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黎曼（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

1972年，物理學(xué)家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）寫了一篇名為《錯(cuò)失的機(jī)會(huì)》（Missed Opportunities）的文章。在該文中，他闡述道：如果像哥廷根這類地方的數(shù)學(xué)家曾與當(dāng)時(shí)潛心研究描述電磁現(xiàn)象的麥克斯韋方程的物理學(xué)家進(jìn)行討論，那么可能在愛因斯坦公布其研究結(jié)果的很多年之前，相對(duì)論就被發(fā)現(xiàn)了。實(shí)現(xiàn)這一突破性成果的要素在1865年就已具備，而愛因斯坦在大約四十年后才宣布了這一結(jié)果。

令人驚訝的是，戴森居然認(rèn)為科學(xué)的航船還在黑夜中摸索前行。就在他的文章發(fā)表后不久，物理學(xué)和數(shù)學(xué)之間的一次意外碰撞產(chǎn)生了二十世紀(jì)下半葉最為偉大的科學(xué)思想之一：量子物理和素?cái)?shù)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系。

這種與物理學(xué)意料之外的聯(lián)系給了我們一個(gè)窺探數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，或許它將最終揭示這些神秘?cái)?shù)字的秘密。起初，這種聯(lián)系看起來非常微弱。然而，數(shù)字42所扮演的重要角色最近甚至說服了最有力的懷疑者：亞原子世界也許是開啟數(shù)學(xué)界一個(gè)最重大的未解難題的鑰匙。

素?cái)?shù)，例如17和23，是指那些只能被自身和1整除的正整數(shù)。它們是數(shù)學(xué)中最重要的對(duì)象，因?yàn)?，正如古希臘人所發(fā)現(xiàn)的那樣，它們是所有整數(shù)的基石：任何整數(shù)都可以分解成素?cái)?shù)的乘積（例如，105 = 3 × 5 × 7）。素?cái)?shù)是數(shù)學(xué)世界中的氫和氧，是算術(shù)中的原子。此外，它們代表了數(shù)學(xué)中最大的挑戰(zhàn)之一。

作為一名數(shù)學(xué)家，我窮盡一生之力試圖找到我身處的表觀混沌之中所蘊(yùn)含的模式、結(jié)構(gòu)和邏輯。然而，這種模式的科學(xué)似乎是由一組數(shù)的集合所建立的，這些數(shù)之間沒有任何邏輯。素?cái)?shù)看起來更像是一組彩票號(hào)碼的集合，而不是由簡單的公式和規(guī)則所產(chǎn)生的序列。

兩千年來，素?cái)?shù)的模式問題就像一塊磁鐵，吸引著困惑的數(shù)學(xué)家們。波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）就是其中一位。他于1859年，即達(dá)爾文發(fā)表進(jìn)化論的同一年，發(fā)表了一篇具有同等革命性的論文，論述了素?cái)?shù)的由來。黎曼是哥廷根大學(xué)的數(shù)學(xué)家，他開造了一門將為愛因斯坦的偉大突破奠定基礎(chǔ)的幾何學(xué)。然而，他的理論并不僅僅只是打開相對(duì)論的鑰匙。 

黎曼發(fā)現(xiàn)了一個(gè)幾何學(xué)的大陸，其輪廓蘊(yùn)藏著素?cái)?shù)在整個(gè)數(shù)字世界中的分布方式的秘密。他意識(shí)到，可以通過 zeta 函數(shù)構(gòu)建一幅景象，使得一個(gè)三維圖中的波峰和波谷對(duì)應(yīng)于該函數(shù)的值。Zeta 函數(shù)建立了素?cái)?shù)和幾何學(xué)之間的橋梁。通過進(jìn)一步的研究，黎曼發(fā)現(xiàn) zeta 函數(shù)值為零的地方（對(duì)應(yīng)于波谷）蘊(yùn)含著有關(guān)素?cái)?shù)本質(zhì)的關(guān)鍵信息。

黎曼這一發(fā)現(xiàn)所具備的革命性意義可以與愛因斯坦發(fā)現(xiàn) E = mc²  相提并論。與愛因斯坦方程中質(zhì)量轉(zhuǎn)化為能量不同，黎曼方程將素?cái)?shù)轉(zhuǎn)化為 zeta 函數(shù)景象中水平線（sea-level）處的點(diǎn)。然而，黎曼后來注意到，更加不可思議的事情發(fā)生了。當(dāng)他標(biāo)注了前十個(gè)零點(diǎn)的位置后，一個(gè)令人吃驚的模式開始出現(xiàn)。這些零點(diǎn)并不是散落各處，它們似乎分布在景象區(qū)域中的一條直線上。黎曼無法相信這僅僅只是一個(gè)巧合。他假設(shè)，所有的零點(diǎn)——無窮多個(gè)零點(diǎn)——可能都落在這條臨界直線上，這就是著名的黎曼猜想（Riemann Hypothesis）。

但是，這種令人著迷的模式對(duì)素?cái)?shù)而言意味著什么呢？如果黎曼的發(fā)現(xiàn)是正確的，那就意味著大自然對(duì)素?cái)?shù)的分布是盡可能公平的。這意味著素?cái)?shù)的行為更像是一個(gè)房間里隨機(jī)的氣體分子：雖然你可能不知道每個(gè)分子的確切位置，但是你可以確定不可能一個(gè)角落是真空的而另一個(gè)角落聚集著很多分子。

對(duì)于數(shù)學(xué)家而言，黎曼關(guān)于素?cái)?shù)分布的預(yù)言是強(qiáng)有力的。如果這個(gè)猜測是正確的，它就意味著其他上千個(gè)定理都是成立的，其中也包括我自己的一些定理，這些定理都是以黎曼猜想的正確性為前提的。但是，經(jīng)過了將近150年的努力，還是沒有人能夠證明所有的零點(diǎn)確實(shí)都落在黎曼所預(yù)言的直線上。

1972年，物理學(xué)家弗里曼·戴森和數(shù)論專家休·蒙哥馬利（Hugh Montgomery）在普林斯頓高等研究院喝茶時(shí)的會(huì)面是一個(gè)機(jī)遇，它揭示了素?cái)?shù)故事中一種令人驚嘆的新關(guān)系，或許能為最終解決黎曼問題提供一條線索。他們發(fā)現(xiàn)，如果將黎曼臨界直線上的零點(diǎn)和實(shí)驗(yàn)記錄的大原子（例如鉺，元素周期表中的第68個(gè)原子）的核的能級(jí)相比較，兩者的分布驚人的相似。

看起來，蒙哥馬利所預(yù)測的零點(diǎn)在黎曼臨界直線上的分布模式與量子物理學(xué)家所預(yù)測的重原子的核的能級(jí)是一致的。這個(gè)關(guān)系的影響是巨大的：如果人們可以弄清楚量子物理中描述原子核結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)，也許同樣的數(shù)學(xué)就可以用來解決黎曼猜想。

數(shù)學(xué)家是多疑的。盡管數(shù)學(xué)曾常常為物理學(xué)家服務(wù)，例如愛因斯坦，但是他們懷疑物理學(xué)是否真的能夠回答數(shù)論中的困難問題。于是在1996年，普林斯頓大學(xué)的彼得·薩奈克（Peter Sarnak）向物理學(xué)家們提出挑戰(zhàn)，請他們告訴數(shù)學(xué)家關(guān)于素?cái)?shù)的新見解。最近，布里斯托爾大學(xué)的喬·基廷（Jon Keating）和妮娜·斯奈思（Nina Snaith）對(duì)此作出了正式回應(yīng)。

有一個(gè)重要的數(shù)列叫做“黎曼 zeta 函數(shù)的矩”（the moments of the Riemann zeta function）。盡管我們知道如何抽象地去定義它，但是精確地計(jì)算該數(shù)列中的每個(gè)數(shù)卻非常困難。自上世紀(jì)二十年代以來，我們已經(jīng)知道前兩個(gè)數(shù)是1和2。然而，直到近幾年，數(shù)學(xué)家們才猜想該數(shù)列中的第三個(gè)數(shù)可能是42——它在《銀河系漫游指南》（The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy）一書中被描述為具有重要意義的數(shù)字。

確立素?cái)?shù)與量子物理之間的聯(lián)系同樣具有重要意義。利用這種聯(lián)系，基廷和斯奈思不僅解釋了為什么生命、宇宙以及黎曼zeta函數(shù)第三矩的答案是42，而且還給出了一個(gè)預(yù)測該數(shù)列（即黎曼 zeta 函數(shù)的矩）中所有數(shù)字的公式。在這個(gè)突破性進(jìn)展之前，量子物理與素?cái)?shù)相關(guān)聯(lián)的證據(jù)只來自于有趣的統(tǒng)計(jì)比較，但是數(shù)學(xué)家對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是持懷疑態(tài)度的。我們喜歡精確的事物?；⒑退鼓嗡歼\(yùn)用物理學(xué)得到了一個(gè)非常精確的預(yù)測，它使得統(tǒng)計(jì)學(xué)在預(yù)測模式的過程中沒有發(fā)揮的余地了。

現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們深信不疑了。普林斯頓一個(gè)普通房間里的那次偶然會(huì)面成就了當(dāng)前素?cái)?shù)理論最激動(dòng)人心的進(jìn)展之一。數(shù)學(xué)中的很多大問題，例如費(fèi)馬大定理（Fermat’s Last Theorem），都是在建立了與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系之后才被解決的。150年來，許多數(shù)學(xué)家在解決黎曼猜想的道路上怯而止步。我們可能最終找到理解素?cái)?shù)的工具的這一希望，已經(jīng)激勵(lì)更多的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家直面挑戰(zhàn)。希望彌漫在空氣中，我們可能離真解更近一步了。戴森也許是對(duì)的，人們錯(cuò)失了提前四十年發(fā)現(xiàn)相對(duì)論的機(jī)會(huì)；然而，如果沒有數(shù)學(xué)家們喝茶討論的機(jī)遇，誰又能知道我們還要等多久才能發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)與量子力學(xué)的聯(lián)系呢！