絕對值是初中代數(shù)中的一個基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡代數(shù)式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時，經(jīng)常會遇到含有絕對值符號的問題，同學(xué)們要學(xué)會根據(jù)絕對值的定義來解決這些問題．
下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對值的基本知識.
一個正實數(shù)的絕對值是它本身；
一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；
零的絕對值是零．即
絕對值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認(rèn)識，它與距離的概念密切相關(guān)．在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點離開原點的距離叫這個數(shù)的絕對值．
結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對值相等的數(shù)有兩個，它們恰好互為相反數(shù)．反之，相反數(shù)的絕對值相等也成立．由此還可得到一個常用的結(jié)論：任何一個實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)．
例1 a，b為實數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應(yīng)附加什么條件？
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
(4)若｜a｜=b，則a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；
(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．
例2 設(shè)有理數(shù)a，b，c如果，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．
化簡｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
例3 已知x＜-3，化簡：｜3+｜2+(1+x)｜｜
例4.若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
參考答案：
例1 a，b為實數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應(yīng)附加什么條件？
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；
(4)若｜a｜=b，則a=b；
(5)若｜a｜＜｜b｜，則a＜b；
(6)若a＞b，則｜a｜＞｜b｜．
解 (1)不對．當(dāng)a，b同號或其中一個為0時成立．
(2)對．
(3)對．
(4)不對．當(dāng)a≥0時成立．
(5)不對．當(dāng)b＞0時成立．
(6)不對．當(dāng)a＋b＞0時成立．
例2 設(shè)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖1-1所示，化簡｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解 由圖1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根據(jù)有理數(shù)加減運算的符號法則，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
再根據(jù)絕對值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．
于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．
例3 已知x＜-3，化簡：｜3+｜2+(1+x)｜｜
分析 這是一個含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號．
解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因為1+x＜0)
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因為3+x＜0)
=｜-x｜=-x．
例4若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
解 因為｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
(1)當(dāng)y=2時，x+y=-1；
(2)當(dāng)y=-2時，x+y=-5．
所以x+y的值為-1或-5
