1.演繹
在實(shí)際生活中，似乎數(shù)學(xué)也沒什么用處。為什么呢？因?yàn)閿?shù)學(xué)的本質(zhì)是推演的，一旦公理體系確立，數(shù)學(xué)家們就在其中不停地推演，從而，離現(xiàn)實(shí)也就越來越遠(yuǎn)。通過推演，數(shù)學(xué)為未來世界創(chuàng)造了一個(gè)又一個(gè)的理想模式，而這些模式常常要過幾十年甚至幾百年，才會(huì)在某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)得到應(yīng)用。所以，從眼前看，數(shù)學(xué)顯得“無英雄用武之地”，但從長遠(yuǎn)看、從整體看，我們就會(huì)選擇數(shù)學(xué)。
徐光啟在翻譯《幾何原本》時(shí)寫了一篇短文——《幾何原本雜論》,對《幾何原本》作了高度的評價(jià).這實(shí)際上是徐光啟這一批先進(jìn)的中國人,看到了一種新的文化,對它與中國固有文化作了比較.他說:“此書有四不必: 不必疑(因?yàn)槠湟磺薪Y(jié)論都是明確無疑的),不必揣(因?yàn)橐磺懈拍罱Y(jié)論均不存模糊之處,不必妄加揣測),不必試(凡推理所得都是正確的,無需再經(jīng)試驗(yàn)),不必改(因?yàn)橐磺卸家丫挥行?不必改動(dòng)).有四不可得:欲脫之不可得,欲駁之不可得,欲減之不可得,欲前后更置之不可得.”“似至晦實(shí)至明, 故能以其明明他物之至晦；似至繁實(shí)至簡,故能以其簡簡他物之至繁；似至難實(shí)至易,故能以其易易他物之至難.易生于簡,簡生于明,綜其妙在明而已.”他把幾何學(xué)之全部力量歸之于“明”: 一是指其所基于的原理是自明的,二是指其所用的推論規(guī)則也是自明的.徐光啟由此而論及幾何學(xué)對于培養(yǎng)人的功效.他說:“下學(xué)功夫,有理有事.此書為益能令學(xué)理者祛其浮氣,練其精心(即有助于從事原理原則的研究者,去其虛夸之氣,使之精密) ,學(xué)事者資其定法,發(fā)其巧思(即有助于學(xué)習(xí)實(shí)際事務(wù)者, 有一確定而且可靠的方法, 并從而獲得創(chuàng)造性),故舉世無一人不當(dāng)學(xué).”“人具上資而意理疏莽, 即上資無用, 人具中材而心思縝密, 即中材有用, 能通幾何之學(xué), 縝密甚矣! 故率天下之人而歸于實(shí)用者, 是或其所由之道也.”
徐光啟是認(rèn)為學(xué)幾何學(xué)并不只是為了培養(yǎng)專門的數(shù)學(xué)家, 而是給一般的人一種方法論, 一種尋求真理以及解決各類問題的方法.它所針對的是:“揣摩造作, 而自詭為工巧”,是虛夸浮躁，今天這樣說, 明天又那樣說,而毫無定見(“向所立言之可得而遷徙移易也”) .因此, 這里涉及了整個(gè)民族的素質(zhì)。[注：上述兩小節(jié)參見：齊民友“從徐光啟的兩篇短文談起”]
推演是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模淝斑M(jìn)的步伐是扎實(shí)的。“不必疑”、“不必揣”、“不必試”、“不必改”，“似繁實(shí)至簡”。因此，推演常常引領(lǐng)我們走向更遠(yuǎn)。但推演也是有毛病的，它演繹的內(nèi)容總是被所選定的公理體系所規(guī)定，不可能突破原先的公理體系。
2. 歸納與演繹
楊振寧在“中國文化與科學(xué)”一文中認(rèn)為，近代科學(xué)追求自然規(guī)律的精神和方法既有歸納，又有演繹。為此，他用力學(xué)作為例子作了充分的說明。“力學(xué)是怎么開始的? 它是經(jīng)過了哪四步? 第一步, 是Tycho Brahe(布拉赫，丹麥天文學(xué)家)．他是16 世紀(jì)的人，對于行星在天上的位置，做了以前所沒有過的、當(dāng)時(shí)最精確的天文觀測．過了一些年, 來了Kepler (開普勒) , Kepler是一個(gè)理論天文學(xué)家，他仔細(xì)研究了Tycho Brahe 的這些數(shù)據(jù), 然后歸納出來了三個(gè)定律. 這三個(gè)定律, 用我剛才的話說, 是‘唯象理論’. 這三個(gè)定律, 第一次提出來行星的軌道. Tycho Brahe 跟Kepler都已相信Copernicus(哥白尼)的‘日心’理論,而Kepler 更第一次提出: 太陽在中間, 地球繞著太陽轉(zhuǎn), 行星繞著地球轉(zhuǎn), 都是一些橢圓, 而不是圓, 也不是圓上加圓的那種從希臘傳下來的想法. Kepler的‘唯象理論’有關(guān)鍵性的作用，為什么? 因?yàn)橛诌^了幾十年，牛頓出現(xiàn)了.
牛頓對Kepler的這些觀念，這三個(gè)‘唯象理論’的定律,加以解釋,這一解釋就形成了今天的力學(xué).大家知道有牛頓的三大定律,加上萬有引力定律,就可以準(zhǔn)確地解釋Kepler的‘唯象理論’.而牛頓的這三個(gè)運(yùn)動(dòng)方程,加上萬有引力,是基于他所發(fā)明的一些數(shù)學(xué)的方法,也就是微積分.所以,這一二三四之間的關(guān)系,確實(shí)是符合歷史發(fā)展的順序的.而其中特別重要的一點(diǎn),就是每兩個(gè)之間的關(guān)系,既是歸納的,又是推演的.所以總結(jié)起來說,傳統(tǒng)中國文化跟16 世紀(jì)以后才發(fā)展出來的近代科學(xué)其分別是什么呢? 是傳統(tǒng)中國文化要求‘理’,近代科學(xué)要求‘自然規(guī)律’.但傳統(tǒng)中國文化求‘理’的方法,只有歸納法；而近代科學(xué)求規(guī)律的方法,則是推演法再加上歸納法.”[以上兩節(jié)主要參考了楊振寧的“中國文化與科學(xué)”一文]
我在想，東西方文化之沖突，一是可能公理選擇不同，還有一點(diǎn)也是根本的。即推演的方法不同。東方文化主要是歸納的。最近看了國學(xué)大師王國維的“人間詞話”，其意思我可能還不怎么理解，但其寫作的方法則明顯是歸納的。歸納的依據(jù)是個(gè)別的事實(shí)，事實(shí)越多，可以認(rèn)為其正確的可能性也就越大。但不管個(gè)別事實(shí)有多少，窮舉往往是很難做到的。因此，歸納得出的結(jié)論一般是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，是有漏洞的，這樣就容易導(dǎo)致“權(quán)威”。因?yàn)樗^的“權(quán)威”，其掌握的事實(shí)往往較一般人多得多。這樣，就有了“圣人”，極至“菩薩”、“如來佛”諸神。中國人的心中總在希望完美的“神”的出現(xiàn)，即使在某個(gè)單位里，也總要有一個(gè)說了“算數(shù)”的人。于是，中國的一把手，往往權(quán)力會(huì)特別大，大到什么事都可以說了“算數(shù)”。歸納還可能導(dǎo)致“走不遠(yuǎn)”，因?yàn)闅w納往往就建立在表象或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。
東方文化中的推理，主要是一種類推。類推本質(zhì)上也可認(rèn)為是一種歸納，因?yàn)轭愅频囊罁?jù)則是“類”的相似。同樣，類推是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，是有漏洞的，往往也不能走遠(yuǎn)。因此，中國很早有了各種各樣的類比猜想，如“順風(fēng)耳”、“千里眼”等等，但無線電、望遠(yuǎn)鏡等都不是中國人發(fā)明的，這可能跟東方文化中缺少演繹有關(guān)。
數(shù)學(xué)演繹推理依據(jù)的是規(guī)則，如公理、定理、公式、法則等等。解釋一題數(shù)學(xué)題的解答過程（求解或證明），必須步步有據(jù)，依賴于規(guī)則。而解釋一首詩或一篇散文，則往往需要揣測，最終依賴于權(quán)威。正如一位小學(xué)生，他可能對一首詩作了較好的解釋，但如果老師說，這樣不對，應(yīng)如何如何。那么最終往往是聽老師的。而數(shù)學(xué)則不同，若孩子說，3+4=7，老師說，3+4=8。這時(shí)，孩子可以依據(jù)規(guī)則爭論說，老師你算錯(cuò)了。演繹依據(jù)的是規(guī)則。演繹是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，演繹是完美的，演繹也是辛苦的。歸納需要廣博，歸納需要經(jīng)驗(yàn)，如中醫(yī)需要“老”，因?yàn)槠渑R床經(jīng)驗(yàn)豐富，有人說，“心肝脾肺賢，轎子顛了顛；心肝脾肺腎，門前無人問”。歸納有助于整理，歸納有助于發(fā)現(xiàn)。把歸納與演繹結(jié)合起來，其思維可能就比較完善。
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