數(shù)論，是研究數(shù)字的一門數(shù)學(xué)分支。如同大海，它清澈透明而又深不見底。它的基礎(chǔ)概念，自然數(shù)、加法、乘法，每個(gè)小學(xué)生都清楚；但關(guān)于自然數(shù)的定理，卻可以讓人窮盡一生而不得其解。而這篇文章要介紹的，只是這個(gè)廣闊海洋中一個(gè)小小的海域。即便如此，我們?nèi)晕粗来颂幒Ｉ顜缀?，盡管最近張益唐的突破性工作，使我們比以往更接近真理，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

盡管筆者才疏學(xué)淺，有恐貽笑方家。但如能為讀者勾勒出一點(diǎn)點(diǎn)數(shù)學(xué)之美，也不枉費(fèi)一番心思。

素?cái)?shù)何時(shí)成雙對

可以說，素?cái)?shù)是數(shù)論中最基礎(chǔ)而最重要的概念。如果一個(gè)大于二的正整數(shù)，除了1和它本身之外，不是任何數(shù)的倍數(shù)，那么它就是一個(gè)素?cái)?shù)。比如說，6不是一個(gè)素?cái)?shù)，除了1和它本身以外，它還是2和3的倍數(shù)；而5則是一個(gè)素?cái)?shù)。

在古希臘，人們已經(jīng)有了素?cái)?shù)的概念，對素?cái)?shù)的研究也略有所得。在歐幾里德的《原本》中，第七、八、九篇講述的是“關(guān)于整數(shù)及其比值的性質(zhì)”，實(shí)際上也就是數(shù)論。在這幾卷中，歐幾里德指出了今天所說的“算術(shù)基本定理”：將自然數(shù)分解成素?cái)?shù)乘積的方法是唯一的。也就是說，如果用乘法的眼光來看自然數(shù)，那么素?cái)?shù)就是自然數(shù)的最小組成單元。它們不能被分解成更小的數(shù)的乘積，而所有自然數(shù)都可以分解成它們的乘積。

那么，我們自然要問：素?cái)?shù)作為自然數(shù)的組成單元，它們有多少個(gè)？

有無限個(gè)，歐幾里德不僅回答了這個(gè)問題，還給出了一個(gè)經(jīng)典的證明。

不妨反設(shè)只有有限個(gè)素?cái)?shù)，考慮它們的積N ，它是一個(gè)有限的自然數(shù)。所以，N+1 也是一個(gè)自然數(shù)，它也應(yīng)該是一些素?cái)?shù)的積。但根據(jù)假設(shè)，每一個(gè)素?cái)?shù)都不整除N+1 ，這不可能！所以，素?cái)?shù)必定有無限個(gè)。

這個(gè)精巧的證明，是人類探尋素?cái)?shù)奧秘的第一步。

2、3、5、7、11、13……最初的幾個(gè)素?cái)?shù)，要找出來并不困難，但隨著數(shù)字增大，如果一個(gè)一個(gè)數(shù)字按照定義去篩選是否素?cái)?shù)，工作量會(huì)很快變得十分龐大。同為古希臘數(shù)學(xué)家的埃拉托色尼，給出了一個(gè)比較省力的算法，后人稱之為埃拉托色尼篩法。

首先，列出從2開始的數(shù)。然后，將2記在素?cái)?shù)列表上，再劃去所有2的倍數(shù)。根據(jù)定義，剩下的最小的數(shù)——在這里是3——必定是素?cái)?shù)。將這個(gè)數(shù)記在素?cái)?shù)列表上，再劃去所有它的倍數(shù)，這樣又會(huì)剩下一些數(shù)，取其中最小的，如此反復(fù)操作。最后剩下的都是素?cái)?shù)。

【埃拉托色尼篩法，圖片出處：維基百科】

當(dāng)古希臘人用這種方法計(jì)算出長長的素?cái)?shù)列表時(shí)，他們也許也曾驚異于素?cái)?shù)分布的秩序缺失。這些自然數(shù)的組成單元，在自然數(shù)中的排列卻毫無規(guī)律，時(shí)而靠近，時(shí)而疏遠(yuǎn)。用類似歐幾里德證明中的構(gòu)造，我們知道，兩個(gè)相鄰素?cái)?shù)之間的距離可以要多大有多大。而隨著數(shù)目越來越大，相鄰素?cái)?shù)之間的距離似乎也越拉越長。

在無限延伸的自然數(shù)集中，向無窮的地平線望去，雖然仍有無窮的素?cái)?shù)，但它們似乎也愈變孤獨(dú)。

這種孤獨(dú)甚至是可以度量的。在十八世紀(jì)的尾巴，年僅15歲的高斯獨(dú)立提出了一個(gè)猜想：在n附近素?cái)?shù)的密度大約是n的對數(shù)。也就是說，相鄰素?cái)?shù)之間的平均距離大概與它們的對數(shù)成正比，雖然增長很慢，但卻義無反顧奔向無窮。但即使是高斯，也無法嚴(yán)格地證明他的猜想，要等兩個(gè)世紀(jì)后的阿達(dá)瑪（J. Hadamard）和德拉瓦萊普森（C. J. de la Vallée-Poussin），才能將這個(gè)猜想變成現(xiàn)在的“素?cái)?shù)定理”。

雖然如此，偶爾也會(huì)有成對出現(xiàn)的素?cái)?shù)，它們之間只相差2。像這樣成對出現(xiàn)的素?cái)?shù)，在那些孤獨(dú)的同伴看來，無疑是異類。

它們被稱為孿生素?cái)?shù)。

漫天星河難理清

一個(gè)自然的問題是，孿生素?cái)?shù)有多少？

孿生素?cái)?shù)猜想斷言，有無限對這樣的孿生素?cái)?shù)。但還沒有人能嚴(yán)格地證明這一點(diǎn)。在1849年，數(shù)學(xué)家A. de Polignac甚至猜想，對于任意的偶數(shù)2k ，都有無數(shù)對相鄰的素?cái)?shù)，它們的差恰好是2k 。

這不是一個(gè)容易的問題。素?cái)?shù)是乘法的產(chǎn)物，而孿生素?cái)?shù)的定義則涉及到加法。即使只是加上2，也需要同時(shí)用到自然數(shù)的加法和乘法的性質(zhì)。而在數(shù)論中的很多看似簡單但無比困難的問題，比如哥德巴赫猜想和華林問題，核心也在于加法和乘法的交織。這種相互作用給數(shù)論學(xué)者們帶來了無窮的頭痛，以及對咖啡的無盡渴求。

與此同時(shí)，行外人的評價(jià)卻似乎異常中肯：“為什么素?cái)?shù)要相加呢？素?cái)?shù)是用來相乘而不是相加的”。

當(dāng)然，如果只將素?cái)?shù)用在只與乘法有關(guān)的問題上，事情當(dāng)然簡單得多。但如果我們想要更多地了解自然數(shù)的玄機(jī)，那必然涉及到加法和乘法的相互作用?？s在“容易”的圈子里從來無補(bǔ)于事。如同探險(xiǎn)家一般，數(shù)學(xué)家也有著征服難題的渴望，因?yàn)樵谀抢щy的山巔上，有著無盡的風(fēng)光。為了難題產(chǎn)生的新方法、新思想，可能會(huì)開辟出意想不到的新天地。

【畫在平面上的素?cái)?shù)分布，圖片出處：維基百科】

孿生素?cái)?shù)的難點(diǎn)在于，它是一個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)的具體分布的問題，而我們對素?cái)?shù)的具體分布知之甚少。素?cái)?shù)定理只告訴我們素?cái)?shù)的大體分布，而對于具體一個(gè)個(gè)素?cái)?shù)的位置卻無能為力。如同繁星，素?cái)?shù)點(diǎn)綴著自然數(shù)的夜空，放眼望去，它們朝向無限的地平線愈見稀薄。但要想分清這無限繁星中的每一顆，即使用上最好的望遠(yuǎn)鏡，也無可奈何。

所以，在很長一段時(shí)間里，對于孿生素?cái)?shù)猜想，人們?nèi)匀煌Ａ粼诖y和估計(jì)的層面。

首先嘗試直接猜測的，是英國數(shù)學(xué)家哈代（G. H. Hardy）和李特爾伍德（J. E. Littlewood），他們在1923年開始了一系列的猜測。

【霸氣的哈代，圖片出處：維基百科】

素?cái)?shù)定理告訴我們，對于足夠大的自然數(shù)N，在N附近隨機(jī)抽取一個(gè)自然數(shù)n，它是素?cái)?shù)的概率大概就是(lnN) ?1  。那么，在同樣的區(qū)間，隨機(jī)獨(dú)立選取的兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)的概率就是之前概率的平方，也就是(lnN) ?2  。

那么，在N附近隨機(jī)抽取一個(gè)自然數(shù)n，n和n+2是一對孿生素?cái)?shù)的概率是否就是大概(lnN) ?2  呢？很遺憾，并非如此，因?yàn)閚和n+2并非完全獨(dú)立的，所以不能直接應(yīng)用之前的結(jié)果。不過這個(gè)估計(jì)雖不中亦不遠(yuǎn)，只要乘上一個(gè)修正系數(shù)，借此表達(dá)兩個(gè)數(shù)相差2的性質(zhì)，就能得到對孿生素?cái)?shù)密度的估計(jì)：2C 2 (lnN) ?2  。在這里，修正系數(shù)C 2  是一個(gè)關(guān)于所有質(zhì)數(shù)的無窮乘積。如果密度確實(shí)如此，那么顯然有無限對孿生素?cái)?shù)，孿生素?cái)?shù)猜想應(yīng)該是正確的。

實(shí)際上，這是所謂“第一哈代-李特爾伍德猜想”的一個(gè)特殊情況，難度甚至遠(yuǎn)高于孿生素?cái)?shù)猜想：它不僅隱含了孿生素?cái)?shù)猜想，而且對具體的分布作出了精細(xì)的估計(jì)。雖然上面的論證看上去很誘人，但它并不是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，因?yàn)樗拇笄疤帷財(cái)?shù)是隨機(jī)分布的——本來就不成立。素?cái)?shù)的分布有著深刻的規(guī)律，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是一句“隨機(jī)分布”所能概括的。

但哈代和李特爾伍德并非等閑之輩，作為當(dāng)時(shí)英國的學(xué)科帶頭人，既然提出這個(gè)猜想，當(dāng)然經(jīng)過了深思熟慮。現(xiàn)在看來，依據(jù)之一是，望向無限，素?cái)?shù)的分布的確看似隨機(jī)：對于那些“簡單”的操作（比如說加上2）來說，數(shù)值越大，越靠近無限的地平線，看上去也越“隨機(jī)”。所以，在考慮各種素?cái)?shù)形式的分布時(shí)，假定素?cái)?shù)按照素?cái)?shù)定理的密度隨機(jī)分布，不失為一個(gè)估計(jì)的好辦法。更為重要的是，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果也與哈代和李特爾伍德的猜測所差無幾。這更增添了我們對這個(gè)估計(jì)的信心。

然而，猜測只是猜測，不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。無論用數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證到什么高度，有多符合，對于無限而言，都是滄海一粟。李特爾伍德本人就曾證明過一個(gè)類似的結(jié)論。

人們此前猜測，小于某一個(gè)數(shù)N的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)π(N) 必定小于所謂的“對數(shù)積分”函數(shù)li(N) ，而根據(jù)素?cái)?shù)表，這個(gè)規(guī)律直到10的14次方都成立。但李特爾伍德在1914年證明了一個(gè)驚人的結(jié)論：對于足夠大的N ，不僅π(N) 可以大于li(N) ，而且它們的大小關(guān)系會(huì)無窮次地逆轉(zhuǎn)！但直到今天，對于第一次打破這個(gè)規(guī)律的N，我們?nèi)匀徊恢浪木唧w數(shù)值，只知道它大概是個(gè)有三百多位的數(shù)。

這個(gè)例子足以說明素?cái)?shù)可以多么深不可測而又出人意料，同時(shí)提醒我們，面對無限，不能掉以輕心。無論有多少計(jì)算的證據(jù)，都不能輕易下定論。征服無限的工具，只有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。

狂沙淘盡始得金

既然難以知道孿生素?cái)?shù)具體有多少，那么不妨換個(gè)思路：孿生素?cái)?shù)最多能有多少呢？

這就是數(shù)學(xué)家的思路，如果正面久攻不下，那么就從側(cè)面包圍。當(dāng)難以直接得到某個(gè)量時(shí)，數(shù)學(xué)家的“本能”會(huì)指引他們，嘗試從上方和下方去逼近，證明這個(gè)量不可能小于某個(gè)下界，或者不可能大于某個(gè)上界。如此慢慢縮小包圍圈，就有希望到達(dá)最終的目標(biāo)。

而在1919年，挪威數(shù)學(xué)家布倫（V. Brun）走的就是這么一條路：他證明了，孿生素?cái)?shù)的密度不可能超過O(N(lnlnN) 2 (lnN) 2  ) 。籍此，他證明了所有孿生素?cái)?shù)倒數(shù)的和是有限的。要知道，所有素?cái)?shù)倒數(shù)的和是無窮大，可見孿生素?cái)?shù)在素?cái)?shù)中有多么稀少。人們將所有孿生素?cái)?shù)的倒數(shù)和稱為布倫常數(shù)，它的具體數(shù)值大約是1.90216...。

關(guān)于布倫常數(shù)，還有個(gè)有趣的小插曲。1994年，美國一位教授在計(jì)算布倫常數(shù)時(shí)，無意中發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)英特爾公司的奔騰處理器在計(jì)算浮點(diǎn)除法時(shí)，在極稀有的情況下，會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果。雖然英特爾聲明這種錯(cuò)誤對于日常使用來說不足為患，但對于消費(fèi)者來說，這種托辭實(shí)在難以接受。最后，英特爾不得不承諾免費(fèi)更換有問題的處理器。幫助發(fā)現(xiàn)硬件問題，這可算是數(shù)論在現(xiàn)實(shí)中的一個(gè)小小應(yīng)用。

【出問題的那款芯片，圖片出處：維基百科】

但布倫的證明意義遠(yuǎn)不止于此。他的這個(gè)證明，正是現(xiàn)代篩法的開端。

布倫所用的篩法，根源可以追溯到古希臘的埃拉托色尼篩法。還記得我們怎么用埃拉托色尼篩法列出素?cái)?shù)表嗎？每次獲得一個(gè)新的素?cái)?shù)，我們都要?jiǎng)澣ニ行滤財(cái)?shù)的倍數(shù)，然后剩下最小的數(shù)又是一個(gè)新的素?cái)?shù)。用類似的方法，我們可以估計(jì)在某個(gè)區(qū)間中，比如說在N 和2N 之間，大約有多少素?cái)?shù)。

首先，我們假設(shè)手頭上已有足夠大的素?cái)?shù)表（大概到2N ? ? ?  √  的所有素?cái)?shù)）。用這個(gè)素?cái)?shù)表，我們打算把從N 到2N 的所有合數(shù)都劃去一遍，剩下的就是素?cái)?shù)。對于每個(gè)素?cái)?shù)p ，我們將所有p 的倍數(shù)劃去一遍。在N 和2N 之間，對于每個(gè)素?cái)?shù)p ，大約有N/p 個(gè)這樣的倍數(shù)。當(dāng)然，如果N 不是p 的倍數(shù)，這樣的估計(jì)會(huì)有誤差，但在數(shù)學(xué)家看來，只要能把握誤差的大小，最終仍然可以得到正確的結(jié)論。

這樣，剩下的數(shù)的個(gè)數(shù)就是N 減去所有N/p 的和，是這樣嗎？并不盡然，因?yàn)橛行?shù)可能被劃去了幾次。比如說1000，它能被2整除，也能被5整除，于是在處理2和5的倍數(shù)時(shí)，它分別被劃去了兩遍。對于每一對素?cái)?shù)p 1 ,p 2  ，每個(gè)p 1 p 2  的倍數(shù)在之前都被劃去了兩遍，而我們只希望將它們劃去一遍。為了得到正確結(jié)果，我們需要對這些數(shù)作出補(bǔ)償：將這些數(shù)加回去，一共是N/p 1 p 2  個(gè)，加上一點(diǎn)點(diǎn)誤差。

但這就是盡頭嗎？如果考慮三個(gè)素?cái)?shù)的倍數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)補(bǔ)償?shù)糜痔嗔?，需要重新劃去；繼續(xù)考慮四個(gè)素?cái)?shù)的倍數(shù)，劃去得又太多了，需要重新補(bǔ)償……如此一正一反，損有余，補(bǔ)不足，一項(xiàng)一項(xiàng)估計(jì)下去，才能從自然數(shù)的海洋中，精確篩選出所有我們想要計(jì)算的那些素?cái)?shù)。

但我們是否需要做到如此精細(xì)呢？在整個(gè)計(jì)算中，雖然每一項(xiàng)看似簡單，但簡單的代價(jià)是誤差。雖然每一項(xiàng)的誤差很小，但因?yàn)閿?shù)目巨大，累土而成九層之臺(tái)，累計(jì)誤差可以比需要估計(jì)的量還要多。所以，在現(xiàn)代的篩法中，過于精細(xì)反而是一種累贅。況且，我們的目的是獲得上界或者下界，所以結(jié)果無需完美，只需誤差可控。一般而言，由于越到后面的項(xiàng)貢獻(xiàn)越小，往往忽略它們的計(jì)算，直接將其計(jì)入誤差。這樣可以有效減少需要計(jì)算的項(xiàng)的數(shù)目，同時(shí)也能間接減少誤差。當(dāng)然，如果忽略的項(xiàng)太多，它們引起的誤差又會(huì)太大，也會(huì)導(dǎo)致不夠精確的結(jié)果。

布倫相對于前人的改進(jìn)，正在于此。如果盲目計(jì)算所有的項(xiàng)，必然深陷誤差的泥沼。而布倫則大膽截去那些貢獻(xiàn)很小卻占絕大多數(shù)的項(xiàng)，而對于剩下的項(xiàng)也果斷采用更粗放的近似來簡化計(jì)算。雖然看似不依章法，但通過仔細(xì)調(diào)校，布倫得以有效控制總誤差，從而獲得他想要的結(jié)果。

布倫的這個(gè)思路，開啟了解析數(shù)論之中一大類方法的大門。我們不知道怎么數(shù)素?cái)?shù)，是因?yàn)樗鼈兊姆植紝?shí)在難以捉摸。而現(xiàn)在，布倫的篩法指出了一條用簡單的集合來逼近素?cái)?shù)集合的道路，這自然令數(shù)學(xué)家如獲至寶。

在更精細(xì)的篩選與更微小的誤差之中尋找那一線的平衡，這大概是篩法的醍醐。但這樣的平衡，顯然依賴于我們?nèi)绾喂烙?jì)每一項(xiàng)的具體數(shù)值。可以每項(xiàng)分開估計(jì)，但合起來也無傷大雅。無論做法如何，估計(jì)的誤差越小，篩選可以越深入，結(jié)果也越逼近真實(shí)。即使估計(jì)方法不變，如果有更好的方法決定每一項(xiàng)的取舍，取貢獻(xiàn)大而誤差小之項(xiàng)，而舍貢獻(xiàn)小而誤差大之項(xiàng)，當(dāng)然也能得到更好的結(jié)果。

但為何拘泥于每一項(xiàng)？對于每一項(xiàng)，為什么要么取要么不取，不能站在中間立場嗎？只要能控制誤差，將每一項(xiàng)拆解開來，根據(jù)貢獻(xiàn)和誤差來賦予不同的權(quán)值，再求和，這樣的結(jié)果豈不是更精細(xì)？再者，有時(shí)不拘泥于素?cái)?shù)，放松限制去篩選那些“殆素?cái)?shù)”，也就是那些只有少數(shù)幾個(gè)素因子的數(shù)，在某些情況下也能得到更好的結(jié)果。在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那疤嵯拢灰茏龀龈玫慕Y(jié)果，數(shù)學(xué)家對于突破原有思路毫不猶豫。

這就像一場對素?cái)?shù)的圍捕戰(zhàn)。數(shù)學(xué)家們拿著篩法這個(gè)工具，不斷打磨它、改裝它，不斷練習(xí)，正著用，反著用，與別的領(lǐng)域的工具配合著用，絞盡腦汁發(fā)明新的用法，殫精竭力用它來圍捕那些調(diào)皮的素?cái)?shù)。欲擒故縱，反客為主，無中生有，李代桃僵，數(shù)學(xué)家們在對各種各樣素?cái)?shù)的圍捕中，借著篩法，將一套兵法使得淋漓盡致，精彩之處，三國亦為之失色。

在篩法的力量下，孿生素?cái)?shù)終于露出了一鱗半爪：

在1920年，同樣是布倫，證明了有無窮對9-殆素?cái)?shù)，它們之間只相差2。所謂9-殆素?cái)?shù)，或者更一般的k -殆素?cái)?shù)，就是那些至多有k 個(gè)素?cái)?shù)因子的自然數(shù)（包括重?cái)?shù)）。而1-殆素?cái)?shù)就是素?cái)?shù)。模仿哥德巴赫猜想的記號，布倫證明的就是（9 - 9）。

在1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家雷尼（A. Rényi）證明了，存在一個(gè)常數(shù)k ，使得有無窮對自然數(shù)m,p ，其中p 是素?cái)?shù)，m 是一個(gè)k -殆素?cái)?shù)，而兩者之間只相差2。也就是說，他證明了（k - 1）。

在1950年，挪威數(shù)學(xué)家塞爾伯格（A. Selberg）證明了，有無窮對整數(shù)n 和n+2 ，它們的素因子一共至多有5個(gè)。而孿生素?cái)?shù)定理相當(dāng)于素因子至多有2個(gè)的情況。

在1966年，意大利數(shù)學(xué)家E. Bombieri與英國數(shù)學(xué)家H. Davenport證明了，孿生素?cái)?shù)的密度至多是8C 2 (lnN) ?2  。也就是說，孿生素?cái)?shù)的數(shù)量至多是哈代與李特爾伍德所估計(jì)的4倍。

【陳景潤的雕像，圖片出處：維基百科】

在1978年，在證明了哥德巴赫猜想的（1 + 2）后，陳景潤用相同的篩法改進(jìn)了雷尼的結(jié)果：他證明了，有無窮對自然數(shù)m,p ，其中p 是素?cái)?shù)，m 是一個(gè)2 -殆素?cái)?shù)，而兩者之間只相差2。也就是說，他證明了（2 - 1）。

而最新的結(jié)果則是D. Goldston、J. Pintz和C. Yildirim在2009年發(fā)表的。他們證明了，兩個(gè)素?cái)?shù)之間的差距，相比起平均值而言可以非常小。在假定某個(gè)強(qiáng)有力的猜想后，他們還證明了，存在無限對素?cái)?shù)，它們之間相差不過16，與目標(biāo)的2只有八倍的差距。但問題在于，即便16這個(gè)數(shù)目相當(dāng)誘人，但他們的假定過于強(qiáng)大，強(qiáng)大得不像是對的，也使人們對他們結(jié)果的信心打了個(gè)折扣。

在整個(gè)過程中，數(shù)學(xué)家們動(dòng)用了解析數(shù)論中的大量工具：L函數(shù)、西格爾零點(diǎn)的估計(jì)、多種版本的篩法、克魯斯特曼和的估計(jì)、自守形式，如此等等，不一而足。每樣工具，都是心血的結(jié)晶。但即便如此，我們離孿生素?cái)?shù)猜想還很遙遠(yuǎn)。盡管Goldston、Pintz和Yildirim的結(jié)果非常強(qiáng)大，但也不能在無假定的情況下，推出有無窮對素?cái)?shù)，它們相差恰好是一個(gè)有限的確定值。

雖然只差那么一點(diǎn)點(diǎn)。只要關(guān)于所謂“素?cái)?shù)分布水平”的引理稍微強(qiáng)一點(diǎn)點(diǎn)，就能得到有無窮對相差不遠(yuǎn)的素?cái)?shù)的結(jié)論。但就在這個(gè)關(guān)口，人們卻處處碰壁。希望就在伸手可及之處，卻似乎總是差那么一點(diǎn)點(diǎn)?！按寺凡煌ā钡南敕ㄩ_始彌漫開來。

在眾人束手無策之際，當(dāng)時(shí)默默無聞的張益唐向《數(shù)學(xué)年刊》提交了一份論文。

梅花香自苦寒來

【張益唐，圖片出處：新罕布什爾大學(xué)】

一份三十公分的意大利面包，縱向剖開，抹上金槍魚泥，放上四片奶酪，放到烤爐烤一分鐘，撒上生菜，鋪上酸黃瓜和番茄，包起來，切成兩半，就是又一個(gè)三明治。

這也是張益唐曾經(jīng)蹉跎的歲月。

在博士畢業(yè)后，因?yàn)榉N種原因，雖有真才實(shí)學(xué)，但張益唐未能在學(xué)術(shù)界找到一份工作。為了生活，他不得不打工維持生計(jì)。即使在他的同學(xué)幫助他，找到新罕布什爾大學(xué)的一份代課講師工作后，即使在轉(zhuǎn)正成為一名大受學(xué)生好評的講師后，正式而言他仍不是一名研究人員。

時(shí)運(yùn)不齊，命途多舛；馮唐易老，李廣難封。

但數(shù)學(xué)無需官方認(rèn)可，研究也不需要正式的職位。張益唐受過正式的數(shù)學(xué)研究訓(xùn)練，有扎實(shí)的功底，有充分的能力，知道怎么去做研究，心里也時(shí)刻揣著數(shù)學(xué)。即使沒有正式的職位，他骨子里仍然是一位研究數(shù)學(xué)的學(xué)者。

而他心里裝著的，正是素?cái)?shù)的分布問題，特別是孿生素?cái)?shù)。即使沒有正式的研究職位，他仍然做著一名研究者會(huì)做的事。他緊跟當(dāng)前解析數(shù)論學(xué)界的發(fā)展，閱讀了J. Friedlander和H. Iwaniec在篩法上的突破性工作，閱讀了Goldston，Pintz和Yildirim關(guān)于素?cái)?shù)間隔的工作，還有很多不同的新工作。他思考著新的方法，嘗試沿著前人的路徑走下去，相信能用新的技巧，把道路走通，證明有無窮對相差不遠(yuǎn)的素?cái)?shù)。

但這談何容易！即使從Goldston等人強(qiáng)有力的方法出發(fā)，要得到想要的結(jié)果，也難倒了眾多學(xué)者。張益唐花了三年時(shí)間，不斷嘗試新的方法，屢戰(zhàn)屢敗，屢敗屢戰(zhàn)。數(shù)學(xué)研究，莫不如是。

終于，在2012年6月，他到朋友家作客時(shí)，靈光一閃，找到了開啟關(guān)鍵的鑰匙。

要說起來，張益唐的方法并非那種橫空出世的新構(gòu)想，而是利用現(xiàn)有的工具，用新的策略將它們組合起來，再加上一點(diǎn)點(diǎn)新的思想。Goldston等人所用的篩法相對精細(xì)，但卻稍欠回旋余地，而張益唐稍稍放松了這個(gè)篩法，雖然能作出的估計(jì)稍欠精細(xì)，卻換來了更大的游刃之余，得以對篩法中誤差與精細(xì)的天平作出更精巧的調(diào)整，結(jié)合一些新的結(jié)果，特別是Iwaniec等人的工作，反而能獲得更好的估計(jì)。箇中精彩之處，恕筆者學(xué)識淺薄，難以一一盡述。

用他的新篩法，張益唐證明了，有無窮對素?cái)?shù)，它們相差不過七千萬。他將他的新方法與新結(jié)論，用簡潔明了的語言，寫成了一篇論文，投稿到數(shù)學(xué)界的頂級期刊《數(shù)學(xué)年刊》。

這篇論文名為Bounded gaps between primes（《素?cái)?shù)間的有界間隔》）。

收到這篇論文的編輯想必十分意外。在一所不起眼的大學(xué)做著講師的工作，在數(shù)學(xué)的研究共同體中也不活躍，之前一篇論文還是十多年前發(fā)表的，這樣的一位默默無聞的數(shù)學(xué)家，突然聲稱自己解決了一個(gè)困擾眾多學(xué)者幾十年的問題，引起的第一反應(yīng)自然是懷疑。但畢竟，數(shù)學(xué)證明就是他學(xué)識的證明，他的論文寫得如此清楚明白，而所用的方法又是如此合情合理，這沖破了原有的一點(diǎn)點(diǎn)懷疑。編輯認(rèn)為，張益唐的結(jié)論很可能是對的，而他的方法對于解析數(shù)論而言，也可能是個(gè)重要的進(jìn)步。

因?yàn)楹芏鄶?shù)學(xué)證明都相當(dāng)艱深晦澀，即使是同一個(gè)領(lǐng)域的專家，有時(shí)也要花上一大段時(shí)間來咀嚼揣摩，才能斷定證明是否無誤。所以，數(shù)學(xué)論文的審稿時(shí)間通常不短，少則數(shù)月，多則數(shù)年，期間匿名審稿人通常需要通過編輯與作者多次通信，才能決定一篇論文的命運(yùn)。而張益唐的論文是如此激動(dòng)人心，編輯認(rèn)為他們等不起如此漫長的時(shí)間，于是對他的論文進(jìn)行了“特殊對待”。他們請了篩法方面的大家Iwaniec教授與另一位匿名審稿人（可能是Goldston）來審核這篇論文，很快就有了回音。

兩位審稿人都認(rèn)為這篇文章沒有明顯的錯(cuò)誤。實(shí)際上，評審報(bào)告中寫著這樣的評價(jià)：“論文的主要結(jié)果是第一流的”，“在素?cái)?shù)分布領(lǐng)域的一個(gè)標(biāo)志性的定理”。從論文寄出到審稿結(jié)束，僅僅花了三個(gè)星期的時(shí)間。

自此，消息不脛而走。在哈佛大學(xué)的丘成桐教授，知悉這個(gè)消息之后，很快邀請了張益唐來哈佛做關(guān)于他的工作的學(xué)術(shù)報(bào)告。消息很快在數(shù)學(xué)界與新聞界傳開，張益唐幾乎是一夜之間，從默默無聞變成舉世知名。據(jù)說，他的妻子聽說有記者要采訪時(shí)，跟張益唐講的第一件事，就是把發(fā)型整理一下。

作為勵(lì)志故事，這個(gè)結(jié)尾再好不過了。

路漫漫其修遠(yuǎn)兮

當(dāng)然，故事仍未結(jié)束。

在數(shù)學(xué)界中，對于久攻不下的問題，一旦有人打破一個(gè)缺口，其他人很快就會(huì)跟進(jìn)，把缺口弄得更大。張益唐的結(jié)果也不例外。

在張益唐的論文中，他給出的結(jié)果是，存在無數(shù)對相鄰素?cái)?shù)，它們的差相差不過7000萬。但這只是一個(gè)估計(jì)，并非張益唐的方法能得到的最好結(jié)果。在論文出爐后，一些數(shù)學(xué)家吃透了新方法，開始試著改進(jìn)這個(gè)常數(shù)。

張益唐的論文在5月14號面世，兩個(gè)星期后的5月28號，這個(gè)常數(shù)下降到了6000萬。

僅僅過了兩天的5月31號，下降到了4200萬。

又過了三天的6月2號，則是1300萬。

次日，500萬。

6月5號，40萬，連原來的百分之一都不到。

在筆者寫下這行的今天，剩下的只有區(qū)區(qū)的25萬。

這些結(jié)果，可以說是互聯(lián)網(wǎng)的結(jié)晶。這樣快的改進(jìn)速度，對于僅僅依靠一年發(fā)行數(shù)次的期刊做研究的時(shí)代，完全是不可想象的。而在今天，數(shù)學(xué)家們在網(wǎng)上，你一言我一語，不停發(fā)布最新的思考和計(jì)算，以最高的速度，匯聚所有人的智慧，才能創(chuàng)造出如此奇觀。

張益唐帶來的影響不止于此。利用他的新方法，可以解決更多的問題。Pintz指出，從張益唐的工具出發(fā)，可以得知存在一個(gè)常數(shù)C ，使得對于每C 個(gè)連續(xù)偶數(shù)，都存在無窮對相鄰的素?cái)?shù)，它們的差是這些偶數(shù)之一。也就是說，Polignac的猜想，起碼對于1/C 的偶數(shù)來說是正確的。所以，不僅素?cái)?shù)本身難以捉摸，它們之間的差更是劇烈起伏不定。

實(shí)際上，大數(shù)學(xué)家Erd?s在1955年就猜測，相鄰兩對素?cái)?shù)差的比值，可以要多大有多大，要多小有多小。而同樣借助張益唐的工具，Pintz不僅證明了這個(gè)猜想，而且證明了比值之差以不低的速度趨向于兩極分化。用他本人的話來說：在剛剛過去的幾個(gè)月里，一系列十年前會(huì)被認(rèn)為是科幻小說的定理都被證明了。

但孿生素?cái)?shù)猜想本身又如何呢？我們知道，如果將張益唐論文中的常數(shù)從7000萬改進(jìn)到2，就相當(dāng)于證明孿生素?cái)?shù)猜想。既然現(xiàn)在數(shù)學(xué)家們將常數(shù)改進(jìn)得如此的快，那么我們是否已經(jīng)很接近最終的目標(biāo)呢？

很遺憾，實(shí)際上還差很遠(yuǎn)。

張益唐的方法，本質(zhì)上還是篩法，而篩法的一大問題，是所謂的“奇偶性問題”。簡單來說，如果一個(gè)集合中所有數(shù)都只有奇數(shù)個(gè)素因子，那么用傳統(tǒng)的篩法無法有效估計(jì)這個(gè)集合至少有多少元素。而素?cái)?shù)組成的集合，恰好屬于這種類型。

正因如此，當(dāng)陳景潤做出哥德巴赫猜想的突破性結(jié)果（1 + 2）時(shí)，他得到的評價(jià)是“榨干了篩法的最后一滴油”。因?yàn)槿绻豢亢Y法，是無法證明哥德巴赫猜想的。（1 + 2）是篩法所能做到的最好結(jié)果。

但數(shù)學(xué)家們從不固步自封。要想打破“奇偶性問題”的詛咒，可以將合適的新手段引入傳統(tǒng)篩法，籍此補(bǔ)上篩法的缺陷。張益唐的出發(fā)點(diǎn)——之前提到Goldston，Pintz和Yildirim的結(jié)果——正是這種新思路的成果。但對于孿生素?cái)?shù)猜想而言，這些進(jìn)展仍然遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。學(xué)界認(rèn)為，雖然不能斷定張益唐的方法，即使經(jīng)過改進(jìn)，是否仍然不能解決孿生素?cái)?shù)猜想，但可能性似乎微乎其微。

但不能低估人類的才智。發(fā)明割圓術(shù)的劉徽，他對于無知的態(tài)度更適合我們：

敢不闕疑，以俟能言者！

參考資料：

Bounded gaps between primes, Yitang Zhang, Annals of Mathematics

Open question: The parity problem in sieve theory, Terence Tao, http://terrytao.wordpress.com/2007/06/05/open-question-the-parity-problem-in-sieve-theory/

Are there infinitely many twin primes?, D. A. Goldston, http://www.math.sjsu.edu/~goldston/twinprimes.pdf

關(guān)于相鄰素?cái)?shù)之差的筆記（張益唐及其他）, 木遙, http://imaginary.farmostwood.net/592.html

Polymath上常數(shù)改進(jìn)的頁面：http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes

張益唐和北大數(shù)學(xué)78級, 湯濤, 數(shù)學(xué)文化, http://www.global-sci.org/mc/readabs.php?vol=4&no=2&page=3

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