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九年義務(wù)教育數(shù)學教學大綱明確規(guī)定：“要使學生受到把實際問題抽象成數(shù)學問題的訓練”“形成用數(shù)學的意識。”我們經(jīng)常看到有些學生遇到一個實際問題，無處下手束手無策時，當我們把這個問題化為數(shù)學模型，用數(shù)學語言加以表達后，他馬上就會解了。可見，建立適當數(shù)學模型，是利用數(shù)學解決實際問題的前提。解決實際問題，特別是綜合性較強的實際問題的過程，實際上就是建立數(shù)學模型的過程。在教學中解決實際問題時，要注意引導學生觀察、分析、抽象、概括為數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的建模能力。
      一、化實際問題為數(shù)學模型，要注意的問題
       1．要排除語言障礙。讀題是解題的基礎(chǔ)，通過讀題能識別、理解、解釋數(shù)學問題的語言表達，并能用自己的語言表述，然后準確的翻譯為數(shù)學語言?！　　　　　?br>       2．要深入分析實際問題中的空間形式和各種數(shù)量關(guān)系，善于將這些空間形式和數(shù)量關(guān)系用數(shù)學語言表示出來。
       3．要掌握一些基本類型的數(shù)學應(yīng)用題。如列方程解應(yīng)用題，列函數(shù)式解應(yīng)用題，最值問題的一些應(yīng)用題，幾何問題的應(yīng)用題，三角問題的應(yīng)用題以及其他方面的典型應(yīng)用題，以增強建模能力。
       二、解決實際問題中常見的數(shù)學模型
      實際問題是復雜多變的，但是初中數(shù)學解決實際問題常見的模型還是有規(guī)律可以歸納總結(jié)的。初中數(shù)學常見的數(shù)學模型主要包括方程模型，函數(shù)模型，不等式模型，設(shè)計模型，幾何模型等，下面舉例說明：
       1．建立幾何模型：
      諸如臺風、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算，作物栽培等傳統(tǒng)的應(yīng)用問題，涉及一定圓形的性質(zhì)，常需要建立相應(yīng)的幾何模型，轉(zhuǎn)化為幾何或三角函數(shù)問題求解。
      例：在氣象站臺$A$的正西方向$240km$的$B$處有一臺風中心，該臺風中心以每小時$20km$的速度沿北偏東$60^{°}$的$BD$方向移動，在距離臺風中心$130km$內(nèi)的地方都要受到其影響。
     （1）臺風中心在移動過程中，與氣象臺$A$的最短距離是多少？

     （2）臺風中心在移動過程中，氣象臺將受臺風的影響，求臺風影響氣象臺的實踐會持續(xù)多長？
     解三角形應(yīng)用題的一般步驟：
（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖。
（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學模型。
（3）求解：利用三角函數(shù)有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解。
（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解。
        2．建立方程模型：
方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，運用數(shù)學語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程。
       例：在寬為$20$米，長為$32$米的的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條路互相垂直，余下部分種草坪，
要使草坪面積$540$平方米，道路的寬應(yīng)為多少米？
      分析：如圖：作整體思考，設(shè)路的寬度為$xm$,則問題轉(zhuǎn)化為求方程$(20-x)(32-x)=540$的解，
解得$x=2$或$x=50$（不合題意舍去）
       3．建立直角坐標系與函數(shù)模型：
       當變量的變化具有近似函數(shù)關(guān)系，或物體運動的軌跡具有某種規(guī)律時，可通過建立平面直角坐標系，
轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題討論。
       例：一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為$2.5$米時，達到最大高度$3.5$米，然后準確落入籃圈。已知籃圈中心到地面的距離為$3.05$米。
      (1)建立直角坐標系，求拋物線的解析式；
      (2)該運動員身高$1.8$米，在這次跳投中，球在頭頂上方$0.25$米處出手，

問：球出手時他跳離地面的高度是多少？
簡解：$1^{°}$由于拋物線的頂點是$(0,3.5)$，故可設(shè)其解析式為$y=a{x}^2+3.5$。
 又由于拋物線過$(1.5,3.05)$，于是求得$a=-0.2$。
∴拋物線的解析式為$y=-0.2x^2+3.5$。
   $2^{°}$當$x=-2.5$時，$y=2.25$。∴球出手時，他距地面高度是$2.25-1.8-0.25=0.20$(米)。
評析：運用投球時球的運動軌跡、彈道軌跡、跳水時人體的運動軌跡，拋物線形橋孔等設(shè)計的二次函數(shù)應(yīng)用問題屢見不鮮。解這類問題一般分為以下四個步驟：
      (1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?若題目中給出，不用重建)；
      (2)根據(jù)給定的條件，找出拋物線上已知的點，并寫出坐標；
      (3)利用已知點的坐標，求出拋物線的解析式。

①當已知三個點的坐標時，可用一般式$y=a{x}^2+bx+c$求其解析式；

②當已知頂點坐標為$(h,k)$和另外一點的坐標時，可用頂點式$y=a(x-h{)}^2+k$求其解析式；

③當已知拋物線與$x$軸的兩個交點坐標分別為$(x_1,0),(x_2,0)$時，可用交點式$y=a(x-x_1)(x-x_2)$求其解析式。
      (4)利用拋物線解析式求出與問題相關(guān)的點的坐標，從而使問題獲解。 
         4．建立不等式模型：
        在我們的現(xiàn)實生活中，不等關(guān)系非常普遍。因此，利用不等式（組）解決問題是常見的方法。一般來說，當問題中出現(xiàn)“不超過”、“最多”、“至少”等關(guān)鍵詞的實際應(yīng)用題時，可考慮建立不等式（組）的數(shù)學模型解之。
       例：學生若干住若干宿舍，如果每間住$4$人，則還余$19$人；如果每間住$6$人，則有一間宿舍不空也不滿，求有多少間宿舍和多少名學生？
     分析：設(shè)有$x$間宿舍，依題意，學生應(yīng)有$4x+19$人，當每間住$6$人時，假設(shè)全住滿，則有$6x$人，但是沒有住滿；當一個宿舍完全空出來時，只能住$6(x-1)$人，肯定住不下，因此有了下列不等式：，又因為人數(shù)為整數(shù)，所以可解出。
        三、用數(shù)學模型解決實際問題可以達到以下目的
        1．用數(shù)學模型解決實際問題便與理論聯(lián)系實際
數(shù)學教學中，往往忽視運用數(shù)學知識解決實際問題的所謂“掐頭去尾燒中斷”的教學方法，使得中學數(shù)學脫離現(xiàn)實生活。因此，解題中要注意引導學生聯(lián)系日常生活，把日常生活中的一些實際問題用數(shù)學來解決。要重視從實際問題中建立數(shù)學模型，解決數(shù)學問題，從而解決實際問題這個全過程。通過數(shù)學模型方法解題，可以把數(shù)學與實際問題溝通起來，互相滲透，互相轉(zhuǎn)化，是數(shù)學更生地扎根于實際。
        2．用數(shù)學模型解決實際問題，能提高學生學習興趣。
不少學生感到數(shù)學枯燥無味，所以要數(shù)數(shù)學學習過程中充滿樂趣。數(shù)學模型是從實際提煉出來，而后又用之解決問題，可激發(fā)學生極大的興趣；學會了主動學習，學會了去索取自己所要學的知識，對數(shù)學有了新的認識，學習數(shù)學的興趣更高了，更自覺了
        3．用數(shù)學模型解決實際問題，有助于培養(yǎng)學生創(chuàng)造思維。
       在高分下令人憂慮的是，中學生應(yīng)用意識薄弱，動手能力差，雖善于解題，但創(chuàng)造能力差，而運用數(shù)學模型解題恰能起到改善作用。數(shù)學模型具有激趣、求異、探究的特點，使學生思維處于活躍狀態(tài)，多角度、多層次的觀察、認識、思考問題，使學生充分發(fā)揮自己的想象力和主觀能動性。獨立思考，大膽探索，標新立異，積極提出自己的新觀點、新思路、新方法，從地位特點上說帶有探索性，在方法形式上富有創(chuàng)造性，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造性能力。
       運用數(shù)學模型解決實際問題，不僅體現(xiàn)了數(shù)學的應(yīng)用價值，而且有助于學生靈活掌握數(shù)學知識和技能，它對于實施素質(zhì)教育有著巨大的推動作用。