僅有“雙基”是不夠的
記者：《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準(2011年版)》)有一個十分明顯的變化，就是課程目標明確提出“四基”，除了我們熟悉的“雙基”(基礎知識和基本技能)外，還增加了“基本思想和基本活動經驗”，為什么要增加這兩個維度的目標?
馬云鵬：“雙基”是我國數學教育多年形成的傳統(tǒng)，加強“雙基”也是數學課程教學的重要特征，是學生數學基礎好、數學成績優(yōu)的重要標志。然而，隨著社會的發(fā)展，特別是人類知識的快速增長，只是強調“雙基”已經不能滿足現(xiàn)實的需要，必須在“雙基”的基礎上有所發(fā)展。從上世紀80年代開始，數學教育界就數學課程與教學改革如何加強學生能力的培養(yǎng)、如何關注學生的非智力因素以及如何培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力等問題進行深入持續(xù)的探討?！读x務教育數學課程標準(實驗稿)》提出過程性目標以及重視學生情感、態(tài)度與價值觀的培養(yǎng)等，表明人們不斷意識到只有“雙基”是不夠的，必須與時俱進，不斷創(chuàng)新。因此，《標準(2011年版)》明確提出“四基”是數學教育改革的必然要求，是時代發(fā)展的必然趨勢。
從“雙基”到“四基”是多維數學教育目標的要求。知識與技能的培養(yǎng)只是數學教育目標的一部分，而這部分往往是看得見、可測量、易操作的。人們往往在教學與評價中把關注的焦點放在所謂的知識點上，放在所謂的技能訓練上。評價學生也往往注重在知識技能上的表現(xiàn)，忽視其他方面。然而，數學教育的目標除知識技能外，還應當包括學生多方面的能力、學生對數學思想的把握、學生活動經驗的積累以及學生的情感態(tài)度等。因而，只有知識技能是不夠的，必須同時發(fā)展學生數學素養(yǎng)的其他方面，基本思想和基本活動經驗正是學生數學素養(yǎng)的重要組成部分。數學基本思想應貫穿于數學學習過程。
記者：能不能解釋一下，什么是“數學基本思想”?
馬云鵬：數學基本思想主要是指數學抽象的思想、數學推理的思想和數學模型的思想。之所以把這些稱之為數學基本思想，是因為它們貫穿于數學的學習過程，是對數學本質理解的集中體現(xiàn)。數學學習內容的四個方面：數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率以及綜合與實踐，都應當以數學基本思想為統(tǒng)領，在具體內容的理解和掌握過程中體現(xiàn)數學的基本思想。
數學基本思想應當成為學習掌握各部分數學內容的魂，成為形成數學概念、建立數學知識體系、思考和解決數學問題的主線。
記者：能不能舉例說明?
馬云鵬：比如，數概念的形成與發(fā)展是數與代數中的重要內容，從整數、小數、分數到有理數的學習，是一個從具體事物和數量抽象為數的過程，是抽象水平不斷提高的過程。教學中應當結合具體教學內容的學習，把抽象的思想體現(xiàn)在教學活動之中，培養(yǎng)學生的抽象思維能力。比如，最簡單的10以內數的認識，其中就蘊含了深刻的抽象的過程和抽象的思想。
學生認識數的過程，不只是單純認識數字符號，而是一個從具體到抽象的過程，教師應綜合考慮數、數量、數量關系等要素，結合學生學習的特征設計和組織相關內容的教學。
在學習20以內數的認識時，教材一般是將10以內數的認識和運算、20以內數的認識和運算作為相對獨立的兩部分設計。開始認識1~10，再認識加法和減法、0等；然后再認識11~20，20以內的加法和20以內的減法。對有關教材進行分析可以了解到，按照教材編者的想法，是把數的認識和運算結合起來，使學生由簡單到復雜認識10以內數的加減法。通過數量的感知、數字的認識、數的大小比較以及數的運算等，逐步抽象出數概念和數的運算。從培養(yǎng)學生抽象的思想的角度考慮，按照數的認識從具體到抽象的過程，教學設計應當掌握以下幾個要點。
第一，引導學生看圖感知數量：說一說圖中各種事物的數量(一頭大象，兩只犀牛，三只小鹿，四朵白云，五個小朋友，等等)，可以把看到的數量盡可能地表達出來，建立實物與數量之間的關系，了解實物的個數可以用數量表示。這時是把具體的事物用數量表示出來，是用數量刻畫事物，把事物的個數與相應的數量建立聯(lián)系。
第二，從數量抽象為數。從一頭大象，一個太陽，一根小棒，到數字“1”；從兩只犀牛，兩棵樹，兩根小棒，到數字“2”，是從數量到數的抽象。教學中應當把數量為l的事物放在一起，把數量為2的事物放在一起……引導學生感受這些數量用數表示就是1，2，3……
第三，感知數量的多少和數的大小。按照實物、數量和數的抽象過程，“比較大小”要完成兩個層次的抽象，一個是比較數量的多少，一個是比較數的大小。比較數量的多少應當是將同樣的東西進行比較，我們不能說4個梨比3個猴子多，只能說4個梨比3個梨多。只有抽象為數的時候，才能比較大小。無論是4個什么，抽象為數都是4，無論是3個什么，抽象為數都是3。這時可以把兩個數進行比較，即4大于3，3小于4。教學設計時要充分注意這一過程，始終把不同層次的抽象體現(xiàn)在教學過程中，使學生不斷感悟數量、數及其抽象的特點，逐步形成數學抽象的思想。當然，這個過程不是一蹴而就的，需要在學生學習的不同階段不斷有意識地組織相應的活動，滲透數學思想。
過程性目標實現(xiàn)的標志是學生形成基本活動經驗
記者：看來數學基本思想真的非常重要。那么，什么是“數學基本活動經驗”呢?
馬云鵬：基本活動經驗是在學生參與數學學習的活動中積累起來的。如果把數學基礎知識和叢本技能的學習看作是顯性的話，那么基本活動經驗的積累就具有隱性的特征。
首先，數學基本活動經驗的積累要和過程性目標建立聯(lián)系?！稑藴?span lang="EN-US">(2011年版)》確定的目標有兩類，一類是結果性目標，一類是過程性目標。一般來說，結果性目標是指向基礎知識與基本技能的。過程性目標更多地指向數學基本思想和基本活動經驗，而數學基本活動經驗主要是過程性目標的體現(xiàn)。如《標準(2011年版)》規(guī)定，“經歷數與代數的抽象、運算與建模等過程，掌握數與代數的基礎知識和基本技能；經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎知識和基本技能；經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計與概率的基礎知識和基本技能；參與綜合實踐活動，積累綜合運用數學知識、技能和方法等解決簡單問題的數學活動經驗”。在具體的課程內容中，也有一些過程性的描述：“結合生活實際，經歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性；經歷簡單的數據收集和整理過程，了解調查、測量等收集數據的簡單方法，并能用自己的方式(文字、圖畫表格等)呈現(xiàn)整理數據的結果?！边@些過程性目標和內容實現(xiàn)的主要標志就是學生形成活動經驗，學生在經歷相關的數學活動中，了解數學知識發(fā)生發(fā)展的過程，體會數學知識和方法的探究。
其次，數學基本活動經驗的積累依靠豐富多樣的數學活動的支撐。這里的數學活動是指伴隨學生相應的數學知識學習而設計的觀察、試驗、猜測、驗證、推理與交流、抽象概括、數據搜集與處理、問題反思與建構等。數學活動的設計與相應的知識技能有關，但其目的不只是為了完成數學知識技能的學習，還是學生數學活動經驗積累的重要途徑。以數據的搜集整理和分析相關的活動設計為例。《標準(2011年版)》在第一、二、三學段分別用了3個相似的例子說明如何設計和組織有關的活動。第一學段的例19，對全班同學的身高進行調查分析；第二學段的例38，對全班同學的身高數據進行調查分析；第三學段的例70，比較自己班級與別的班級同學的身高狀況。這幾個例子的設計，一方面讓教師結合不同學段學生的發(fā)展和學習內容的深入，用具有一定連續(xù)性的例子，使學生體會數據搜集整理的過程；另一方面使學生在這個過程中不斷積累獲得數學信息、整理與分析數據的活動經驗，了解到統(tǒng)計的知識與方法主要是從現(xiàn)實的問題中產生的，具有現(xiàn)實意義。同時，在這個過程中逐步形成數據分析觀念。設計有效的數學活動是學生積累活動經驗的保障。數學知識的探索、數學建模的設計與組織、數學探究活動等都是很好的數學活動。如，探索物體長度的測量和長度單位的建立過程，探究不同的樹葉長寬之比，探索小數點的移動使數值發(fā)生的變化，探索三角形的三邊關系等都可以設計成數學活動。學生通過自己的操作、猜測、驗證，發(fā)現(xiàn)問題、研究問題和解決問題。在這個過程中，學生獲得的不僅僅是認識相關的知識，得出相應的結論，而且積累了如何去探索、發(fā)現(xiàn)，如何去研究的經驗。
第三，數學基本活動經驗的積累是一個長期的過程。活動經驗要靠積累，積累需要一個過程，不能指望一兩次活動就能完成。因此，應當把活動經驗的積累看作是一個長遠的目標，持續(xù)不斷地組織學生參與數學探究的過程，逐步形成數學活動經驗。
“雙基”的要求應是理解、掌握、正確，而不是死記硬背和速度訓練
記者：在《標準(2011年版)》中，“雙基”的含義有什么變化嗎?
馬云鵬：對于“雙基”，雖然中小學教師非常熟悉，并在多年教學實踐中積累了豐富的經驗，但在使用《標準(2011年版)》中，對“雙基”應有新的理解和把握。
基礎知識一般是指數學課程中所涉及的基本概念、基本性質、基本法則、基本公式等。對基礎知識的教學重在理解和掌握，而不是死記硬背多少概念和法則。理解的標志在于能描述對象的特征以及與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。掌握是在理解的基礎上，把對象用于新的情境，本質是能夠在具體問題中運用相關的知識。
例如，《標準(2011年版)》第二學段有這樣的內容要求：“結合具體情境，理解小數和分數的意義，理解百分數的意義”，并用例25對這一要求加以解釋。下面借助這個例子對理解和掌握基礎知識做簡要說明。
例25：說明1/4，0.25和25%的含義。
分數、小數和百分數是重要的數概念，它們有本身的特征，又有密切的聯(lián)系。真分數通常表示部分與整體的關系，所以理解什么是1/4，一定要知道是哪個整體的，如全班同學人數的1/4。全班同學是40人，其1/4就是10人，全班同學是32人，其1/4就是8人。小數通常表示具體的數量，如一支鉛筆0.25元，書桌的寬度是0.45米。百分數是同分母(統(tǒng)一標準)的比值，便于比較，如去年比前年增長21％，今年比去年增長25％。在實際的教學中，學生能夠舉出恰當實例說明分數、小數和百分數的含義，意味著他們理解這幾個概念的含義。同時，在具體的情境中合理運用不同的數表示具體的數量也是進一步的理解。
基本技能內容包括基本的運算、測量、繪圖等技能。對基本技能的要求一直都離不開“正確、迅速、合理、靈活”等。而在實際教學和測驗中，往往把速度看得過重，一味追求運算的速度。把形成熟練的技能當作天經地義的事，并且成為大量訓練、題海戰(zhàn)術的理由。在這種理念下，難免把技能訓練作為數學學習的重要內容，甚至是核心要求。從數學的本質考慮，技能的要求應當以正確為重點，在正確的基礎上可能會考慮合理，應當淡化對速度的要求。一方面在解決問題的過程中，重在思考，速度是居于次要地位的；另一方面，速度是因人而異的，不能要求大多數學生都達到同樣的計算速度。這也是不同人在數學上有不同發(fā)展的標志之一。一分鐘正確地解答出一個問題和兩分鐘正確地解答出一個問題，在本質上并沒有區(qū)別。經過自己的思考，尋找恰當的方法解決問題才是重要的。這個問題也與考試的題目和要求有關。一些考試題量過多，學生必須有很快的速度才能完成，也是導致教師追求速度的一個原因。但從另一個角度看，這種考試和測驗的模式是否是平時的教學中追求技能熟練的結果呢?《標準(2011年版)》對于一些基本的運算給出了速度上的建議。如要求第一學段20以內加減法和表內乘法，每分鐘完成8~10題。這一要求可以看作是一個參照，大多數學生經過一定的訓練完全可以達到，不排除一些學生經過一段時間才能達到這一要求，也會有相當一些學生要高于這一要求。這一要求可以成為平時考查學生的參考，也可以作為測驗和考試的參考。
核心概念體現(xiàn)數學內容的本質
記者：我們注意到，《標準(2011年版)》提出了與四個學習領域相關的10個核心概念：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想以及應用意識和創(chuàng)新意識。為什么要提出這10個核心概念?
馬云鵬：核心概念的設計與課程目標的實現(xiàn)、課程內容實質的理解以及教學的重點難點的把握有密切關系。
首先，核心概念是全面實現(xiàn)課程目標的需要?！稑藴?span lang="EN-US">(2011年版)》設計了以“四基”為核心的課程目標，這些課程目標的實現(xiàn)依賴于相應的課程內容。數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個方面的內容，規(guī)定了數學課程的范圍和具體要求。這些方面的內容與知識技能目標之間的聯(lián)系是顯而易見的，但怎樣體現(xiàn)這些內容與其他方面目標之間的關系，這些內容怎樣在學生獲得數學思想、數學活動經驗以及數學思考、解決問題等方面發(fā)揮作用，是需要認真思考和設計的問題。核心概念提出的目的之一，就是在具體的課程內容與課程的總體目標之間建立起聯(lián)系。通過把握這些核心概念，實現(xiàn)數學課程目標。
如，數感、符號意識表現(xiàn)了數學抽象的特征，“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟”，“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性”。在數與代數領域數概念的形成、字母表示數、代數式的理解和運用等內容的學習中，這些核心概念起著導向的作用。教師在使學生理解相應的數學知識技能的同時，還要關注學生數感、符號意識的形成，把重要的數學思想體現(xiàn)在教學之中。
又如，數據分析觀念對于理解、把握統(tǒng)計與概率等內容有重要意義。“數據分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊含著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性……”教學中，為學生創(chuàng)造實際收集數據的機會，有意識地引導學生體會數據中蘊含的信息，體驗數據中的隨機性等，會使有關的內容教學更加豐富。
其次，核心概念體現(xiàn)數學內容的本質。核心概念本質上體現(xiàn)了數學的基本思想，反映了數學內容的本質特征以及數學思維方式。數學內容的四個方面都以10個核心概念中的一個或幾個為統(tǒng)領，學生對這些核心概念的體驗與把握，是對這些內容的真正理解和掌握的標志。
記者：能不能再具體談談，這些核心概念與課程內容之間是什么關系?
馬云鵬：這些核心概念總體上是對所有數學課程內容而言的。但各個方面的內容在體現(xiàn)核心概念上有所側重。比如，“數與代數”這部分內容與數感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念直接關聯(lián)，這些內容的學習不同程度地體現(xiàn)了抽象、推理和模型的基本思想要求?！皥D形與幾何”這部分內容與空間觀念、幾何直觀、推理能力和模型思想等核心概念直接相關?！敖y(tǒng)計與概論”這部分內容與數據分析觀念、推理能力、模型思想等有密切關系。而應用意識和創(chuàng)新意識在四個部分內容的教學中都應當有所體現(xiàn)。因此，在進行相應內容的教學時，要更多關注與哪些核心概念關系更為密切，教學中應予以更多的關注。
核心概念對于深入理解和掌握相關數學知識不可缺少，同時也是學生是否能夠把握數學思想、數學的思維和恰當地運用數學知識與方法解決問題的重要標志。理解和落實核心概念是數學教學中始終應當把握的一條主線。
核心概念通常要在學習的過程中體會和運用
記者：這些核心概念與數學的知識技能有什么區(qū)別?
馬云鵬：區(qū)別很大。知識技能多是顯性的內容，是容易把握和操作的。這些內容往往以知識點的形式出現(xiàn)，設計和組織教學時比較容易受到關注，也容易在教學實踐中落實。而核心概念往往不是以顯性的形式出現(xiàn)的，而是以與知識技能相關的隱性的觀念或思維方式的形式出現(xiàn)，通常要在學習的過程中體會和運用。
比如，有教師在教學體積單位立方厘米、立方米時，組織學生通過具體的活動感受l立方米有多大。用鐵絲圍成一個邊長為1米的正方體，它的體積是1立方米。請幾個學生站進去，看看最多能容納多少學生。這樣的活動使學生切實感受到1立方米有多大，在頭腦中形成關于1立方米的表象，也就是形成了空間觀念。只是告訴學生1立方米是邊長l米的立方體的大小，或者展示出l立方米=1000立方分米=100萬立方厘米，學生感知的只是數字，是數量關系，而沒有形成空間觀念。類似的數感、符號意識等核心概念，都需要在教學中精心設計相關的情境，引導學生在活動中感受相關的思想與方式。
核心概念是數學教學的統(tǒng)領和主線。教學的進程是以數學知識技能的學習逐步展開的，而在知識技能的學習和掌握過程中，要始終把相關的核心概念蘊含其中，設計有助于學生形成相關的數學核心概念的情境和活動，使學生逐步建立和形成數學核心概念。同時，也有助于學生對知識技能的理解和掌握。
記者：謝謝您接受我們的采訪。
