在證明三角形全等時有時需添加輔助線，對學習幾何證明不久的學生而言往往是難點．下面介紹證明全等時常見的五種輔助線，供同學們學習時參考．
一、截長補短
一般地，當所證結(jié)論為線段的和、差關系，且這兩條線段不在同一直線上時，通?？梢钥紤]用截長補短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等．
例1．如圖1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB．求證：AC=AE+CD．
分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上．故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD．
證明：在AC上截取AF=AE，連接OF．
∵AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°
∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．
顯然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°
在△DOC與△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC
∴△DOC≌△FOC， CF=CD
∴AC=AF+CF=AE+CD．
二、中線倍長
三角形問題中涉及中線（中點）時，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路．
例2．已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長x的取值范圍是（ ）．
分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個已知邊轉(zhuǎn)移到同一個三角形中，然后利用三角形的三邊關系才能進行分析和判斷．
解：如圖2所示，設AB=7，AC=5，BC上中線AD=x．
延長AD至E，使DE = AD=x．
∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD
∠ADC=∠EDB（對頂角）∴△ADC≌△EDB
∴BE=AC=5
∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE
即7-5＜2x＜7+5 ∴1＜x＜6
三、作平行線
當三角形問題中有相等的角或等腰等條件時，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件．
例3．如圖3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD．連接DE交BC于F．求證：DF=EF．
分析：要證DF=EF，必須借助三角形全等．而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形．由等腰三角形條件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．則△DBH為等腰三角形．
證明：作DH∥AE交BC于H．
∴∠DHB=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠B=∠ACB
∴∠DHB=∠B，DH=BD
∵CE=BD ∴DH= CE
又DH∥AE，∠HDF=∠E
∠DFH=∠EFC（對頂角）
∴△ DFH≌△EFC（AAS） ∴DF=EF
四、補全圖形
在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個封閉的圖形，可找到更多的相等關系，有助于問題的解決．
例4．如圖4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD為∠ABC的平分線．若A點到直線BD的距離AD為a，求BE的長．
分析：題設中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的BE為斜邊．要找到它們之間的關系，需設法構(gòu)造其他的全等三角形．
證明：延長AD、BC相交于F．
由BD為∠ABC的平分線，BD⊥AF．
易證△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD
又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°
∴∠ABD=∠FAC
∵BD為∠ABC的平分線 ∴∠ABD=∠CBE
∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC
∴△ACF≌△BCE（ASA） ∴BE=AF=2a
五、利用角的平分線對稱構(gòu)造全等
角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法．
例5．如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．證明：AD=CD．
分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構(gòu)造△ABD≌△EBD，從而AD=DE．則只要證明DE=CD．
證明：在BC上截取BE=BA，連接DE．
由BD平分∠ABC，易證△ABD≌△EBD
∴AD=DE ∠A=∠BED
又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°
∴∠DEC=∠C，∴DE=CD
∴AD=CD
（發(fā)表于《中學生數(shù)學》2009年10月第10期）
