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教學(xué)理論函數(shù)概念的學(xué)與教
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開始的。函數(shù)知識的學(xué)習(xí)對學(xué)生思維能力的發(fā)展具有重要意義。從中學(xué)數(shù)學(xué)知識的組織結(jié)構(gòu)看，函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”，代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、排列組合、極限和微積分等都與函數(shù)知識有直接的聯(lián)系。例如：
代數(shù)式2a2＋3a－1，可以看成是函數(shù)y＝2x2＋3x－1在x＝a時的值；
方程f(x)＝0的根可以看成是函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)；
不等式f(x)＞0的解可以看成是函數(shù)y＝f(x)的圖像上位于x軸上方部分的點的橫坐標(biāo)集合；
等比數(shù)列1，2，4，8，…是函數(shù)y＝2x（x＝1，2，3，…）的另一種表示；等等。
函數(shù)性質(zhì)在等式或不等式的求解、證明中往往是非常有力的工具，例如
證明：
，只要令函數(shù)
中的x＝1即可。
又如：已知a＞b，那么，
成立的充要條件是（ ）。
(A)a＞b＞0 (B)b＜a＜0 (C)a＞0＞b (D)0＜b＜a＜1。
引進(jìn)函數(shù)
，此函數(shù)在區(qū)間（－∞，0）和（0，＋∞）上都是減函數(shù)。易知，當(dāng)條件A、B或D之一成立時，均有
，當(dāng)且僅當(dāng)C成立時，有
。所以選C。
另外，函數(shù)還是數(shù)學(xué)的后續(xù)發(fā)展的基礎(chǔ)，同時在物理、化學(xué)等自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在解決生產(chǎn)生活中的實際問題時，也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具。因此，函數(shù)的學(xué)習(xí)非常重要，應(yīng)當(dāng)給予充分的重視。
一、函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的原因分析
教學(xué)實踐表明，函數(shù)概念是中學(xué)生感到最難學(xué)的數(shù)學(xué)概念之一。盡管在實際教學(xué)中采取了適當(dāng)滲透、螺旋上升的方法，分段而有循環(huán)地安排函數(shù)知識，但學(xué)生的函數(shù)概念水平仍然較低。造成困難的原因主要有兩個方面。
1．函數(shù)概念本身的原因。
數(shù)學(xué)發(fā)展史表明，函數(shù)概念從產(chǎn)生到完善，經(jīng)歷了漫長而曲折的過程。這不但因為函數(shù)概念系統(tǒng)復(fù)雜、涉及因素眾多，更重要的是伴隨著函數(shù)概念的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)思維方式也發(fā)生了重要轉(zhuǎn)折：思維從靜止走向了運(yùn)動、從離散走向了連續(xù)、從運(yùn)算轉(zhuǎn)向了關(guān)系，實現(xiàn)了數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，在符號語言與圖、表語言之間可以靈活轉(zhuǎn)換。在函數(shù)的研究中，思維超越了形式邏輯的界限，進(jìn)入了辯證邏輯思維。與常量數(shù)學(xué)相比，函數(shù)概念的抽象性更強(qiáng)、形式化程度更高。
認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，個體的心理發(fā)展過程是人類社會認(rèn)識發(fā)展過程的簡約反映。因此，學(xué)生掌握函數(shù)概念的過程要簡約地重演數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展中對函數(shù)的認(rèn)識過程，普遍出現(xiàn)認(rèn)識上的困難是比較自然的。另外，從函數(shù)概念本身看，以下特點會造成學(xué)生理解上的困難。
（1）“變量”概念的復(fù)雜性和辯證性。
函數(shù)涉及較多的子概念：映射、非空數(shù)集、變量（包括自變量、因變量）、定義域、值域、象、原象、對應(yīng)、對應(yīng)法則，等。其中，“變量”被當(dāng)成不定義的原名而引入，是函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。有的教師將“變量”解釋為“變化的量”，顯然這是同義反復(fù)，于學(xué)生理解“變量”的意義并沒有幫助。實際上，“變量”的關(guān)鍵在于“變”，而“變”在現(xiàn)實中與時、空相關(guān)，但數(shù)學(xué)中對時、空是沒有定義的。
另外，數(shù)學(xué)中的“變量”與日常生活經(jīng)驗有差異。從日常經(jīng)驗看，“變量”不可能與“確定”聯(lián)系在一起，而且變量的形式表示之間沒有可替代性（例如，“牛吃草”中的變量“牛”與“學(xué)生吃飯”中的變量“學(xué)生”是不可替代的）。但數(shù)學(xué)中的“變量”具有形式的可替代性，即y＝f(x)與x＝f(y)并沒有本質(zhì)上的不同，而且它既有可變性又有確定性，它可以很好地反映靜止與變化、量變與質(zhì)變、內(nèi)容與形式等的辯證關(guān)系，因此，變量概念的形成是辯證法在數(shù)學(xué)中運(yùn)用的典范。
（2）函數(shù)概念表示方式的多樣性。
函數(shù)概念表示的多樣性，一方面表現(xiàn)在定義域、值域表示的多樣性，可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式表示；另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對應(yīng)、解析式等方法表示，從每一種表示中都可以獨(dú)立地抽象出函數(shù)概念來。與其他數(shù)學(xué)概念相比，由于函數(shù)概念需要同時考慮幾種表示，并要協(xié)調(diào)各種表示之間的關(guān)系，常常需要在各種表示之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，因此容易造成學(xué)習(xí)上的困難。
能否正確地使用函數(shù)的不同表示形式，靈活地對不同的表示進(jìn)行轉(zhuǎn)換，是考察函數(shù)概念形成水平的重要標(biāo)準(zhǔn)。
（3）函數(shù)符號的抽象性。
y＝f(x)表示了一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，其中每一個字母都有特定的含義。但這種含義僅從字面上是看不出的。我們不能通過“f”來想象對應(yīng)法則的具體內(nèi)容，也不能通過x（或y）來想象定義域（或值域）到底是什么。這種抽象性大大增加了函數(shù)學(xué)習(xí)的難度。
2．學(xué)生思維發(fā)展水平方面的原因。
心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生掌握概念的一般特點是：概念的識別優(yōu)于概念特征的說明，概念外延的掌握優(yōu)于概念內(nèi)涵的掌握。對概念內(nèi)涵的掌握，取決于概念本質(zhì)特征的多少以及它們之間的關(guān)系。本質(zhì)屬性越多、越鮮明，概念形成越容易；非本質(zhì)屬性越多、越明顯，概念形成越難。對于所有概念，都是先掌握具體概念后掌握抽象概念，先掌握形式概念后掌握辯證概念。
函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的思維運(yùn)算，進(jìn)行符號語言與圖形語言的靈活轉(zhuǎn)換。但在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)與形基本上是割裂的。理解函數(shù)概念時，需要學(xué)生在頭腦中建構(gòu)一個情景（解析式的、表格的或圖形的），使得函數(shù)的對應(yīng)法則能夠得到形象的、動態(tài)的反映；函數(shù)是對應(yīng)法則、定義域、值域的統(tǒng)一體，學(xué)生應(yīng)當(dāng)領(lǐng)會它們之間的相互制約關(guān)系，對三者進(jìn)行整體把握。像這種抽象地、動態(tài)地、相互聯(lián)系地、整體地認(rèn)識研究對象，而且要在頭腦中把整個動態(tài)過程轉(zhuǎn)化為研究對象來研究，這就需要學(xué)生的思維在靜止與運(yùn)動、離散與連續(xù)之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。但是，學(xué)生的思維發(fā)展水平還處于辯證思維很不成熟的階段，他們看問題往往是局部的、靜止的、割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯(lián)系起來，還不能夠完全勝任這種需要用辯證的思想、運(yùn)動變化的觀點才能理解的學(xué)習(xí)任務(wù)。例如，學(xué)生常常認(rèn)為，x“代表”一個單個的數(shù)（可能是未知的）；求函數(shù)值就是把數(shù)代入“公式”中的字母的運(yùn)算；學(xué)生舉出的函數(shù)的例子是形如“x2＋2”之類的代數(shù)式。學(xué)生常常把函數(shù)概念與“公式”等同起來，因此函數(shù)的動態(tài)性、變化性在思維中不能得到充分反應(yīng)。
總之，學(xué)生的辯證邏輯思維處于發(fā)展的初級階段，與函數(shù)概念的運(yùn)動、變化、聯(lián)系的特點非常不適應(yīng)，這是構(gòu)成函數(shù)概念學(xué)習(xí)困難的主要根源。不過，正因為函數(shù)概念所具有的這種特性，才使它在促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展中起著別的數(shù)學(xué)內(nèi)容所無法替代的作用，成為從形式邏輯思維向辯證邏輯思維轉(zhuǎn)化的轉(zhuǎn)折點。
二、函數(shù)概念的教學(xué)
1.重視函數(shù)概念的形成過程。
函數(shù)概念產(chǎn)生于研究變量之間關(guān)系的需要，函數(shù)是描述數(shù)學(xué)和現(xiàn)實問題的有效工具。學(xué)生已有經(jīng)驗中存在許多可以用以說明函數(shù)產(chǎn)生過程的實例。例如：
考察多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和之間的關(guān)系，可以用列表的方式來組織信息：
邊數(shù) 3 4 5 6 7
內(nèi)角和 180°360° 540° 720° 900°
通過引導(dǎo)學(xué)生對表格進(jìn)行觀察，有的學(xué)生會注意到，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°；通過歸納，有的學(xué)生會猜測到邊數(shù)與內(nèi)角和之間存在下列關(guān)系：S-n＝180°(n－2)。這是一個一次函數(shù)。這個過程可以使學(xué)生建立起對變量之間變化關(guān)系的直觀感受，這對理解函數(shù)概念是很重要的。
為了使學(xué)生獲得關(guān)于猜想正確性的自信心，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生采用不同方法來探索同一個問題。例如，上述問題還可以用畫圖的方法進(jìn)行探索：
如圖1，從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內(nèi)角和增加了180°。
另外，由圖還可以得到如下想法：從n邊形的一個定點畫出所有對角線，恰好得到(n－2)個三角形，于是內(nèi)角和公式得到確證。
另外，循著“從四邊形到五邊形，由于增加了一個三角形，所以內(nèi)角和增加了180°”，還可以用遞推的方法：“后繼數(shù)＝前數(shù)＋180°”。
之所以要鼓勵學(xué)生采用多種表示方式探索規(guī)律，目的是為了使學(xué)生由此體驗函數(shù)關(guān)系的產(chǎn)生過程，為后面的抽象概念學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。實際上，在探索過程中，學(xué)生可以獲得變量之間相互依賴關(guān)系的切身感受，這種感受對于理解抽象的函數(shù)概念是非常重要的。因此，教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)多采用學(xué)生熟悉的具體實例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識其中的變量關(guān)系。另外，在上述過程中，學(xué)生所使用的主要是歸納的思維形式：通過歸納，探尋規(guī)律。歸納之重要性，不僅在于由它可以猜想結(jié)論，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，而且還在于它采用了由具體到抽象、由特例到一般的形式，這就可以使推理建立在學(xué)生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，這是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律的。
2．重視對變量概念的理解。
“變量”是函數(shù)概念的核心，但發(fā)展學(xué)生對變量概念的理解需要一個較長的過程。在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，學(xué)生從代數(shù)式、方程等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中獲得了關(guān)于變量的一定理解。例如，他們已學(xué)會解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程組；能夠作形如
的恒等變形；會使用公式S＝πr2求圓的面積；另外，通過解二元一次方程，他們體驗到對于方程y＝2x＋1，可以有無數(shù)多個有序數(shù)對（x，y）滿足它，等等。這些是學(xué)生學(xué)習(xí)“變量”概念的基礎(chǔ)。教師應(yīng)當(dāng)以此為基礎(chǔ)，使學(xué)生認(rèn)識“變量可以在某種約束條件下取不同的值”，以及在這個約束條件下變量之間的對應(yīng)關(guān)系，從而發(fā)展學(xué)生的變量概念。
3．重視不同表示方式之間的轉(zhuǎn)換。
通常，在人們頭腦中，函數(shù)的表示主要使用解析式，但實際上各種表示（語言的、圖像的、表格的、符號的）之間的相互轉(zhuǎn)換，可以加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解。例如，下面的例子要求從語言表示轉(zhuǎn)化為圖像表示：
從上海浦東機(jī)場到北京機(jī)場的一次飛行中，在允許著陸前必須繞北京機(jī)場幾周。畫出從起飛到著陸這段時間飛機(jī)與浦東機(jī)場的距離的圖像。
學(xué)生掌握的函數(shù)概念不夠清晰時，常常不看圖像中表示的變量，并把“與地面的距離”錯當(dāng)成“與浦東機(jī)場的距離”，結(jié)果畫出了如圖2的圖像。教師應(yīng)當(dāng)利用適當(dāng)?shù)氖侄危ɡ缬媚M飛行的方法）引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，飛機(jī)繞圈飛行時，“距離”不是一個圓圈，而是如圖3的“振動”。
圖2
圖3
根據(jù)上述圖像，教師可以讓學(xué)生估計某一時刻飛機(jī)離浦東機(jī)場的距離，哪些時刻離機(jī)場距離最遠(yuǎn)、列出3個與機(jī)場距離相等的時間，等。
4．重視函數(shù)概念的實際應(yīng)用。
抽象的函數(shù)概念必須經(jīng)過具體的應(yīng)用才能得到深刻理解。在數(shù)學(xué)內(nèi)部，可以通過用函數(shù)性質(zhì)比較大小、求解方程、求解不等式、證明不等式等活動，深化對函數(shù)概念的理解。
例如，判斷方程sinx＝lgx的實根個數(shù)。
本題可以通過作函數(shù)y＝sinx和y＝lgx圖像（如圖4），看它們有幾個交點而做出判斷。
圖4
又如，已知a，b，m∈R+，并且a＜b，求證：
則可以通過證明它在區(qū)間（0，∞）上為增函數(shù)，立即可以得出證明。
還要注意用函數(shù)知識解決實際問題的訓(xùn)練。實際上，函數(shù)是非常重要的“數(shù)學(xué)建模”工具，現(xiàn)實中的許多問題都是通過建立函數(shù)模型而得到解決的。同時，在解決實際問題的過程中，學(xué)生對函數(shù)概念以及與它相關(guān)的變量、代數(shù)式、方程等知識都能夠加深理解。
例如，教師可以給學(xué)生設(shè)計類似于這樣的問題：
假設(shè)學(xué)校為了開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會生活的能力，要開展一次完全由學(xué)生自己操辦的商品銷售活動。你要負(fù)責(zé)某種商品的進(jìn)貨和定價。從商業(yè)角度考慮，你要做出計劃，使得這個項目取得最大利益。這時你要考慮哪些問題呢？顯然，進(jìn)貨量是要考慮的，否則，不夠賣或積壓很多都會造成損失。還有，如果這種商品有不同檔次的產(chǎn)品，那么還要考慮不同檔次的產(chǎn)品如何搭配。這些都需要作市場調(diào)查。另外，如果商品的售價太高，那么愿意購買的人就會減少；如果售價太低，那么就會減少利潤。因此，合理定價是獲得最大利益的又一重要因素。
為了解“市場需求”，你可以先作個“市場調(diào)查”：
關(guān)于某種檔次的商品需求情況調(diào)查
關(guān)于某種檔次的商品需求情況調(diào)查
單位（ 元） 你班購買相應(yīng)價格的商品總數(shù) 每班購買的商品的平均數(shù) 全校該商品的需求計劃數(shù)
5
10
15
20
25
做出了這個調(diào)查后，請解決下列問題：
（1）求出需求函數(shù)f(x)，它預(yù)測當(dāng)某種檔次的商品定價x元時可以售出的數(shù)量。
（2）假如這一檔次的商品的進(jìn)價為7元，求利潤函數(shù)s(x)，它預(yù)測這種商品定價x元時所能夠獲得的利潤。
（3）求獲得最大利潤時的定價；求出此時該檔次商品的售出數(shù)，以作為你決定該商品的進(jìn)貨量的依據(jù)；求出此時的總利潤，以作為你最后核算時的依據(jù)。
在這個過程中，學(xué)生不但可以體會到，精確的函數(shù)知識可以為實踐中做出科學(xué)決策提供有力依據(jù)，而且還可以體會到，精確的函數(shù)知識應(yīng)用于實踐時，常常要根據(jù)具體問題選擇相應(yīng)的函數(shù)表示方式，并根據(jù)問題的發(fā)展進(jìn)程作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。顯然，對函數(shù)概念的這一角度的理解，是難以從純粹的函數(shù)理論學(xué)習(xí)中獲得的。當(dāng)然，在這一過程中，學(xué)生還獲得了與函數(shù)問題密切相關(guān)的關(guān)于收集數(shù)據(jù)以及分析研究數(shù)據(jù)之間關(guān)系的經(jīng)歷，這對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的大有好處的。
