“四基”數(shù)學(xué)模塊教學(xué)的構(gòu)建——兼談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
張奠宙1，鄭振初2
（1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海200241;2．香港教育學(xué)院，香港）
摘要：數(shù)學(xué)教育中的“四基”是指：基本數(shù)學(xué)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，“四基”模塊的類型主要有：概念型綜合模塊、定理證明型模塊、問題解決型模塊、突出“數(shù)學(xué)思想方法”的模塊、突出數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的模塊、突出基本技能演練的模型、定理證明中的綜合運(yùn)用型模塊、實(shí)際情境創(chuàng)設(shè)中的四基模塊、積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的模塊、形成重大數(shù)學(xué)方法的模塊．
關(guān)鍵詞：雙基；四基：教學(xué)模塊；數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)
中圖分類號(hào)：G420文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1004-9894( 2011) 05-0016-04
中國數(shù)學(xué)教育，一向以雙基（基本知識(shí)和基本技能）的掌握作為重要訴求．1980年代徐利治先生倡導(dǎo)“數(shù)學(xué)方法論”，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)進(jìn)入課堂．晚近以來，許多有識(shí)之士建議增加為四基，即增加基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)在，這一建議已經(jīng)在《9年義務(wù)制數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂稿）》征求意見
時(shí)正式采納，而且在數(shù)學(xué)教育界有高度的認(rèn)同感．
那么，“四基”之間的關(guān)系如何？怎樣進(jìn)行”四基“教學(xué)？都是重要的研究課題．這里試圖詮釋“四基”之間的關(guān)系，構(gòu)建“四基”數(shù)學(xué)教學(xué)模塊，并借助案例進(jìn)行闡述．
多年來，數(shù)學(xué)思想方法本身的研究非常豐富，但是如何在課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)規(guī)律，研究的文獻(xiàn)非常少．研究者借助四基數(shù)學(xué)模塊的構(gòu)建，著重探討基本數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)途徑，尋求和其它“三基”的融合，希冀能夠在課堂上落實(shí)基本數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，為發(fā)揚(yáng)中國數(shù)學(xué)教育特色提供一些新的思路．
“四基”并非孤立地存在著，而是互相鏈接，形成你中有我、我中有你的交錯(cuò)局面．“四基”的基本形式是一個(gè)3維的模塊．學(xué)生頭腦里的數(shù)學(xué)大廈，是在一個(gè)個(gè)的基礎(chǔ)模塊之上建立起來的，
這里，給出四基數(shù)學(xué)教學(xué)模塊的示意圖．
2006年，在寧波舉辦的數(shù)學(xué)教師進(jìn)修班上，曾經(jīng)提出過“雙基數(shù)學(xué)模塊”的建議【l】，實(shí)際上，這個(gè)模型已經(jīng)超出了“雙基”范圍，涉及到了“三基”，即：
第一維度，基本數(shù)學(xué)知識(shí)的積累過程；
第二維度，基本數(shù)學(xué)技能的演練過程；
第三維度，基本數(shù)學(xué)思想方法的形成過程．
這樣一來，“四基”中前“三基”就已經(jīng)形成了一個(gè)3維的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊”．那么第四個(gè)“基本”——基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)應(yīng)該放在哪里呢？基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)本身并不構(gòu)成一個(gè)單獨(dú)的維度．而是充填在3維模塊中間的粘合劑，事實(shí)上，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，學(xué)生通過無處不在的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得的經(jīng)驗(yàn)，與數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本能力、基本思想方法交織在一起，滲透在整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程之中，如圖1所示．
圖l四基模塊示意圖
數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊有大小之分．例如方程，是一個(gè)大的基礎(chǔ)模塊，一元一次方程則是一個(gè)較小的模塊．彼此有從屬關(guān)系，正如人有神經(jīng)系統(tǒng)、循環(huán)系統(tǒng)、消化系統(tǒng)、呼吸系統(tǒng)等許多重要部分，而人的各個(gè)系統(tǒng)又是由各種不同的臟器作為組成部分，進(jìn)一步，各種臟器又以細(xì)胞作為載體，數(shù)學(xué)也是如此，
這一模塊的構(gòu)建，可說是中國數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)典型模式，其中既有扎扎實(shí)實(shí)打基礎(chǔ)的內(nèi)容，也有提煉數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展部分，在整個(gè)活動(dòng)中，借助變式練習(xí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，顯示了中國數(shù)學(xué)教育的特色．
在一堂數(shù)學(xué)教學(xué)課中，知識(shí)的獲得、技能的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)方法的提煉，互相交叉滲透，沒有單純的知識(shí)，也沒有脫離知識(shí)的技能．至于數(shù)學(xué)方法，建筑在知識(shí)和技能之上，但也會(huì)具有獨(dú)立的價(jià)值，而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，則以上述“三基”為載體．
那么，以上的“四基”數(shù)學(xué)模塊，是如何形成的呢？
數(shù)學(xué)內(nèi)容是各不相同的，弗賴登塔爾指出，數(shù)學(xué)知識(shí)有兩類：程序性的算法知識(shí)和思辨性知識(shí)[2]，程序性又可以分為語言表示（如符號(hào)表示，書寫格式）程序、操作性的變換程序（如解方程的同解變換）和運(yùn)算規(guī)則（如負(fù)負(fù)得正）等部分，思辨性的知識(shí)也有概念形成和定理的建立和演繹證明、反思等不同的類別，但是，無論哪一種數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，都是“四基”相互作用的結(jié)果，只是形成的過程彼此不同、機(jī)制互相有異．因此，四基模塊形式也是多種多樣的，以下將就各種類型的四基模塊進(jìn)行探討，并結(jié)合一些案例進(jìn)行分析．
案例1概念型綜合模塊：一元一次方程，
本案例的四基呈現(xiàn)順序是：基本知識(shí)的掌握一練習(xí)獲得基本技能一通過反思獲得基本思想方法，在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中，收獲基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)．具體過程如下．
一元一次方程是形如ax+b=cx+d的代數(shù)式，其中x是未知數(shù)，a、b、c、d都是已知常數(shù)，這是基本知識(shí)，目標(biāo)是求出滿足此等式的未知數(shù)的“值”．于是有移項(xiàng)、合并同次項(xiàng)等操作，使之變換成ax=b的形式，最后得出x=b/a(a≠0)．這些操作則是一種技能．于是，在這兩個(gè)維度的基礎(chǔ)上，大量的變式練習(xí)（數(shù)學(xué)活動(dòng)）獲得了基本經(jīng)驗(yàn)．
數(shù)學(xué)教學(xué)并沒有停留在這一水平上，而是不斷地提升各種數(shù)學(xué)思想方法．其中包括：
●化歸方法．化到ax=b的標(biāo)準(zhǔn)型，
●未知到已知的轉(zhuǎn)換：方程知識(shí)的方法論分析．
●變化的過程是“同解”的，即x的值是不變的，變化中的“不變”思想方法，
●方程解法和算術(shù)解法的區(qū)別．如果將未知數(shù)比喻成“河對(duì)岸的寶物”，那么算術(shù)方法是正面探究，摸著石頭過河，一步步接近寶物，方程方法，則是用帶鉤的繩子和寶物拉上關(guān)系，然后一步步地將寶物“拉過來”．二者的思想路線是相反的．
最后，提升到方程是一種關(guān)系：方程是為了求未知數(shù)，在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立的一種等式關(guān)系，解方程就是通過關(guān)系找出未知數(shù)．這樣一來，如何尋求未知數(shù)（解方程）的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就自然地獲得了．
總之，“一元一次方程”基礎(chǔ)模塊的構(gòu)成過程是：從基本知識(shí)和基本技能的結(jié)合開始，通過大量解題的活動(dòng)獲得經(jīng)驗(yàn)，并不斷地將之提升為數(shù)學(xué)思想方法．前后呼應(yīng)，形成一個(gè)四基數(shù)學(xué)模塊．進(jìn)一步，這一模塊將來可以和一元二次方程、二元一次方程組、函數(shù)與曲線方程等模塊綜合在一起，構(gòu)成更大的“方程”四基模塊，
案例2定理證明型模塊：勾股定理，
此課的展現(xiàn)順序如下．掌握勾股定理的內(nèi)容與證明一從文化的角度進(jìn)行欣賞獲得數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值一進(jìn)行變式練習(xí)，掌握基本技能，具體過程如下：
首先，用邊長為3、4、5的直角三角形引入新課內(nèi)容，猜想勾股定理內(nèi)容并加以證明．這是基本知識(shí)． 然后，利用多媒體展現(xiàn)勾股定理的文化價(jià)值：
●中國古代的陳子定理；
●古希臘《幾何原本》中的證明；
●趙爽的代數(shù)方法證明；
●2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)；
●和外星人通訊使用的圖案；
●華羅庚等建議采用勾股定理的名稱．
數(shù)學(xué)的文化欣賞，是數(shù)學(xué)思想方法的重要組成部分，它能揭示數(shù)學(xué)思想的本源，數(shù)學(xué)長生的社會(huì)背景，提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，數(shù)學(xué)欣賞，也是一種反思，整理學(xué)過的知識(shí)，使之立體化、具象化、歷史化，在課堂上欣賞勾股定理之后，還要進(jìn)行大量的變式練習(xí)，運(yùn)用勾股定理解決一系列的問題，作為一種基本技能和經(jīng)驗(yàn)留存在腦海里，形成四基模塊．
案例3 問題解決型模塊：中位線定理的一題多解，
本課題的四基呈現(xiàn)順序是：簡單地提出中位線定理一進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練一在解題活動(dòng)中獲得證明方法的多樣性體驗(yàn)．
中位線定理，是初中幾何教學(xué)的精品內(nèi)容之一，為我國數(shù)學(xué)教師所鐘愛（但在許多國家的數(shù)學(xué)課程中已經(jīng)沒有了）．此定理貌似簡單，證明卻必須增添補(bǔ)助線或變換圖形，繞個(gè)彎子才能得出證明．
一般認(rèn)為，此定理有4種證明方法：(1)延長中線法，(2) 180度移動(dòng)上部三角形法，(3)平行四邊形法，(4)面積法，
這一內(nèi)容的主題是學(xué)習(xí)一題多解的證明方法，它既是基本知識(shí)，又是基本技能，也是數(shù)學(xué)方法，更是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的體驗(yàn)．
以下幾個(gè)案例往往“一基”為主，比較單純， 案例4突出“數(shù)學(xué)思想方法”的模塊：對(duì)頂角相等．
這是初中平面幾何入門教學(xué)模塊中的一個(gè)小模塊，定理 “對(duì)頂角相等，”如圖2，兩條直線相交，那么角A等于角B．
這個(gè)定理當(dāng)然也屬于基本數(shù)學(xué)知識(shí)，可是這太簡單了！一眼就看出來了！這還要證明嗎？那不是自找麻煩嗎？
請(qǐng)注意，在世界名著、歐幾里得編寫的《幾何原本》中，“對(duì)頂角相等”是命題15.證明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然后根據(jù)公理3(“等量減等量，其差相等”)，所以A=B.
這一證明方法當(dāng)然也屬于基本數(shù)學(xué)技能．但是重要的價(jià)值不在“對(duì)頂角相等”的命題本身，而在于泰勒斯提供了不憑直觀和實(shí)驗(yàn)的邏輯證明，
因此，這一模塊的主題是基本數(shù)學(xué)方法的教學(xué)：理解從公理（基本事實(shí)）出發(fā)，進(jìn)行邏輯推理的演繹證明，在教學(xué)中，要從“不必證明”提升到需要證明，會(huì)使學(xué)生感到理性的震撼，進(jìn)一步，要分析產(chǎn)生這種思維方式的社會(huì)文化背景，古希臘是奴隸制國家，當(dāng)時(shí)希臘的雅典城邦實(shí)行奴隸主民主政治．由男性公民組成的民眾大會(huì)有權(quán)制定法律，處理財(cái)產(chǎn)、祭祀、軍事等問題（注意：廣大的奴隸、婦女、外來人不能享受民主權(quán)利）．既然是平等的民主政治，彼此間的不同意見需要說服對(duì)方．為了說明自己堅(jiān)持的是真理，就需要理性證明，對(duì)頂角相等，就是在這樣的背景下產(chǎn)生的．
古希臘奴隸主的民主政治，和中國奉行的皇帝君的王權(quán)政治，是有根本區(qū)別的．對(duì)頂角相等在古希臘需要證明，在中國卻認(rèn)為無需證明．在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，只有對(duì)君王管理國家有用的數(shù)學(xué)（如丈量田畝、計(jì)算賦稅等），才會(huì)得到數(shù)學(xué)家的重視，對(duì)頂角相等，對(duì)王權(quán)沒有用處，所以中國古代數(shù)學(xué)沒有“對(duì)頂角相等”這樣的內(nèi)容．
由此可見，在對(duì)頂角相等這一小模塊中，數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值和文化背景處于核心地位，基本數(shù)學(xué)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)技能則相對(duì)次要．學(xué)生在這個(gè)模塊里得到的“理性震撼”，則是基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分．
案例5突出數(shù)學(xué)基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的模塊：負(fù)負(fù)得正．19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家漢克爾早就告訴人們：在形式化的算術(shù)中，“負(fù)負(fù)得正”是不能證明的．雖然可以從整數(shù)公理出發(fā)導(dǎo)出負(fù)負(fù)得正，但那也不過是用人為的公理設(shè)置保證其成立而已從數(shù)學(xué)本源上看，負(fù)負(fù)得正，是前人提出的一項(xiàng)人為的α規(guī)定．這里沒有什么情景可以創(chuàng)設(shè)，作為基本知識(shí)接受下來就是．這是一種基本技能，但操作起來也非常方便．至于負(fù)負(fù)得正的數(shù)學(xué)思想方法，則要提升到“有理數(shù)系”的公理化的高度來認(rèn)識(shí)，在基礎(chǔ)教育中難以實(shí)現(xiàn)．剩下的問題是如何調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來幫助他們確認(rèn)和理解．既然這種確認(rèn)的手段不能用邏輯證明法，也不能從現(xiàn)實(shí)情景中得到證實(shí)（用火車向東的路程為正、向西為負(fù)；12時(shí)以后為正、以前為負(fù)的例子，往往越說越糊涂）．以下借助一些生活常理，即日常生活經(jīng)驗(yàn)作比擬，以求學(xué)習(xí)者能相信、接受這一規(guī)則，例如：
●反面的反面是正面；
●不得不做就是要做；
●左的反面是右，右的反面又是左；
●敵人的敵人是朋友；
●折紙活動(dòng)，折過去再折回來回到原地．
根據(jù)這些道理，可以使學(xué)生確認(rèn)負(fù)負(fù)得正。事實(shí)上，將日常經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。體驗(yàn)了，合理解釋了，接受了就好，無需證明．
案例6突出基本技能演練的模型：因式分解【4】．
因式分解是將代數(shù)式進(jìn)行“和差化積”的基本技能．這項(xiàng)技能絕難引入“實(shí)際情景”加以詮釋，也沒有方法在一開始就闡明因式分解的意義和價(jià)值（往往到一元二次方程求解時(shí)才顯出其作用），完全是為以后的代數(shù)方程的求解做準(zhǔn)備的．但是，如何進(jìn)行因式分解，則和數(shù)學(xué)思想方法緊密相關(guān)，李庾南老師設(shè)計(jì)了3個(gè)嘗試題： (1)a2b+ ab2，(2) x2-4，(3)m2－m－．
讓學(xué)生嘗試將這些具體的代數(shù)式設(shè)法進(jìn)行“和差化積”．學(xué)生可以成功也可能失敗，于是李庾南教師進(jìn)行啟發(fā)誘導(dǎo)：我們能不能“逆向”使用乘法分配律？“逆向”運(yùn)用 平方差公式”？“逆向”使用平方和公式？經(jīng)過點(diǎn)撥，學(xué)生恍然大悟，將這3個(gè)嘗試題中的多項(xiàng)式 化成了兩個(gè)單項(xiàng)式的相乘．有了“公式和規(guī)律”逆向使用的基本數(shù)學(xué)方法作為指導(dǎo)，因式分解的本質(zhì)就顯得十分簡單了，以后的任務(wù)便是大量的變式練習(xí)，學(xué)習(xí)技巧，形成熟練的因式分解運(yùn)算能力．因式分解模塊，技能訓(xùn)練為主，點(diǎn)睛之筆是“逆向思維方法，在課堂上只有幾分鐘，意義非凡，
案例7定理證明中的綜合運(yùn)用型模塊：正弦定理．正弦定理是高中三角學(xué)中的—個(gè)基本定理：在△ABC中，有
近來的一些公開課上，讓學(xué)生量一量3邊之長，3個(gè)角的正弦值，作比，誘導(dǎo)出要求的結(jié)果．這是敗筆，要讓學(xué)生掌握真正的數(shù)學(xué)思想方法，就應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生觀察高h進(jìn)入模塊構(gòu)造階段：
(1) 同一個(gè)h，可以有兩種不同的表示(如圖3)
(2) sinB=
同一對(duì)象的兩種不同表示， 相當(dāng)于在兩個(gè)不同的事物之間架起了彼此聯(lián)系的橋梁，這時(shí)，往往是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的契機(jī)，這一數(shù)學(xué)方法是學(xué)習(xí)正弦定理的有機(jī)組成部分．
(2)借助面積重復(fù)“同一對(duì)象兩種表示”的數(shù)學(xué)方法．
由三角形的面積公式得出：
(3)聯(lián)系平面幾何的定理：三角形大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊．這是定性的結(jié)果，正弦定理則是定量的結(jié)論．在銳角情形，大角的正弦值大，小角的正弦值小，但是3個(gè)邊長與其對(duì)角的正弦之比是定值，這又是一種數(shù)學(xué)思想方法的解說．
(4)如果將角B、C的正弦sinB、sinC看做是AB、AC在h上投影所打的折扣率（投影之后都變短了）．那么正弦定理的內(nèi)涵看得更加深刻．
以上的說明，就是用數(shù)學(xué)思想方法不斷地加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解．
(5)分類討論，對(duì)于鈍角三角形的討論，若△ABC的B為鈍角(如圖4).
CD上AB，交AB于D，則
這樣，就以數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基本知識(shí)的交叉中（輔之以一定量的練習(xí)，這里不贅）構(gòu)建起來一個(gè)四基數(shù)學(xué)模塊．
案例8實(shí)際情境創(chuàng)設(shè)中的四基模塊：巨人的手．
H．弗賴登塔爾有一個(gè)關(guān)于相似形的著名情景[5].“昨晚一位外星人訪問我校，在黑板上留下了一個(gè)巨大的手印，今晚他還要來，請(qǐng)問他看的書有多大？坐的椅子有多高？”
這一情景誘發(fā)出一系列的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，同時(shí)有交替地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，結(jié)合基本知識(shí)和基本技能的培養(yǎng)，構(gòu)成四基數(shù)學(xué)模塊．以下是一個(gè)具體的步驟設(shè)計(jì)：巨人的手好大哎！他用的書一定也很大．（素樸的相似數(shù)學(xué)方法，與生活常識(shí)發(fā)生聯(lián)想）到底大多少，看巨人的手比我的手大多少就行了．（相似數(shù)學(xué)思想的量化）
那就量一量吧，量出巨人和我的中指的長度作為標(biāo)準(zhǔn)．（測(cè)量的技能，也是數(shù)學(xué)活動(dòng)）
現(xiàn)在量得了巨人的中指長a，我的中指長b，還有我的數(shù)學(xué)書的寬度c．那就可以推出巨人所看書的寬度d了．（這是相似比的知識(shí)和相似變換數(shù)學(xué)方法，比的計(jì)算技能．） 同樣可以推出書的長度e．（類比數(shù)學(xué)方法，計(jì)算技能）最后，把巨人要用的書的長度和寬度畫在黑板上．（數(shù)學(xué)基本活動(dòng)）
這些數(shù)學(xué)活動(dòng)中滲透著豐富的數(shù)學(xué)思想方法．教學(xué)中適當(dāng)?shù)靥釤?、總結(jié)、使得生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)活動(dòng)，充滿著數(shù)學(xué)方法的氛圍．四基數(shù)學(xué)模塊就建立起來了．
案例9積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的模塊：立體幾何與獎(jiǎng)杯制作．
基本數(shù)學(xué)經(jīng)除了在日常數(shù)學(xué)探究、演練、反思中積累之外，還應(yīng)該主動(dòng)設(shè)計(jì)一些課堂活動(dòng)，幫助學(xué)生體察數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)思維之妙，
一個(gè)很好的例子是在學(xué)習(xí)球體、柱體、椎體之后，用這些幾何圖形制作本班運(yùn)動(dòng)會(huì)的獎(jiǎng)杯，既要美觀，還要注明各個(gè)部分的尺寸．這是數(shù)學(xué)和人文相結(jié)合的教學(xué)案例．（上海華東師大二附中鄭耀星提供）
案例10形成重大數(shù)學(xué)方法的模塊：坐標(biāo)系與數(shù)形結(jié)合．
笛卡兒坐標(biāo)系的建立，是重要的基本數(shù)學(xué)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)技能，也為數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法提供了舞臺(tái)．建立直角坐標(biāo)系是一個(gè)重要的四基模塊．這是一個(gè)螺旋上升的過程，其中充滿了許多數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，不過常常被忽略．
第一循環(huán)：坐標(biāo)表示位置．第幾排第幾座可以確定一個(gè)位置，來源于生活常識(shí)，不教也會(huì)．許多課程設(shè)計(jì)花費(fèi)大量時(shí)間操練實(shí)屬多余，不過，這畢竟是數(shù)學(xué)結(jié)合思想的起點(diǎn)，
第二循環(huán)：原點(diǎn)的建立．生活中是沒有0排，也沒有0座的．但是，刻度尺是從零開始的，如果教室中學(xué)生的課桌是從1排1座開始，那么教師應(yīng)當(dāng)問，老師的講臺(tái)是第幾排：0排．學(xué)過分?jǐn)?shù)就知道坐標(biāo)可以是小于1的分?jǐn)?shù)，所以要從零開始畫坐標(biāo)．（這里有數(shù)系構(gòu)造的思想．）
第三循環(huán)：初中引入負(fù)數(shù)以后，涉及數(shù)直線．這時(shí)，實(shí)數(shù)和數(shù)直線之間建立一一對(duì)應(yīng)成為基礎(chǔ)，其證明涉及線段的不可公度理論，非常紛繁．不求證明，當(dāng)作教學(xué)平臺(tái)接受下來就是了，但是數(shù)學(xué)思想方法的要點(diǎn)不可忽略，完整的數(shù)直線概念是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物，
第四循環(huán)：表示數(shù)學(xué)對(duì)象．坐標(biāo)方法的價(jià)值不能限于確定位置這樣的淺近理解，必須提升到“表示數(shù)學(xué)對(duì)象”的高度來認(rèn)識(shí)．上海長寧區(qū)的老師，初中坐標(biāo)系的課程設(shè)計(jì)，是把課桌椅并攏，將兩根帶箭頭的長繩直角交錯(cuò)，以某同學(xué)為原點(diǎn)，于是學(xué)生都有一對(duì)數(shù)作為坐標(biāo)了．然后令兩個(gè)坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)的同學(xué)站起來（第三象限），兩個(gè)坐標(biāo)相等的同學(xué)站起來（一條直線）等，這是數(shù)形結(jié)合思想的精髓，
第五循環(huán)：表示函數(shù)圖像，數(shù)學(xué)結(jié)合思想的主要運(yùn)用，
第六循環(huán)：曲線與方程．解析幾何，數(shù)學(xué)結(jié)合思想的高峰．
第七循環(huán)：數(shù)學(xué)結(jié)合思想的熟練運(yùn)用．一個(gè)教師編擬了這樣的一道題“已知：a、b、c∈ R+，求證：
用代數(shù)方法讓學(xué)生碰得頭破血流，最后迫使學(xué)生使用三角形兩邊大于第三邊的幾何思考方法來解決此題，數(shù)形結(jié)合方法在這一時(shí)刻作點(diǎn)撥，效益大增，坐標(biāo)系和數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)成的模塊，始于生活常識(shí)和小學(xué)，一直延伸到高中的解析幾何，是多次循環(huán)的結(jié)果．
以上初步探討了“四基”互相模塊的形成，特別是注意數(shù)學(xué)思想方法這一維度的介入和展開，只有把數(shù)學(xué)思想方法嵌入日常的教學(xué)之中，成為教師備課的有機(jī)組成部分，四基數(shù)學(xué)教學(xué)才能真正落到實(shí)處．
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摘自《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》2011第5期
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