一、基礎(chǔ)知識
在本章中約定用A，B，C分別表示△ABC的三個內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長，為半周長。
1．正弦定理：=2R（R為△ABC外接圓半徑）。
推論1：△ABC的面積為S△ABC=
推論2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推論3：在△ABC中，A+B=，解a滿足
，則a=A.
正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以S△ABC=；再證推論2，因為B+C=
-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，兩邊同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再證推論3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等價于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等價于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因為0<-A+a，-a+A<. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得證。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理證明幾個常用的結(jié)論。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2= （1）
【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，
所以c2=AD2+p2-2AD·pcos ①
同理b2=AD2+q2-2AD·qcos， ②
因為ADB+ADC=，
所以cosADB+cosADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式
（2）海倫公式：因為b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
這里
所以S△ABC=
二、方法與例題
1．面積法。
例1 （共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足，另外OP，OQ，OR的長分別為u, w, v，這里α，β，α+β∈(0, )，則P，Q，R的共線的充要條件是
【證明】P，Q，R共線
(α+β)=uwsinα+vwsinβ
，得證。
2．正弦定理的應(yīng)用。
例2 如圖所示，△ABC內(nèi)有一點P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。
求證：AP·BC=BP·CA=CP·AB。
【證明】 過點P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分別為D，E，F，則P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三組四點共圓，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由題設(shè)及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。
所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。
所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，兩邊同時乘以△ABC的外接圓直徑2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得證：
例3 如圖所示，△ABC的各邊分別與兩圓⊙O1，⊙O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PABC。
【證明】 延長PA交GD于M，
因為O1GBC，O2DBC，所以只需證
由正弦定理，
所以
另一方面，，
所以，
所以，所以PA//O1G，
即PABC，得證。
3．一個常用的代換：在△ABC中，記點A，B，C到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則
abc=(x+y)(y+z)(z+x)
=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
4．三角換元。
例5 設(shè)a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，試求的最大值。
【解】 由題設(shè)，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
則tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤，
當且僅當α+β=，sinγ=，即a=時，Pmax=
例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc<
【證明】 設(shè)a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β.
因為a, b, c為三邊長，所以c<, c>|a-b|，
從而，所以sin2β>|cos2α·cos2β|.
因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β
=[1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
=+cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
>+cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)=.
所以a2+b2+c2+4abc<
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．在△ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB=，則cosAcosB的最大值為__________.
2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，則的取值范圍是__________.
3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，則△ABC的面積為__________.
4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，則=__________.
5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________條件.
6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，則角A的取值范圍是__________.
7．在△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC=__________.
8．在△ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan”的__________條件.
9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是__________.
10．在△ABC中，tanA·tanB>1，則△ABC為__________角三角形.
11．三角形有一個角是600，夾這個角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12，求這個三角形的面積。
12．已知銳角△ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：△MNC的外接圓半徑等于△ABD的外接圓半徑。
13．已知△ABC中，sinC=，試判斷其形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．在△ABC中，若tanA=, tanB=，且最長邊長為1，則最短邊長為__________.
2．已知n∈N+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有________個.
3．已知p, q∈R+, p+q=1，比較大?。?/span>psin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則△ABC 為__________角三角形.
5．若A為△ABC 的內(nèi)角，比較大小：__________3.
6．若△ABC滿足acosA=bcosB，則△ABC的形狀為__________.
7．滿足A=600，a=, b=4的三角形有__________個.
8．設(shè)為三角形最小內(nèi)角，且acos2+sin2-cos2-asin2=a+1，則a的取值范圍是__________.
9．A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。
10．求方程的實數(shù)解。
11．求證：
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在△ABC中，b2=ac，則sinB+cosB的取值范圍是____________.
2．在△ABC中，若，則△ABC 的形狀為____________.
3．對任意的△ABC，-(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為____________.
4．在△ABC中，的最大值為____________.
5．平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|=，C，D為動點，且|AD|=|DC|=|BC|=1。記S△ABD=S，S△BCD=T，則S2+T2的取值范圍是____________.
6．在△ABC中，AC=BC，，O為△ABC的一點，，ABO=300，則ACO=____________.
7．在△ABC中，A≥B≥C≥，則乘積的最大值為____________，最小值為__________.
8．在△ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則=____________.
9．如圖所示，M，N分別是△ABC外接圓的弧，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點共線。
10．如圖所示，P，Q，R分別是△ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。
11．在△ABC外作三個等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷△ABC的形狀。
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQBC，Q為垂足。求證：，此處=B。
2．設(shè)四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是△AOB與△COD的垂心，求證：H1H2MN。
3．已知△ABC，其中BC上有一點M，且△ABM與△ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證：，此處(a+b+c), a, b, c分別為△ABC對應(yīng)三邊之長。
4．已知凸五邊形ABCDE，其中ABC=AED=900，BAC=EAD，BD與CE交于點O，求證：AOBE。
5．已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E和F分別在AB和CD上，求證：AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。
6．AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知PAQ=QAR=RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。
7．已知一凸四邊形的邊長依次為a, b, c, d，外接圓半徑為R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，試問對此四邊形有何要求？
8．設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，BA和CD延長后交于點R，AD和BC延長后交于點P，A，B，C指的都是△ABC的內(nèi)角，求證：若AC與BD交于點Q，則
9．設(shè)P是△ABC內(nèi)一點，點P至BC，CA，AB的垂線分別為PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求證：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并討論等號成立之條件。
