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很多問題求解最后都轉(zhuǎn)化為求解數(shù)學方程或數(shù)學方程組，即使是不需要用計算機求解的簡單問題也需要一個數(shù)學模型來描述，例如，大家都熟悉的"雞兔同籠"問題，可轉(zhuǎn)化為對"二元一次方程組"進行求解。又如在房屋設計或橋梁設計中的結(jié)構(gòu)應力分析計算可化解為線性代數(shù)方程組求解的問題，再如，天天看到的天氣預報，它的數(shù)學模型是一個環(huán)流模式方程。
　　而當計算機進入非數(shù)值計算領域、特別是用在管理上的時候，計算機的操作對象之間的關系就無法用數(shù)學方程加以描述了。

　

 

　　第二節(jié)　與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相關的基本概念

·數(shù)據(jù)
　　是所有能被輸入到計算機中，且能被計算機處理的符號(數(shù)字、字符等)的集合，它是計算機操作對象的總稱。
　　是計算機處理的信息的某種特定的符號表示形式。
　　數(shù)據(jù)是個集合，如果用集合的表示方法來寫的話，就是
　　　　數(shù)據(jù)={x|x是計算機操作的對象}

　·數(shù)據(jù)元素
　　是數(shù)據(jù)(集合)中的一個"個體"，在計算機中通常作為一個整體進行考慮和處理，是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中討論的"基本單位"。
　　有兩類數(shù)據(jù)元素：一類是不可分割的"原子"型數(shù)據(jù)元素，如：整數(shù)"5"，字符 "N" 等；另一類是由多個款項構(gòu)成的數(shù)據(jù)元素，其中每個款項被稱為一個"數(shù)據(jù)項"。例如描述一個學生的信息的數(shù)據(jù)元素可由下列6個數(shù)據(jù)項組成。其中的出身日期又可以由三個數(shù)據(jù)項："年"、"月"和"日"組成，則稱"出身日期"為"組合項"，而其它不可分割的數(shù)據(jù)項為"原子項"。

　　數(shù)據(jù)項是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中討論的"最小單位"。

　　它包括所有的數(shù)字和字符。圖形和聲音等信息最后也都可以轉(zhuǎn)化為"字符"進行處理。而這些字符和數(shù)字是客觀信息的一種描述。如"3000"，可以表示某個城市的3000萬人口，也可表示3000元/平方的房價。

　·關鍵字
　　指的是能識別一個或多個數(shù)據(jù)元素的數(shù)據(jù)項。若能起唯一識別作用，則稱之為 "主" 關鍵字，否則稱之為 "次" 關鍵字。

·數(shù)據(jù)對象
　　是具有相同特性的數(shù)據(jù)元素的集合，如：整數(shù)、實數(shù)等。它是數(shù)據(jù)的一個子集。

若在特性相同的數(shù)據(jù)元素集合中的數(shù)據(jù)元素之間存在一種或多種特定的關系，則稱該數(shù)據(jù)元素的集合為"數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)"，換句話說，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是帶"結(jié)構(gòu)"的數(shù)據(jù)元素的集合。"結(jié)構(gòu)"即指數(shù)據(jù)元素之間存在的關系。
在客觀世界中存在的各個事物之間存在著千絲萬縷的"聯(lián)系"，因此在計算機對它進行處理的時候必然也要將這種關系描述進去，如數(shù)學方程就是變量之間的約束關系的一種描述，在此稱這種關系為結(jié)構(gòu)，因此，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是一堆數(shù)據(jù)元素和這些數(shù)據(jù)元素之間的關系的總和。
　　<x,y> 意為 x 和 y 之間存在 "x領先于y" 的次序關系。
　　假設以三個4位的十進制數(shù)表示一個含12位十進制數(shù)的"長整數(shù)"，則可用如下描述的數(shù)學模型表示：它是一個含三個數(shù)據(jù)元素{a1,a2,a3}的集合，且在集合上存在下列次序關系：{<a1,a2>，<a2,a3>}。

　　例如，長整數(shù) "321465879345" 可用 a1=3214，a2=4658 和 a3=9345 的集合表示，且三者之間的次序關系必須是，a1 表示最高4位，a3 表示最低的4位，a2 則是中間4位。

　　又如，可以用下述數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來描述2行3列的矩陣：它是一個含6個數(shù)據(jù)元素{a1,a2,a3,a4,a5,a6} 的集合，且集合上存在"行關系"和"列關系"兩個次序關系，其中行關系為{<a1,a2>，<a2,a3>，<a4,a5>，<a5,a6>}，列關系為
　　　{<a1,a4>，<a2,a5>，<a3,a6>}。

　　再如，描述1行6列的矩陣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的定義為：它是一個含6個數(shù)據(jù)元素{a1,a2,a3,a4,a5,a6}的集合，且集合上只存在一個次序關系，即：
　　　{<a1,a2>，<a2,a3>，<a3,a4>，<a4,a5>，<a5,a6>}。
　　從這兩個例子可見，即使數(shù)據(jù)元素集合相同，而其上的關系不同，則構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)不同。

　　1.2.2 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

　　數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的形式定義為：

　　數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是一個二元組
　　　Data_Structures = ( D,S )

　　其中：D是數(shù)據(jù)元素的有限集，
　　　　　S是D上關系的有限集。

　　按關系或結(jié)構(gòu)分，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)可歸結(jié)為以下四類：線性結(jié)構(gòu)、樹形結(jié)構(gòu)、圖狀結(jié)構(gòu)和集合結(jié)構(gòu)。

　　數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)應該包括數(shù)據(jù)的"邏輯結(jié)構(gòu)"和數(shù)據(jù)的"物理結(jié)構(gòu)"兩個方面（層次）。

　　數(shù)據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)是對數(shù)據(jù)元素之間存在的邏輯關系的描述，它可以用一個數(shù)據(jù)元素的集合和定義在此集合上的若干關系表示。

　　數(shù)據(jù)物理結(jié)構(gòu)是數(shù)據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)在計算機中的表示和實現(xiàn)，故又稱數(shù)據(jù)"存儲結(jié)構(gòu)"。
　　上述對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的定義還只是數(shù)學上的抽象概念，并沒有涉及計算機，完整的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)定義還應該包括它在計算機中的表示-即數(shù)據(jù)的存儲結(jié)構(gòu)。

　　存儲結(jié)構(gòu)是邏輯結(jié)構(gòu)在存儲器中的映象，它包含數(shù)據(jù)元素的映象和關系的映象。

　　在計算機中表示信息的最小單位是"位(bit)"，任何一個數(shù)據(jù)元素都可以用一個 "位串" 表示，如，數(shù)值"321" 可用位串 101000001 表示，字母"A"可用位串 001000001 表示。當數(shù)據(jù)元素由多個數(shù)據(jù)項構(gòu)成時，每個數(shù)據(jù)項即為表示數(shù)據(jù)元素的位串中的一個"子位串"。
　　由于邏輯結(jié)構(gòu)包括數(shù)據(jù)元素集合和關系的集合，則討論存儲結(jié)構(gòu)只需要分別討論數(shù)據(jù)元素和關系在計算機中如何表示即可。

　　關系有兩種表示方法：

　　其一為"順序映象"。以 "y 相對于 x 的存儲位置" 表示 "y 是x的后繼"，例如，令 y 的存儲位置和 x 的存儲位置之間相差一個預設常量C，C本身是個隱含值，由此得到的數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu)為"順序存儲結(jié)構(gòu)"。

　　其二為"鏈式映象"。以和x綁定在一起的附加信息(指針)表示后繼關系，這個指針即為 y 的存儲地址，由此得到的數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu)為"鏈式存儲結(jié)構(gòu)"。

　　可見，在順序存儲結(jié)構(gòu)中只包含數(shù)據(jù)元素本身的信息，而鏈式存儲結(jié)構(gòu)中以"由數(shù)據(jù)元素 x 的存儲映象和附加指針合成的結(jié)點"表示數(shù)據(jù)元素。
關系的最小單位是一個<x,y>的有序?qū)?，則討論關系的表示方法只需討論這個有序?qū)Φ谋硎痉椒纯?，即如何表?"y是x的后繼"。

　順序映象
　　
　鏈式映象
　

　　1.2.3 數(shù)據(jù)類型和抽象數(shù)據(jù)類型

　　在用高級程序設計語言編寫的程序中，必須對程序中出現(xiàn)的每個變量、常量或表達式，明確說明它們所屬的數(shù)據(jù)類型。例如，C語言中的基本數(shù)據(jù)類型有：整型、字符型、實型（包括單精度型和雙精度型）及枚舉型。

　　數(shù)據(jù)類型是一個"值"的集合和定義在此集合上的"一組操作"的總稱。

　　所有高級語言中都有"整型"數(shù)據(jù)類型，它們的實現(xiàn)方法可以各自不同，但對程序員而言，它們是"相同"的。程序員使用它們時僅需了解它們的數(shù)學特性，而不需要了解它們在語言中是如何實現(xiàn)的。換句話說，各種語言中實現(xiàn)的是同一個"整數(shù)類型"，而這個"整數(shù)類"的定義僅對"整數(shù)的數(shù)學特性"有明確規(guī)定。可稱這個"整數(shù)類型"為"抽象數(shù)據(jù)類型"。
抽象數(shù)據(jù)類型（Abstract Data Type 簡稱 ADT）是指一個數(shù)學模型以及定義在此數(shù)學模型上的一組操作。

　　例如，矩陣的抽象數(shù)據(jù)類型定義為，矩陣是一個由 m n 個數(shù)排成 m 行 n 列的表，它可以進行初等變換、相加、相乘、求逆、……等運算。

　抽象數(shù)據(jù)類型有兩個重要特性：
　·數(shù)據(jù)抽象
　　用ADT描述程序處理的實體時，強調(diào)的是其本質(zhì)的特征、其所能完成的功能以及它和外部用戶的接口（即外界使用它的方法）。

　·數(shù)據(jù)封裝
　　將實體的外部特性和其內(nèi)部實現(xiàn)細節(jié)分離，并且對外部用戶隱藏其內(nèi)部實現(xiàn)細節(jié)。

 　　程序中對變量或常量說明其所屬類型的作用是，對它們加上兩個約束條件：一是可取值的范圍，二是可進行的操作。

　　 在高級編程語言中實現(xiàn)的整數(shù)都具有下列"數(shù)學特性"：
　　它是這樣一個序列：
　　　……,-2,-1,0,1,2,……

　　此外，它可以進行"+"、"-"、""、"/"及"取模"等運算。
　　抽象"意為提取"數(shù)學特性"。
　　抽象數(shù)據(jù)類型必須給它的外部用戶提供完整的 "接口"，例如，明確長整數(shù)是三個整數(shù)的序列以及可以對它進行的操作等。
　　同時，對外部用戶來說，不需要了解它是如何實現(xiàn)的，內(nèi)部實現(xiàn)的改變不影響外部的使用，更重要的是應該做到，不能讓外部用戶侵入內(nèi)部。對外部用戶來說，抽象數(shù)據(jù)類型應該完全是一個黑盒子。