在本年度中考試題中，不少命題專家從應試者的心理承受能力出發(fā)，設計出了不少既考查學生對數(shù)學核心概念、思想方法的理解及運用水平，又使學生在考試過程中經(jīng)歷數(shù)學化的過程，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識的試題。
1.傳承數(shù)學文化、讓學生體驗數(shù)學化的科學價值
新課標指出：“數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分”。 “是人類社會進步的產(chǎn)物，也是推動社會發(fā)展的動力”。中考作為一種社會文化現(xiàn)象，必然要從屬和服務于社會意識形態(tài)和特定的文化結(jié)構(gòu)，必須要承載社會賦予其特定的功能——數(shù)學化。
例1：（溫州）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1—1）。圖1—2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成。記圖1—2中正方形，正方形
，正方形
的面積分別為
，若
=10，則
的值是 。
解析：由題意可知，，，。又由=10，易得：的值是
賞析：勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現(xiàn)之一。有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它。趙爽的證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。學生通過解此題，進一步體驗了形數(shù)統(tǒng)一的思想方法，又一次經(jīng)歷了認識勾股定理的數(shù)學化過程。受到優(yōu)秀文化的熏陶，傳承了中華民族悠悠五千年文化史。
2. 關(guān)注問題情境、讓學生經(jīng)歷數(shù)學化的思維過程
在命制中考試題中，如何創(chuàng)設試題情境是一種智慧的挑戰(zhàn)。試題情境需要命題教師對教學本身進行周密思考與精心設計，試題情境要學生在應試過程中自己去經(jīng)歷、體會、理解，要有讓學生思考的時間和空間，使學生在一個曾經(jīng)歷過的熟悉的背景下，產(chǎn)生一種巨大的無形的導引效應，使自己全身心投入到解決問題的數(shù)學化過程活動中，從自己的經(jīng)驗出發(fā)，運用屬于自己的方式和策略，尋找解決問題的方法，發(fā)現(xiàn)和整理屬于自己的不同形式的解題策略，經(jīng)歷數(shù)學化的過程。
例2：（南京市）：
問題情境
已知矩形的面積為（為常數(shù)，），當該矩形的長為多少時，它的周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？
數(shù)學模型
設該矩形的長為，周長為，則與的函數(shù)關(guān)系式為。
探索研究
⑴我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗，先探索函數(shù)的圖象性質(zhì)。
① 填寫下表，在圖2—1中畫出函數(shù)的圖象：
| …… |
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| 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
| …… |
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| …… |
②觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；
③在求二次函數(shù)的最大（?。┲禃r，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數(shù)的最小值。
解決問題
⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案。
解析：⑴①將表中的值代入
中計算可得的值分別為： ，，，2，，，。描點并畫出函數(shù)的圖象如圖2—2所示。
②本題答案不唯一。要根據(jù)圖象，可得：當時，隨增大而減小；當時,隨增大而增大；當時函數(shù)的最小值為2等。
③
當,即時，函數(shù)的最小值為2．
⑵當該矩形的長為時，它的周長最小，最小值為．
賞析：本題首先提出一個具體的問題情境，即“已知矩形的面積為（為常數(shù)，），當該矩形的長為多少時，它的周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?？”讓學生借鑒已經(jīng)掌握的研究函數(shù)的經(jīng)驗，突出學科結(jié)合與高中內(nèi)容的銜接，先探索函數(shù)的圖象性質(zhì)，再解決“問題情境”中提出的問題。其過程就是經(jīng)歷數(shù)學化的思維過程。試題注重創(chuàng)造“最近發(fā)展區(qū)”， 引發(fā)學生思考，讓學生在思考中體驗知識的形成過程，讓學生始終處于“思考——收獲——再思考——再收獲”的這樣一種情感體驗之中。用睿智的語言加以點化，突現(xiàn)評價的導向功能，從而激發(fā)和培養(yǎng)學生的數(shù)學化思考，引領學生的思維往縱深發(fā)展，保證學生應試過程中在和諧融洽的氣氛中按既定目標順利進行。
例3：（鹽城）
情境觀察：
將矩形紙片沿對角線剪開，得到△和△，如圖3—1所示，將△的頂點與點重合，并繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點、、在同一條直線上，如圖3—2所示。
觀察圖6可知：與相等的線段是 ▲ ， ▲ °。
問題探究
如圖3—3，△中，于點，以為直角頂點，分別以、為直角邊，向△外作等腰△和等腰△，過點、作射線的垂線，垂足分別為、.。試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。
拓展延伸
如圖3—4，△中，于點，分別以、為一邊向△外作矩形和矩形，射線交于點。若，，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理。
解析：情境觀察：易見與相等的線段是，它們是矩形的對邊。。
問題探究：找一個可能與和都相等的線段。考慮△≌△，這用易證，得出。同樣考慮△≌△，得出，從而得證。
拓展延伸：如圖3—5，過點作，，垂足分別為、。與問題探究相仿，只不過將全等改為相似，證出，再證△≌△，從而得證。
賞析：本題是研究性學習問題，在問題設計上層層深入，每一步都為下一步的思維活動打下基礎，是一個蘊涵了讓學生經(jīng)歷觀察、猜測、合情推理、有條理論證的數(shù)學化思維過程，考查了基于數(shù)學實驗的數(shù)學問題形成的一般思路及探究能力。
3.回歸教育本原、貼近學生數(shù)學化發(fā)展需求
陶行知先生曾說過：“教育必須做到解放學生的眼睛，讓他們親自看一看；解放學生的大腦，讓他們親自想一想；解放學生的嘴巴，讓他們親自說一說；解放學生的雙手，讓他們親自做一做。”我們認為，這是對素質(zhì)教育的最佳詮釋?；貧w教育本原、貼近學生數(shù)學化發(fā)展需求，是全面實施數(shù)學素質(zhì)教育的根本所在。中考命題中如何從具體情境中抽象出數(shù)學材料，并將獲得的材料符號化，體現(xiàn)了數(shù)學問題源于教學但高于教學的教學理念，使試題始終散發(fā)著“數(shù)學味”，促進學生個性得充分發(fā)展一直是各地命題專家關(guān)注的熱點。
例4（北京）：閱讀下面材料：
小偉遇到這樣一個問題，如圖4—1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC，BD相交于點O。若梯形ABCD的面積為1，試求以AC，BD，的長度為三邊長的三角形的面積。
小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構(gòu)造一個三角形，再計算其面積即可。他先后嘗試了翻折，旋轉(zhuǎn)，平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過平移可以解決這個問題。他的方法是過點D作AC的平行線交BC的延長線于點E，得到的△BDE即是以AC，BD，的長度為三邊長的三角形（如圖4—2）。
參考小偉同學的思考問題的方法，解決下列問題：
如圖4—3，△ABC的三條中線分別為AD，BE，CF。
⑴在圖3中利用圖形變換畫出并指明以AD，BE，CF的長度為三邊長的一個三角形（保留畫圖痕跡）；
⑵若△ABC的面積為1，則以AD，BE，CF的長度為三邊長的三角形的面積等于_______。
解析：⑴本題畫法很多，答案不唯一。如：
方法一：如圖4—4，過作的平行線與過作的平行線相交于點，則△為所求。
方法二：如圖4—5，延長至，使，取的中點?！?/span>為所求；
⑵如圖4—5，由已知易得，要求△的面積，需要證△的面積等于四邊形面積。由⑴知四邊形是平行四邊形，設與交于，與交于，則，有， （同底且等高）。兩式相加可得結(jié)果。本題圖形的本質(zhì)特征是：以三角形三條中線為邊的三角形面積是原三角形面積的。
例5： (紹興)數(shù)學課上，李老師出示了如下題目。
在等邊三角形中，點在上，點在的延長線上，且，如圖5—1，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由。
小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：
⑴特殊情況，探索結(jié)論
當點為的中點時，如圖5—1，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：
（填“>”,“<”或“=”）。
⑵特例啟發(fā)，解答題目
解：題目中，與的大小關(guān)系是：（填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如圖5—2，過點作，交于點。（請你完成以下解答過程）
⑶拓展結(jié)論，設計新題
在等邊三角形中，點在直線上，點在直線上，且.若的邊長為1，，求的長（請你直接寫出結(jié)果）。
解析：解析：⑴由題意易知：
⑵由⑴的結(jié)論猜想。然后證明此結(jié)論。
如圖5—2，過點作，交于點。易知△是等邊三角形，即，。由，，得，又已知，所以△≌△。所以，即。
⑶此時實際上是圖形的變式，變式圖5—3時結(jié)果是1，變式圖5—4為時結(jié)果是3。
賞析：此上兩題都以范例的形式給出，并在解決問題的過程中暗示解題思路，要求學生在理解的基礎上進行遷移運用，再以活動中獲得的數(shù)學經(jīng)驗與知識解決新問題。其實際是在中考中讓學生回歸教育的本原，求探索基本圖形本質(zhì)特征，貼近學生數(shù)學化發(fā)展需。體現(xiàn)了數(shù)學問題源于教學但高于教學的教學理念，使試題始終散發(fā)著“數(shù)學味”。
4.立足核心內(nèi)容、尋求試題考查功能數(shù)學化
立足學科核心內(nèi)容，尋求試題的綜合性考查功能數(shù)化是近年來各地中考試題的一大特色。
例6（遵義）：已知拋物線經(jīng)過, 兩點，且與軸交于點。
⑴求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及點的坐標；
⑵如圖6—1,連接，在題⑴中的拋物線上是否存在點，使△是以為直角邊的直角三角形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
⑶如圖6—2,連接，為線段上任意一點（不與、重合）經(jīng)過、、三點的圓交直線于點，當△的面積取得最小值時，求點的坐標。
解析：第⑴小題，利用待定系法將、兩點的坐標代入中得到一個二元一次方程組，求出、的值，再求點的坐標；
第⑵小題，如圖6—3，假設存在，分兩種情況：
①連接,,易得點與點重合，即點的坐標為（0，3）；
②當時,過作∥,交拋物線于點，由(3,0), (0,3)，可得直線的函數(shù)關(guān)系式為，將直線從向平移（實際上是2個單位）與直線重合.則直線的函數(shù)關(guān)系式為
由,求得或，
因點的坐標為（4，1），所以(4,1) 舍去，即的坐標為 (-1,6)。
第⑶小題，如圖6—2，首先觀察并判斷△為等腰直角三角形，由點在線段上,設，，
∴==
∴當時, 取最小值,此時，∴。
賞析：題目以拋物線為載體，設置了由點的運動變化對三角形、圓的變化產(chǎn)生的影響的綜合背景，解決與拋物線有關(guān)的點的坐標及三角形的面積最值問題。如在“該拋物線上是否存在點，使△是以為直角邊的直角三角形”和“為線段上任意一點（不與、重合）經(jīng)過、、三點的圓交直線于點，……”。這樣的變化使題目的各種關(guān)系變得復雜，學生要用動態(tài)的觀點來分析圖形中的相互關(guān)系。在知識點上主要考查了二元一次方程組、一元二次方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)、直角三角形、三角形的面積、勾股定理、圓等初中數(shù)學的核心內(nèi)容；在能力上考查學生在動態(tài)背景下處理幾何關(guān)系的認識能力與函數(shù)知識的應用能力；在思想方法上考查了待定系數(shù)法、配方法、方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論的思想等；試題的呈現(xiàn)自然、簡潔、和諧，提升了學生對數(shù)學本質(zhì)的思考。由試題的多種解法為學生提供解題過程的開放空間，體現(xiàn)了試題考查功能數(shù)學化。
