不可預(yù)知的數(shù)學(xué)應(yīng)用

有一個笑話：一個人發(fā)明了插頭，但是世界上卻還沒有為對應(yīng)的插座。人們普遍認為新發(fā)明的意義是運用于實際，改變我們的生活，哪個發(fā)明家會弄出一個不知道有什么實際用途的玩意呢？在很多人眼里，數(shù)學(xué)除了折磨廣大學(xué)子之外，是沒有什么實際用途的東西。
然而人類的輝煌文明終究離不開數(shù)學(xué)的功勞，只不過，數(shù)學(xué)成果從被發(fā)現(xiàn)到產(chǎn)生實際效益，通常需要一個較長的周期?，F(xiàn)在人們解決實際問題時，使用的很多數(shù)學(xué)工具往往有成百上千年的歷史。我們的前輩們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)學(xué)定理時，也很少想到它將來的實際用途。數(shù)學(xué)本身的嚴謹性使得它能長久的經(jīng)受時間的考驗，一個定理被證明成立，它便不會因被新的定理而被推翻或修改，如果一個定理在阿基米德時期就成立，那么它現(xiàn)在仍然成立。
數(shù)學(xué)家們研究的問題往往比較抽象和超前，現(xiàn)在看不出有什么實際應(yīng)用的意義。數(shù)學(xué)中有很多無法用數(shù)學(xué)以外語言表述的概念（例如一個五維世界），但這些概念是數(shù)學(xué)這門學(xué)科的基石，也正是這些看似沒有實際用途的概念構(gòu)成了數(shù)學(xué)的奇妙與美麗。
但數(shù)學(xué)家們也面臨著來自社會的壓力。2009年，時任英國研究理事會（Reachers Council UK）主席阿蘭•索普（Alan Thorpe）表示：“我們必須向納稅人證明對數(shù)學(xué)研究的資金投入是可以得到回報的，我們也希望研究人員仔細思考他們工作的實際價值。”類似的，美國國家科學(xué)基金會（The US National Science Fundation）也開始更多的關(guān)注研究的實際訴求。然而，預(yù)測一項科學(xué)研究的影響是極為困難的。2010年，工程和物理科學(xué)研究會（Engineering and Physical Sciences Research Council）發(fā)布了一項獨立的研究報告，對英國數(shù)學(xué)研究的質(zhì)量與產(chǎn)生的影響進行了評估，報告指出，即使是那些理論性最強的數(shù)學(xué)研究也可能在幾十年后在一些意想不到的領(lǐng)域產(chǎn)生作用。
簡單來說，數(shù)學(xué)研究總是跑在時代前面，因此無法預(yù)測將來這些研究可以被用在哪些領(lǐng)域。數(shù)學(xué)家們只有專心于純粹的理論研究，然后等待其他領(lǐng)域的天才將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實際。如果終止現(xiàn)在貌似“無用”的數(shù)學(xué)研究，將來可能找不到解決問題之道。有很多很久之前發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)理論是在最近才派上用場，例如數(shù)論應(yīng)用于密碼學(xué)；計算機程序的各種算法；虛數(shù)被用于飛機飛行的復(fù)雜計算等等。


從四元數(shù)到古墓麗影

數(shù)學(xué)史上有一個著名的故事：四元數(shù)提出源自于1843年10月16號，愛爾蘭數(shù)學(xué)家威廉•羅恩•漢密爾頓爵士（Sir William Rowan Hamilton）在和妻子散步時突然想到了i2=j2=k2=ijk=-1的方程解，并且創(chuàng)造了形如a+bi+cj+dk的四元數(shù)，為了趕緊記錄下這一思想火花，漢密爾頓爵士顧不得保護文物，立刻將此方程刻在了其經(jīng)過的布魯穆橋（Brougham Bridge）上。當時漢密爾頓爵士本是正在研究擴展復(fù)數(shù)到三維空間，但是卻在橋上靈光一現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，直接把研究擴展到了四維。
漢密爾頓爵士隨后將大部分精力都用在了推廣四元數(shù)的概念上，因為四元數(shù)有著漂亮的數(shù)學(xué)形式，而且能夠用于地理學(xué)、力學(xué)、和光學(xué)的實際研究中。在漢密爾頓爵士死后，這一火炬?zhèn)鞯搅藧鄱”ご髮W(xué)自然哲學(xué)教授皮特•格恩里•泰特（Peter Guthrie Tait）手中。著名物理學(xué)家威廉•湯姆遜（William Thomson，也被成為開爾文男爵，熱力學(xué)溫標單位開爾文便以他的名字命名）曾經(jīng)說：我和泰特在四元數(shù)上進行了長達38年的爭論。兩人一度達成一致，同意在兩人合著的《自然哲學(xué)論》（Treatise on Natural Philosophy）中需要的地方引入四元數(shù)的概念。然而，在最終版的手稿中，還是完全沒有出現(xiàn)四元數(shù)的身影。這說明，即使是開爾文男爵，也沒有完全意識到四元數(shù)的重要性。
19世紀末，向量微積分的出現(xiàn)更是搶走了四元數(shù)的光芒。到20世紀初，數(shù)學(xué)家們依然更傾向于開爾文男爵的態(tài)度，對四元數(shù)置之不理。人們認為四元數(shù)空有漂亮的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但很遺憾的沒有什么實際用途，只是數(shù)學(xué)史上一個無足輕重的注筆罷了。
令人意外的是，在計算機時代，四元數(shù)終于找到了自己的價值。計算機教授要求學(xué)生們必須掌握四元數(shù)的知識以進行數(shù)學(xué)建模。在三維幾何旋轉(zhuǎn)計算中，使用四元數(shù)比使用矩陣更有優(yōu)勢。因此，在機器人技術(shù)、計算機視覺和圖像編程領(lǐng)域，四元數(shù)都是極為重要的工具。
在150年之后，泰特和漢密爾頓爵士的成果終于得到了認可，盡管他們沒有機會玩一把《古墓麗影》游戲，但是研究成果得以幫助今天建立起了全球數(shù)以千億計的計算機產(chǎn)業(yè)，他們也應(yīng)該感到欣慰了。



從幾何學(xué)到大爆炸

1907年，愛因斯坦提出了廣義相對論中的一個重要基礎(chǔ)：等效原理。愛因斯坦指出，觀測者不能在局部區(qū)域內(nèi)分辨出由加速度所產(chǎn)生的慣性力和由物體所產(chǎn)生的引力之間的差別。愛因斯坦的主要觀點是重力本身可以用時空曲率來描述，重力不再被當做是一種“力”，物質(zhì)本身可以通過愛因斯坦重力場方程描述為曲率。1915年，愛因斯坦在此基礎(chǔ)上發(fā)表了廣義相對論，而廣義相對論的起源可以被追溯到19世紀中葉。
1854年，黎曼（Bernhard Riemann）在其特許任教資格演講中，做了題為“論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)”的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何學(xué)，提出了“流形”的概念，這也是現(xiàn)代微分幾何的一個基礎(chǔ)概念。所謂流形，是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間，例如球體的表面或者圓環(huán)，在這些表面上可以進行微積分計算。黎曼大大的擴展了歐式幾何和非歐幾何的概念框架，他很有前瞻性的指出，流形的概念可以用來建立真實世界的模型。
1892年，意大利人格雷戈里奧•里奇－庫爾巴斯托羅（Gregorio Ricci-Curbastro）最早開始將黎曼幾何學(xué)運用于實際研究。隨后，他又和他的學(xué)生圖里奧•利維-西維塔（Tulio Levi-Civita）將黎曼幾何學(xué)的應(yīng)用做了進一步的擴展。1912年，愛因斯坦在他的朋友，數(shù)學(xué)家馬塞爾•格羅斯曼（Marcel Grossmann）的幫助下，運用張量微積分將自己深奧的物理學(xué)理論通過數(shù)學(xué)語言表述出來。格羅斯曼將黎曼流形用應(yīng)用于四維時空（空間三維加上時間一維）。
在當時，人們普遍認為宇宙是出于靜止狀態(tài)的。但是愛因斯坦通過場方程計算后發(fā)現(xiàn)，這個方程并不能得出一個穩(wěn)定狀態(tài)宇宙下的解。為了解決這一問題，愛因斯坦在場方程中加入了宇宙學(xué)常數(shù)才得到宇宙穩(wěn)定狀態(tài)下的解。1922年，亞歷山大•弗里德曼（Alexander Friedmann）在研究加入宇宙學(xué)常數(shù)的場方程時發(fā)現(xiàn)，其中存在一些無法回避的問題，遂產(chǎn)生了宇宙大爆炸理論。1931年，愛因斯坦終于不得不直面宇宙爆炸存在的有力證據(jù)，不情愿的在場方程中刪掉了宇宙學(xué)常數(shù)，并稱這是他人生中“最大的錯誤”。


從堆橙子到“貓”

1998年，一則數(shù)學(xué)新聞突然成了各大媒體報道的焦點。來自匹茲堡大學(xué)的托馬斯•海爾斯（Thomas Hales）證明了開普勒猜想，即在一個箱子中放置大小一樣的球，采用“面心立方體”的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）可以使箱子利用效率最高。也就是說，水果商們在箱子里裝橙子的辦法即是最有效的。海爾斯解答了開普勒在1611年提出的難題，但是水果商們好像并不買賬。一位水果攤小販在接受電視臺采訪時說：“這簡直是在浪費時間和納稅人的錢！”但開普勒和海爾斯的智慧結(jié)晶當然不僅僅是用來裝橙子這么簡單，今天關(guān)于最密堆積的研究成果是現(xiàn)代通訊技術(shù)的重要工具，是信道編碼和糾錯編碼研究的核心內(nèi)容。
1611年，約翰•開普勒（Johannes Kepler）提出水果商堆橙子的辦法是空間利用效率最高的這一猜想，但他自己卻沒有辦法給出證明。后來，人們發(fā)現(xiàn)，這是一個極難解決的問題。直到1940年，匈牙利數(shù)學(xué)家拉茲洛•費耶•托斯（László Fejes Tóth）才解決了圓環(huán)堆積問題——可以看做是開普勒猜想的簡化版。同樣在17世紀，牛頓和大衛(wèi)•格里高里（David Gregory）就關(guān)于牛頓數(shù)問題（Kissing Number）進行過爭論，即與一個n維球外切的等維球個數(shù)。容易看出，二維的牛頓數(shù)是6（如圖）。牛頓確信三維的牛頓數(shù)是12，但是直到1953年，科特•舒特（Kurt Schutte）和范•德•維爾登（Bartel Van der Waerden）才予以證明。
2003年，奧萊格•穆辛（Oleg Musin）證明了四維的牛頓數(shù)是24；關(guān)于五維的牛頓數(shù)，目前只發(fā)現(xiàn)它在40到44之間；而我們知道八維的牛頓數(shù)是240，于1979年被明尼蘇達大學(xué)的安德魯•奧德里茲克（Andrew Odlyzko）證明；他同時還發(fā)現(xiàn)24維的牛頓數(shù)是196560。八維和24維問題的證明都比三維的牛頓數(shù)要簡單，而且，它們還與兩種極為密集的球體填充問題相關(guān)：八維E8點陣和24維Leech點陣。
這些發(fā)現(xiàn)令人驚奇，不過這些讓普通人一頭霧水的概念是否有實際意義？20世紀60年代，一位叫戈登•朗（Gordon Lang）的工程師對此持肯定態(tài)度。朗當時正在專心設(shè)計調(diào)制解調(diào)器系統(tǒng)，并且積極的從數(shù)學(xué)海洋中尋找任何有用的工具。他需要從一個繁忙的頻道（例如一個電話線）發(fā)出一個信號，這通常要選擇一系列的音調(diào)來組成一個信號。但是由于一個頻道傳遞的信號過多，經(jīng)常出現(xiàn)信號無法被完整接收的情況。于是，朗將組成信號的聲音用一串數(shù)字表示，信號即可被當做一個個包含信息的“小球”，為了使發(fā)送的信息量達到最大化，這些“小球”必須被盡可能緊密的排列起來。
20世紀70年代晚期，朗發(fā)明了采用E8堆積法傳遞八維信號的調(diào)制解調(diào)器。由于這項技術(shù)可以通過電話線進行信號傳播，不必重新設(shè)計信號電纜，因此大大加快了互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展。然而，也有人對朗的成就唱反調(diào)。曾經(jīng)對朗的數(shù)學(xué)知識提供幫助的唐納德•考克斯特（Donald Coxeter）說：“我感到驚駭，一個美妙的數(shù)學(xué)理論就這樣被玷污了！”


從賭徒到精算師

文藝復(fù)興時期，意大利出現(xiàn)了一位大學(xué)者，同時也是一位著名的賭徒卡爾達諾（Girilamo Cardano）。卡爾達諾精通數(shù)學(xué)、物理、占星學(xué)，在當時被稱作百科全書式的學(xué)者。然而卡爾達諾的賭術(shù)并不高超，他在賭桌上輸?shù)袅舜蟀训募耶a(chǎn)。不過他的智慧還是給后人留下了寶貴財富，他在16世紀中葉開始研究概率論，創(chuàng)作了《論賭博游戲》一書，并且在其死后的1663年才出版。這本書被認為是第一部概率論著作，開創(chuàng)了現(xiàn)代概率論，也為今天的精算科學(xué)打下了基礎(chǔ)。
一個世紀后，法國賭徒梅內(nèi)（Chevalier de Méré）面臨到一個難題。他經(jīng)常玩的一個游戲是連續(xù)仍四次骰子，賭其中能否至少出現(xiàn)一次6。在這個游戲中，梅內(nèi)贏多輸少。在另外一個游戲中，一次扔2個骰子，連續(xù)扔24次，賭其中是否可以至少扔到一次2個6。梅內(nèi)認為這兩個游戲贏錢的概率是相等的，但他發(fā)現(xiàn)，玩第二個游戲卻是輸多贏少。于是他向朋友帕斯卡爾（Blaise Pascal）求助，帕斯卡爾隨后在1654年和費馬（Pierre de Fermat）在信件往來中探討此問題，兩人的通信為概率論的發(fā)展打下了基礎(chǔ)。1657年，荷蘭人惠更斯（Christiaan Huygens）在兩人研究成果的基礎(chǔ)上發(fā)表了《論賭博中的計算》，這也是第一部公開發(fā)表的概率論著作。
十七世紀晚期，雅各布•伯努利（Jakob Bernoulli）發(fā)現(xiàn)，概率論遠遠不止用于賭博。他寫下了《猜度數(shù)》（Ars Conjectandi，此書到他死后的1713年才出版），書中鞏固和擴展了卡爾達諾、費馬、帕斯卡爾和惠更斯等人的研究。在卡爾達諾研究的基礎(chǔ)上，他提出了伯努利實驗，他發(fā)現(xiàn)，隨機擲一次骰子，每個數(shù)字出現(xiàn)的概率都是1/6，但若連續(xù)擲6次骰子，也不可能確保每個數(shù)字都出現(xiàn)。伯努利還提出了大數(shù)定理，指在一個隨機事件中，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率越趨近于一個穩(wěn)定值。
過去的保險公司只敢賣出有限數(shù)量的保單，因為賣出越多的保單，看上去賠付的風(fēng)險也越高，保險公司擔心賣出過多的保單會使公司不堪重負而垮掉。直到十八世紀初期，保險公司才開始像現(xiàn)在一樣大肆推銷保險，因為伯努利的大數(shù)定理證明，保單賣的越多，賠付的概率就越接近一個穩(wěn)定的值，風(fēng)險因此是可控的。



從橋到DNA

1736年，歐拉（Leonhard Euler）解決了柯尼斯堡（Königsberg）七橋問題，證明了不可能在所有橋都只走一遍的情況下，走遍連接河中心兩個小島和兩岸的所有七座橋（如圖）。歐拉的解決方法是忽略了橋的長度和島的大小，只關(guān)注橋與橋之間的關(guān)系。即把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合，每一座橋視為一條線，橋所連接的島和兩岸視為點（如圖）。1847年，李斯亭（Johann Benedict Listing）將歐拉的才智進一步發(fā)展，引入了“拓撲學(xué)”的概念來描述這一新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，隨后的150多年里，數(shù)學(xué)家們進行了大量關(guān)于拓撲學(xué)應(yīng)用的研究。
然而在大部分的時間里，拓撲學(xué)只是被當做一種有趣的概念，沒人期待它能發(fā)揮實際用途，畢竟在生活中，物體的形狀和大小都是很重要的性質(zhì)，一塊面包和一個茶杯是兩個截然不同的東西。誰會去研究在十一維空間中一個五維的洞有什么意義呢？即使是那些在拓撲學(xué)中看起來比較實際的概念，例如用來研究原子結(jié)構(gòu)的扭結(jié)理論，在十九世紀和二十世紀的大部分時間里也被認為是沒有用的。
在20世紀90年代，拓撲學(xué)的應(yīng)用才真正開始發(fā)展。盡管起步較晚，但現(xiàn)在看來，幾乎沒有什么領(lǐng)域離得開拓撲學(xué)了。生物學(xué)家通過扭結(jié)理論理解DNA的結(jié)構(gòu)；計算機學(xué)家通過扭結(jié)在一起的同軸電纜制造量子計算機；機器人科學(xué)家也用相同的理論使機器人走路；工程師運用莫比烏斯帶制造更高效的流水線傳送帶；醫(yī)生以同調(diào)論為基礎(chǔ)為病人做大腦掃描；宇宙學(xué)家以此來理解銀河系的形成；通信公司運用拓撲學(xué)來決定如何布置基站進行網(wǎng)絡(luò)覆蓋；手機的照相功能也是通過拓撲學(xué)原理實現(xiàn)的。


從振動弦到核電

十八世紀，歐拉運用了大量的正弦和余弦方程來解決問題，尤其是研究振動弦和天體力學(xué)上。但是直到十九世紀初，傅里葉（Joseph Fourier）才發(fā)現(xiàn)這些方程在解決熱傳導(dǎo)問題也能巨大作用。隨后，傅里葉級數(shù)被迅速應(yīng)用于聲學(xué)、光學(xué)和電路的研究中。今天，傅里葉方法已經(jīng)成為科學(xué)、工程和計算機領(lǐng)域基石。
然而在十九世紀早期，傅里葉的研究并沒有得到廣泛的認同，傅里葉提出的理論也經(jīng)常受到其他著名學(xué)者的挑戰(zhàn)，于是一些新的理論慢慢形成。十九世紀三十年代狄利克雷（Gustav Lejeune Dirichlet）創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義；黎曼在十九世紀五十年代以及勒貝格（Henri Lebesgue）在20世紀初創(chuàng)立了嚴密的積分理論。起初看來，這些研究并沒有實際價值，但在柯西（Augustin-Louis Cauchy）和維爾斯特拉斯（Karl Weierstrass）的努力下，直至1870年左右，康托（Georg Cantor）通過分析兩個有相同傅里葉級數(shù)方程的不同時，創(chuàng)立了集合論。
直到20世紀的頭十年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（David Hilbert）提出的希爾伯特空間概念終于將傅里葉的研究推上了頂峰。希爾伯特空間是指一個有若干元素的集合可以根據(jù)一些特定的法則進行加法和乘法運算，利用這些特性可以有效的解決傅里葉級數(shù)所提出的一些問題。20世紀20年代，外爾（Hermann Weyl）、狄拉克（Paul Dirac）和馮•諾伊曼（John von Neurmann）發(fā)現(xiàn)，量子系統(tǒng)的一些存在狀態(tài)正好可以被當做是一個希爾伯特空間，希爾伯特空間的概念可以為量子力學(xué)打下重要基礎(chǔ)。而量子力學(xué)的重要性就更顯而易見了，若沒有量子力學(xué)的發(fā)展，激光、電腦、純平電視、核電這些現(xiàn)代科學(xué)就無從談起了。到了這個年代，這些比實際世界要抽象的多的數(shù)學(xué)概念已經(jīng)做出了巨大貢獻。