勾股定理，是幾何學(xué)中一顆璀璨的明珠，是幾何學(xué)的奠基定理，在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科學(xué)領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用。勾股定理發(fā)現(xiàn)最早的人是我國(guó)公元前1100年左右的西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高，根據(jù)記載，商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾3股4弦5”的問(wèn)題，因而勾股定理又稱(chēng)商高定理。成書(shū)于公元前1世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，并系統(tǒng)介紹了勾股定理及其在測(cè)量上的應(yīng)用以及怎樣引用到天文計(jì)算。
有的國(guó)家稱(chēng)勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”。這是由于在商高發(fā)現(xiàn)勾股定理500多年后，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（約公元前580～前500）才發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上一些國(guó)家也稱(chēng)勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理。相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客，大餐遲遲不上桌，貴賓頗有怨言；但善于觀察和理解的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯卻凝視腳下排列規(guī)則、美麗整齊的方形磁磚，拿出畫(huà)筆蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對(duì)角線(xiàn)為邊畫(huà)一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形面積恰好等于兩塊磁磚的面積和。他很好奇，于是再以?xún)蓧K磁磚拼成的矩形之對(duì)角線(xiàn)作另一個(gè)正方形，他發(fā)現(xiàn)這個(gè)正方形之面積等于5塊磁磚的面積，至此畢達(dá)哥拉斯作了大膽的假設(shè)：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和。
2000多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明饒有興趣，由于這個(gè)定理重要、基本、貼近生活，以至于平民百姓，帝王總統(tǒng)都熱心證明，因而新的證法不斷出現(xiàn)，下面筆者向大家介紹幾種證明方法。
1、趙爽弦圖證明方法：趙爽弦圖是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的。趙爽圖指出：如圖3，四個(gè)全等的直角三角形（紅色）可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形（黃色）
趙爽利用弦圖證明勾股定理的思路如下：把邊長(zhǎng)分別為a、b的兩個(gè)正方形連在一起，如圖1，它的面積是a方＋b方；另一方面，這個(gè)圖形可分割成四個(gè)全等的直角三角形（紅色）和一個(gè)正方形形（黃色），把圖（2）中左右兩個(gè)三角形移到圖（2）上面所示的位置，就會(huì)形成一個(gè)以c為邊長(zhǎng)的正方形，如圖（3），因?yàn)閳D（1）與圖（3）的面積相等，因此有a方＋b方＝c方，勾股定理得證。
趙爽的證明別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的切割、拼接，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，因此這個(gè)圖案（圖3）被選為2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。
2、畢達(dá)哥拉斯的證明：
圖（1）與圖（2）都是邊長(zhǎng)為a＋b的正方形，其面積相等，然左邊正方形的面積為
畢達(dá)哥拉斯的證明也是巧奪天工。數(shù)形結(jié)合的典范。
3、美國(guó)第20任總統(tǒng)詹姆斯·加菲爾德的證明：如圖，把兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的形狀，使C、B、D三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，不難證明梯形ACDE是直角梯形，△ABE是等腰直角三角形，且3個(gè)三角形的面積之和等于梯形的面積。即：
勾股定理的證明，還有很多證明方法如：
4、利用幾何射影定理證明：
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90o，作CD⊥AB于D，
5、利用切割線(xiàn)定理證明：
在Rt△ABC中，∠C＝90o，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c
以BC為半徑作⊙B交AB于D，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E
則AC切⊙B于C，由切割線(xiàn)定理得：
6.利用內(nèi)切圓半徑及面積證明
設(shè)Rt△ABC中，∠C＝90o，∠A、∠B、∠C對(duì)的邊分別為a、b、c，內(nèi)切圓為⊙O，⊙O切BC、AB、AC于D、E、F，則AF＝AE，BE＝BD，CD＝CF，易證CDOF是正方形，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則CD＝CF＝r，∵b＝CF＋AF＝r＋AE，同理：a＝r＋BE，
∴a＋b＝2r＋AE＋BF＝2r＋c，∴a＋b－c＝2r，∴a＋b＝2r＋c， ①
7、三角函數(shù)法證明
設(shè)Rt△ABC中∠C＝90o∠A、∠B、∠C對(duì)的邊分別為a、b、c，
則a＝csinA，b＝ccosA，
8、托勒密定理證明
如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝a，BC＝b，AB＝c，外接圓為⊙O，延長(zhǎng)CO交⊙O于D，連AD、BD，則ACBD為矩形。由托勒密定理得
AC·BD＋AD·BC＝AB·CD，∵AC=BD=a，AD=BC=b，AB=CD=c
勾股定理證明方法頗多。有人統(tǒng)計(jì)約有400種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一，這足以說(shuō)明勾股定理深入人心，運(yùn)用廣泛。
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