)構造可以說是邁入大學數(shù)學、接受和理解嚴謹數(shù)學思維的第一步，我想南大老師這么做可能也是基于自己的教學經(jīng)驗，學生這一塊接受起來比較難吧。但南大的生源，在全國已經(jīng)數(shù)一數(shù)二了?？拼?，生源同樣數(shù)一數(shù)二，新出的少年班教材也把實數(shù)理論放到了第三學期。
在網(wǎng)絡上了解到的俄羅斯學生普遍用的教材仍然是卓里奇。這本國內(nèi)國科大好像就在用，清華也有一些老師用。歐洲近年來很有名的另一本教材是阿莫恩、埃舍爾寫的德語教材。我在網(wǎng)上看到一個俄羅斯程序員（信息專業(yè)，不是數(shù)學專業(yè)的）推薦數(shù)學書，就把卓里奇列為基礎分析推薦教材之一，把阿莫恩列為進階教材。在中國，一般認為卓里奇是講法很現(xiàn)代的入門教材，但實際上在他們看來，卓里奇已經(jīng)是屬于傳統(tǒng)教材了，阿莫恩是現(xiàn)代講法的教材。阿莫恩是三卷本，適合大一上、大一下、大二上三學期講授，有英文譯本，看看它的目錄：
第一章：基礎知識
1）數(shù)理邏輯基礎；2）集合；3）函數(shù)；4）關系與運算；5）自然數(shù)；6）可數(shù)；7）群與同態(tài)；8）環(huán)、域與多項式；9）有理數(shù)；10）實數(shù)；11）復數(shù)；12）向量空間、仿射空間與代數(shù)
第二章：收斂
1）數(shù)列收斂；2）實、復數(shù)列；3）賦范向量空間；4）單調(diào)數(shù)列；5）無窮極限；6）完備性；7）級數(shù)；8）絕對收斂；9）冪級數(shù)
第三章：連續(xù)函數(shù)
1）連續(xù)；2）拓撲學初步；3）緊性；4）連通性；5）實數(shù)域上的函數(shù)；6）指數(shù)及相關函數(shù)
第四章：一元函數(shù)微分學
1）可微性；2）中值定理及其應用；3）泰勒定理；4）迭代法
第五章：函數(shù)項級數(shù)
1）一致連續(xù)；2）連續(xù)性與可微性；3）解析函數(shù)；4）多項式近似
第六章：一元函數(shù)積分學：這里開始是大一下學期教學內(nèi)容
1）跳躍連續(xù)函數(shù)；2）連續(xù)性的擴展；3）柯西-黎曼積分；4）積分的性質(zhì)；5）積分的方法；6）和與積分；7）傅里葉級數(shù)；8）瑕積分；9）γ函數(shù)；
第七章：多元函數(shù)微分學
1）連續(xù)線性映射；2）可微性；3）多元微分法則；4）多線性映射；5）高階微分；6）Nemytskii算子與變分法；7）逆映射；8）隱函數(shù)；9）微分流形；10）切線與發(fā)現(xiàn)
第八章：曲線積分
1）曲線及其長度；2）R^n空間中的曲線；3）Pfaff形式；4）曲線積分；5）全純函數(shù)；6）亞純函數(shù)
第九章：測度論初步：這里開始是大二上學期的教學內(nèi)容
1）可測空間；2）測度；3）外測度；4）可測集；5）勒貝格測度
第十章：積分理論
1）可測函數(shù)；2）積分函數(shù)；3）收斂定理；4）勒貝格空間；5）n維勒貝格積分；6）富比尼定理；7）卷積；8）替換法則；9）傅里葉變換
第十一章：流形與微分形式
1）子流形；2）多線性代數(shù)；3）微分形式局部理論；4）向量域與微分形式；5）黎曼度量；6）向量分析
第十二章：流形上的積分
1）體積度量；2）微分形式上的積分；3）斯托克斯定理
代數(shù)方面，三本經(jīng)典教材：柯斯特利金、溫伯格、格洛登采夫，按照出版順序是柯斯特利金最早、溫伯格是世紀之交的，而格洛登采夫是最新的。俄羅斯大學一年級、二年級代數(shù)普遍用的是這三本教材，當然一般還是最傳統(tǒng)的柯斯特利金做主教材，另外兩本是擴展教材，對尖子生講授。但也有高經(jīng)是格洛登采夫做主教材的。其中柯斯特利金在國內(nèi)是國科大用的教材，在國內(nèi)被認為是很現(xiàn)代、很難的教材，實際上在俄羅斯是最傳統(tǒng)的教材了。這三本里面，溫伯格是完全為莫獨大授課而產(chǎn)生的，篇幅最少，應該是不能作為本科主教材使用的，而格洛登采夫在高等經(jīng)濟大學做主教材，篇幅是足夠的，大致介紹一下它的內(nèi)容：
上冊（本科1年級用）：
1）集合論與組合數(shù)學基礎：集合與映射、等價類、復合、偏序集
2）整數(shù)與剩余類：環(huán)、域、阿貝爾群、整環(huán)、互素、剩余類環(huán)、交換群環(huán)的直積、同態(tài)、中國剩余定理、特征
3）多項式與簡單的域擴張：形式冪級數(shù)、多項式環(huán)、多項式根、根的添加、復數(shù)域、有限域
4）初等函數(shù)與冪級數(shù)擴張：分式環(huán)、有理函數(shù)域、對數(shù)與指數(shù)、Todd級數(shù)、伯努利數(shù)、分式冪級數(shù)
5）理想、商環(huán)與分解：理想、商環(huán)、主理想整環(huán)、唯一分解整環(huán)、多項式的有理系數(shù)分解
6）向量：模與向量空間、基與維數(shù)、線性映射空間、線性子空間、仿射空間、商空間
7）對偶：對偶空間、零化子、對偶線性映射
8）矩陣：域上的結合代數(shù)、矩陣代數(shù)、過渡矩陣、高斯消元、非交換環(huán)上的矩陣
9）行列式函數(shù)：體積形式、置換、行列式函數(shù)、格拉斯曼多項式、拉普拉斯關系、伴隨矩陣
10）歐氏空間：內(nèi)積、格拉姆矩陣、對偶、度量幾何、正交群
11）射影空間
12）群：循環(huán)、同態(tài)、群作用、群分解、商群
13）群表示：生成元、對稱群的表示、單群、合成列、半直積、p群、Sylow定理
14）主理想整環(huán)上的模：交換環(huán)上的模復習、不變因子、初等因子、有限生成阿貝爾群
15）線性算子：算子的分類、特殊算子、Jordan分解、算子函數(shù)
16）雙線性形式：雙線性形式、非退化形式、伴隨算子、正交投影、對稱與偏對稱形式、辛空間
17）二次型：二次型、非奇異形式的正交幾何、實有限域上的二次型、射影二次型、仿射二次型
18）實數(shù)與復數(shù)：實化、復化、實結構、復結構、歐式結構與辛結構的Hermitian Enhancement
19）Hermitian空間：Hermitian幾何、伴隨映射、正交算子、極分解與奇異值分解
20）四元數(shù)與旋量：復2*2矩陣與四元數(shù)、四元數(shù)的幾何、旋量
下冊（本科2年級用）：
1）張量積：多線性映射、模的張量積、同構、線性映射的張量積、模的張量積
2）張量代數(shù)：向量空間上的自由結合代數(shù)、收縮、張量代數(shù)的商代數(shù)、對稱張量、交錯張量、多項式的極化、格拉斯曼多項式的極化
3）對稱函數(shù)：交錯多項式、對稱多項式、初等對稱多項式、完全對稱多項式、牛頓冪級數(shù)和、Giambelli公式、Pieri公式、對稱函數(shù)環(huán)
4）Array,Tableaux和Diagrams的微積分
5）表示論初步：算子表示、結合代數(shù)表示、群表示、群代數(shù)、Schur表示
6）有限群表示論
7）對稱群表示論
8）sl2-模：李代數(shù)、有限維sl-2單模、有限維sl-2模的半單性
9）范疇和函子：范疇、函子、自然變換、可表示函子、伴隨函子、圖的極限
10）交換環(huán)擴張
11）仿射代數(shù)幾何
12）代數(shù)流形
13）代數(shù)域擴張
14）伽羅瓦群的例子
可以說就內(nèi)容的深度來說，已經(jīng)可以達到甚至超過國內(nèi)很多學校研究生教材的深度了。談論數(shù)理教育千萬不能只放眼國內(nèi)高數(shù)這點東西，因為非數(shù)學專業(yè)的高數(shù)實際上已經(jīng)遠遠落后于時代，而國內(nèi)大部分學校用的本科華東師大數(shù)學分析、王萼芳高等代數(shù)也已經(jīng)嚴重落后于時代了。 這很大程度不是本科教育的差距，而是高中數(shù)理教育的差距。像卓里奇這樣的數(shù)學分析，在國內(nèi)被認為是最難的、清華國科大用的、很現(xiàn)代的數(shù)學分析，實際上在歐洲是屬于傳統(tǒng)派、老派教材了。阿恩莫、格洛登采夫這樣的歐俄現(xiàn)代派教材，中國高中數(shù)理教學的難度恐怕很難支撐起這樣的教學方式。拓撲他們是低年級就學習。
奧數(shù)不是說做題就是奧數(shù)，很多基礎知識奧數(shù)不太好考察，但是實際上至關重要的。知乎上一個問題：為什么現(xiàn)代數(shù)學系沒開設《高等幾何》里面一個評論很好地說明了現(xiàn)在中國的數(shù)競現(xiàn)狀：
會用就行，不要花時間去掌握背后的根本原理。 因此，這樣的學生上來，能不能接受阿莫恩、格洛登采夫這樣的教材都很難說，更別說大部分學生了。清華、國科大，用的也是卓里奇，沒用阿莫恩。當然，能用卓里奇，已經(jīng)不錯了，莫大也是卓里奇不過講的很深，4學期，還有額外的附加課與莫獨大晚間附加課。
非數(shù)學專業(yè)的教材，比如莫斯科航空學院，神舟五號總設計師王永志學習過的學校。academia.interfax.ru排名，2021年在俄羅斯高校里排名第26，這個排名相當于中下游985，工科學校，國內(nèi)差不多排名的工科學校是華南理工大學、大連理工大學吧？用軟件翻譯一下他們線性代數(shù)教材的目錄：
第一章：線性方程組與矩陣
1）消元法，2）矩陣與矩陣加法，3）矩陣乘法
第二章：群環(huán)域
4）集合論；5）代數(shù)運算；6）群；7）環(huán)與域；8）復數(shù)；9）復多項式
第三章：線性空間
10）線性空間；11）線性無關；12）有限維線性空間；13）子空間；14）子空間的直積；15）同構；16）矩陣的秩；17）線性方程組的一般理論；
第四章：行列式函數(shù)
18）線性形式；19）什么是行列式函數(shù)；20）行列式的基本變換；21）矩陣乘積的行列式；22）行列式分解；23）逆矩陣；24）矩陣分解；25）方陣的特征值與特征向量；
第五章：線性空間的幾何
26）歐氏空間；27）正交空間；28）正交矩陣；29）歐式子空間；30）最小二乘法；31）酉空間；
第六章：線性算子
32）線性映射；33）矩陣與線性算子；34）基變換；35）線性算子的特征值與特征向量；36）對角化
第七章：Jordan標準形
37）復習；38）根子空間；39）根基；40）不變因子
第八章：歐氏空間、酉空間中的線性算子
41）共軛算子；42）正規(guī)算子；43）自伴算子；44）酉算子與正交算子；45）線性算子的分解；46）偽逆
第九章：雙線性形式與二次型
47）實空間上的雙線性形式；48）實空間上的二次型；49）二次型的標準型；50）一些二次型；51）復空間上的形式
基本上和數(shù)學系一些學校用的Linear Algebra Done Right差不多吧，但是這個是莫航寫的，工科和經(jīng)濟類用的教材，不是數(shù)學系教材。在我看來是非常好的一本理工科線性代數(shù)教材，比MIT那本Gilbert Strang更值得引進。
大學教育存在問題，一方面是大學自己的問題，另一方面也需要高中供應的學生是有能力、有基礎的學生，能夠接受和理解先進教學內(nèi)容的學生。現(xiàn)在高中的畢業(yè)生，大部分應該還沒達到這個水平?，F(xiàn)有中考高考的選拔不是十全十美的，但如果通過降低難度，不光離俄羅斯、德國、法國優(yōu)秀學生差距會增加，還可能造成更多學生不理解基本知識、通過背誦題型獲取高分。
