一、歐幾里得公理體系
公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。
埃及的尼羅河，幫助人們積累了豐富的幾何知識(shí)，但是并沒有組成一門系統(tǒng)的科學(xué)。后來希臘和埃及通商，于是幾何知識(shí)漸漸傳入希臘，希臘的許多學(xué)者對(duì)這些知識(shí)進(jìn)行了研究，特別是希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得搜集了當(dāng)時(shí)已有的幾何材料，按照邏輯的系統(tǒng)，編成了《幾何原本》（Elements）一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)于幾何學(xué) 的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽(yù)為歷史上的科學(xué)杰作。
歐幾里得的《幾何原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認(rèn)只有13卷，15世紀(jì)以后，印刷《幾何原本》的版本甚多，現(xiàn)在一般推希別爾克（Heibrg）與蒙奈(Menge)于1883-1889年的版本為標(biāo)準(zhǔn)版本，下面就據(jù)此版本介紹歐氏幾何公理系統(tǒng)。
《幾何原本》13卷的內(nèi)容主要是：
第一卷：給出定義、公設(shè)和公理，討論有關(guān)三角形全等、邊角關(guān)系、垂直線、平行線、平行四邊形以及等積問題等定理及其證明。
第二卷：討論線段的運(yùn)算，包括黃金分割定理。
第三、四卷：討論圓的性質(zhì)和圓的內(nèi)接、外切多邊形。
第五、六卷：討論比例理論和相似多邊形的性質(zhì)。
第七、八、九卷：純粹是討論算術(shù)的篇章，包括歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法。
第十卷：討論不可公度量的分類和它們的幾何運(yùn)算，包括整數(shù)開平方的幾何運(yùn)算。
第十一、十二、第十三卷：討論幾何的內(nèi)容。
從這個(gè)簡單介紹可以看到，目前屬于初等幾何學(xué)的內(nèi)容和方法，基本上都已包括在《幾何原本》中了。它所以能在兩千多年的時(shí)間中被長期公認(rèn)為幾何學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)教科書，就在于它的相當(dāng)嚴(yán)密的體系和豐富的內(nèi)容。
?。ㄒ唬W幾里德公理系統(tǒng)
歐幾里得的《幾何原本》，是公理化方法的雛型。歐幾里得從點(diǎn)、線、面等最基本的概念和最簡單的關(guān)系的分析中，提煉出5條公設(shè)和9條公理。由此出發(fā)，運(yùn)用演繹的方法，并借助于圖形的直觀，把當(dāng)時(shí)所知的幾何學(xué)知識(shí)，組成一個(gè)有機(jī)的整體。
具體地說，歐幾里得在《幾何原本》中采用了以下的結(jié)構(gòu)形式。
首先，指明了幾何學(xué)的研究對(duì)象，即點(diǎn)、線、面等。在第一卷開端給出了23個(gè)定義。
定義1點(diǎn)是沒有部分的。
定義2線有長度而沒有寬度。
定義3線的界限是點(diǎn)。
定義4直線是這樣的線，它對(duì)于它的任何點(diǎn)來說，都是同樣地放置著的。
定義5面只有長度和寬度。
定義6面的界限是線。
定義7平面是這樣的面，它對(duì)于它的任何直線來說，都是 同樣地放置著的。
接著，介紹關(guān)于角、平角、直角和垂線、鈍角、銳角、圓、圓周和中心、直徑、半圓、直線形、三角形、四邊形、多邊形、等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、正方形、菱形、梯形等15個(gè)定義，為節(jié)省篇幅，這里就不一一列出了。最后一條是關(guān)于平行線的定義。
定義23平行線是在同一平面上而且向兩側(cè)延長總不相交的直線。
其次，歐幾里得把少數(shù)不加數(shù)學(xué)證明而直接采用的命題作為公設(shè)和公理。
《幾何原本》中采用的公設(shè)有5條：
公設(shè)1從一點(diǎn)到另一點(diǎn)必可引直線。
公設(shè)2任一直線均可無限制地延長。
公設(shè)3以任一點(diǎn)為中心，任意長線段為半徑可以作圓。
公設(shè)4所有直角都相等。
公設(shè)5若兩直線與第三直線相交，其一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角時(shí)，則把這兩條直線向該側(cè)充分地延長后一定相交。
（說明 這是著名的第五公設(shè)，它與"直線外一點(diǎn)只能引一條直線與已知直線平行"是等價(jià)的，所以又有"平行公設(shè)"之稱。）
《幾何原本》中采用的公理有9條：
公理1各與同一個(gè)第三個(gè)量相等的量必相等。
公理2相等的量加上相等的量仍為相等的量。
公理3相等的量減去相等的量仍為相等的量。
公理4不等的量加上相等的量獲不等的量。
公理5相等的量的兩倍仍為相等的量。
公理6相等的量一半仍為相等的量。
公理7能互相重合的量一定是相等的量。
公理8整體大于部分。
公理9 過任意兩點(diǎn)只能引一直線。
最后，歐幾里得從上述公設(shè)和公理出發(fā)，運(yùn)用演繹方法，把當(dāng)時(shí)所知的幾何學(xué)知識(shí)全部推導(dǎo)出來。《幾何原來》中得出的各種幾何命題，即通常所謂的定理，共有467條之多。
在歷史上，公設(shè)和公理是有區(qū)別的。一般認(rèn)為，公理是算術(shù)與幾何所共有的，公設(shè)則僅為幾何學(xué)所有；公理本身是十分自明的，公設(shè)也是不加證明而承認(rèn)的，但沒有公理那樣自明。現(xiàn)代公 理論者對(duì)公設(shè)和公理已不加區(qū)分，概用公理一詞來替代。
特別值得注意的是《幾何原本》第一卷有48個(gè)命題敘述了三角形全等的條件、垂線、外角定理、三角形的邊角不 等關(guān)系等，但是從命題27開始敘述平行理論，而從命題29起才用到第五公設(shè)。
命題27如果一直線和兩條直線相交，所成的內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。
命題28如果一直線和兩條直線相交，所成的同位角相等，那么這兩條直線平行。
命題29如果一條直線與兩條平行直線相交，那么所成的內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角之和等于二直角。
非常有趣的是，對(duì)第五公設(shè)是否獨(dú)立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，由于第五公設(shè)在內(nèi)容和陳述上的復(fù)雜和累贅，加之它在《原本》的前28個(gè)定理的證明中并未用到，引起古代學(xué)者們的 懷疑：第五公設(shè)是不是多余的，它能不能從其他公設(shè)、公理邏輯地推導(dǎo)出來？甚至認(rèn)為，歐幾里得之所以 把它當(dāng)作公設(shè)，只是因?yàn)樗茨芙o出這一命題的證明，以致學(xué)者們紛紛致力于證明第五公設(shè)。在歐幾里得 以后的兩千多年時(shí)間里，幾乎難以發(fā)現(xiàn)一個(gè)沒有試證過第五公設(shè)的大數(shù)學(xué)家。
所有這些證明，一般都利用了直覺性，都不加證明地承認(rèn)了 某個(gè)與第五公設(shè)等價(jià)的命題，例如，在銳角一邊上的垂直線和傾斜線永遠(yuǎn)相交；通過角內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)至少可以作 一條直線與其兩邊相交；平面上不相交的直線不能無限制地彼此遠(yuǎn)離；至少存在兩個(gè)相似的三角形，等等。
直到1826年俄國幾何學(xué)家羅巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky，1792~1856）發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止， 才肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨(dú)立無關(guān)的。
應(yīng)當(dāng)指出，獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)羅氏幾何的還有大數(shù)學(xué)家高斯（K.F.Gauss，德，1777~1855）和匈牙利青年大學(xué)生波約（J.Bolyai，1802~1860）。但是，高斯由于害怕學(xué)術(shù)界頑固守舊 勢(shì)力的攻擊而始終不敢公開發(fā)表自己的研究結(jié)果。
?。ǘ臄?shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《幾何原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進(jìn)的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強(qiáng)有力的、通用 的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此往往 要作輔助線，從而幾何被公認(rèn)為難學(xué)的一門課程。
（三）歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)與整個(gè)數(shù)學(xué)大系統(tǒng)匹配得不好：它既不以小學(xué)所學(xué)的幾何知識(shí)為發(fā)展的基礎(chǔ)， 又不以代數(shù)知識(shí)為工具，更沒有為解析幾何和高等數(shù)學(xué)的出現(xiàn)打下伏筆。
這些當(dāng)然不能責(zé)怪歐幾里得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)還不知道實(shí)數(shù)、三角法、代數(shù)里的字母運(yùn)算以及極端重要的0，解析法和向量一直到十七世紀(jì)和十九世紀(jì)才出現(xiàn)。慚愧的是我們后人往往習(xí)慣于介紹這些方法，把它們分段拼湊在一起，卻不關(guān)心將這些方法融合在一起，怎樣才能使廣大中學(xué)生更容易地繼承古人給我們創(chuàng)造的珍貴遺產(chǎn)，這正是《初等幾何研究》所應(yīng)承擔(dān)的課題。
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