縱觀幾千年的數(shù)學(xué)發(fā)展史，人們眼前展現(xiàn)了一幅壯觀的景象：在科學(xué)世界里，一條長(zhǎng)江大河從涓涓細(xì)流的源頭開(kāi)始，不斷會(huì)聚各路支流，越來(lái)越浩浩蕩蕩，終成今日洶涌澎湃之勢(shì)。
是什么力量在推動(dòng)數(shù)學(xué)長(zhǎng)河奔騰向前呢？我們認(rèn)為，推動(dòng)數(shù)學(xué)的主要力量有三股——社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展、數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾和數(shù)學(xué)家們的努力。
一、社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展
恩格斯指出：“科學(xué)的發(fā)生和發(fā)展，一開(kāi)始就是由生產(chǎn)決定的”，這里的生產(chǎn)是指人們使用工具來(lái)創(chuàng)造各種生產(chǎn)資料和生活資料。數(shù)學(xué)作為研究客觀物質(zhì)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)，它的發(fā)生和發(fā)展也是由生產(chǎn)決定的。
盡管數(shù)與形的最初觀念可以追溯到原始社會(huì)，但是由于當(dāng)時(shí)生產(chǎn)水平的低下，雖然經(jīng)歷了上萬(wàn)年的漫長(zhǎng)時(shí)間，也只積累了一些零碎的、萌芽的數(shù)學(xué)知識(shí)。到了古希臘奴隸社會(huì)最發(fā)達(dá)時(shí)期，社會(huì)生產(chǎn)有了較大發(fā)展，幾何學(xué)才取得了決定性的進(jìn)步。
文藝復(fù)興時(shí)期，機(jī)械的廣泛使用，航海事業(yè)的迅速發(fā)展，以及我國(guó)四大發(fā)明的傳播，促成了西歐生產(chǎn)的巨大變化，推動(dòng)了自然科學(xué)的迅速發(fā)展。在這時(shí)期，在意大利的封建社會(huì)中，代數(shù)學(xué)取得了快速的發(fā)展。
17世紀(jì)歐洲生產(chǎn)的發(fā)展，促進(jìn)了力學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，從而向數(shù)學(xué)提出了從一般的形態(tài)上研究運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。出于研究運(yùn)動(dòng)，變量的觀念產(chǎn)生了，并且成了數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，同時(shí)也產(chǎn)生了函數(shù)的概念。數(shù)學(xué)向研究變量和函數(shù)方面發(fā)展，隨后就產(chǎn)生了解析幾何、微積分等數(shù)學(xué)分支。
微積分的基本理論在實(shí)踐中的成功應(yīng)用，證明它反映了生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的某些客觀規(guī)律，數(shù)學(xué)終于在較短的時(shí)間里取得了輝煌的成就。在古化雖然已有了樸素的極限思想，但是那時(shí)候的生產(chǎn)水平低下，科學(xué)技術(shù)不發(fā)達(dá)，研究都停留在靜力學(xué)和固定不動(dòng)的范圍內(nèi)，不可能產(chǎn)生微積分。在中世紀(jì)，生產(chǎn)的客觀實(shí)際也不可能提出研究變量的問(wèn)題，因此那時(shí)候也不可能產(chǎn)生微積分。
1705年，英國(guó)物理學(xué)家紐可門(mén)制成了第一個(gè)能供實(shí)用的蒸汽機(jī)；1768年，瓦特制成了近代蒸汽機(jī)。由此引起的工業(yè)革命，大大提高了人類(lèi)社會(huì)生產(chǎn)力，從而促進(jìn)了十八、十九世紀(jì)數(shù)學(xué)的大繁榮。
20世紀(jì)40年代，生產(chǎn)力得到進(jìn)一步發(fā)展，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。1945年，第一顆原子彈爆炸、第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世；1957年，第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功。超高溫、超高壓、微觀、宏觀及大科學(xué)出現(xiàn)，于是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展神速、碩果累累。
有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為：1940年以后的數(shù)學(xué)成就，超過(guò)了從古希臘到1940年間2000多年的數(shù)學(xué)成就。純粹數(shù)學(xué)方面，出現(xiàn)了一些重大突破。應(yīng)用數(shù)學(xué)方面，涌現(xiàn)出一些新的分支，如計(jì)算數(shù)學(xué)、對(duì)策論、規(guī)劃論、運(yùn)籌學(xué)、信息論、控制論、生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等等；出現(xiàn)了系統(tǒng)科學(xué)；出現(xiàn)了各種數(shù)學(xué)新思潮，如非標(biāo)準(zhǔn)分析、模糊數(shù)學(xué)、突變理論、結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)、構(gòu)造數(shù)學(xué)等等；計(jì)算機(jī)科學(xué)、人工智能和機(jī)器證明也發(fā)展起來(lái)了。
自然界的種種現(xiàn)象是早已有之的，但人們對(duì)它們的認(rèn)識(shí)是隨著生產(chǎn)的發(fā)展而逐步深化、全面的，科學(xué)史就反映出這個(gè)艱難的歷程。在數(shù)學(xué)研究中，面對(duì)確定性現(xiàn)象，2000多年前就開(kāi)始建立“精確數(shù)學(xué)”(代數(shù)方程、微分方程等)；面對(duì)隨機(jī)性現(xiàn)象，400多年前開(kāi)始建立“隨機(jī)數(shù)學(xué)”(概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)等)，工業(yè)革命后大生產(chǎn)中的產(chǎn)品檢驗(yàn)問(wèn)題，大大推進(jìn)了概率、統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程等分支的發(fā)展；而面對(duì)模糊性現(xiàn)象，20多年前才開(kāi)始建立“模糊數(shù)學(xué)，可以毫不夸大地說(shuō)：沒(méi)有電子計(jì)算機(jī)便沒(méi)有模糊數(shù)學(xué)。
人類(lèi)的社會(huì)實(shí)踐包括生產(chǎn)斗爭(zhēng)、階級(jí)斗爭(zhēng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)三大運(yùn)動(dòng)，其中起決定作用的是生產(chǎn)斗爭(zhēng)。社會(huì)生產(chǎn)從三個(gè)方面推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，向數(shù)學(xué)提出新的問(wèn)題，刺激數(shù)學(xué)向這個(gè)或那個(gè)方向發(fā)展，為數(shù)學(xué)提供新的發(fā)展條件，就象為生物學(xué)家提供顯微鏡、為天文學(xué)家提供望遠(yuǎn)鏡那樣，現(xiàn)代生產(chǎn)與科技為數(shù)學(xué)家提供了電子計(jì)算機(jī)，推動(dòng)數(shù)學(xué)飛速發(fā)展。
雖然數(shù)學(xué)的理論往往具有非常抽象的形式，但是它們同時(shí)也是現(xiàn)實(shí)世界中量的關(guān)系和空間形式的深刻反映，因而可以廣泛地應(yīng)用到自然科學(xué)、技術(shù)部門(mén)、社會(huì)科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)際中去，對(duì)于人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然、改造自然起著重要的作用。這也是數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)于社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展所起的巨大的反作用，也是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的真理性的唯一標(biāo)準(zhǔn)。
綜上所述，數(shù)學(xué)的發(fā)展不能脫離社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展。在絕大多數(shù)情況下，前者依賴(lài)于后者，因而兩者的發(fā)展大體上是相適應(yīng)的。但是數(shù)學(xué)的發(fā)展也有相對(duì)的獨(dú)立性，有時(shí)落后于社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展，有時(shí)則超越社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展。例如，公無(wú)前3世紀(jì)的圓錐曲線經(jīng)過(guò)1800年，才在行星運(yùn)動(dòng)三定律中得到應(yīng)用；19世紀(jì)20年代的非歐幾何差不多100年后才在相對(duì)論中得到應(yīng)用；19世紀(jì)40年代的數(shù)理邏輯，一百年后才在電子計(jì)算機(jī)中得到廣泛應(yīng)用。這些理論走在實(shí)踐要求之前的發(fā)展，一般是由于純粹數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾運(yùn)動(dòng)推動(dòng)的結(jié)果。 二、數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾 整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是一部矛盾斗爭(zhēng)的歷史。數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾是推動(dòng)數(shù)學(xué)長(zhǎng)河滾滾向前的主要力量之一。 數(shù)學(xué)以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系作為自己研究的對(duì)家，為了在純粹形態(tài)上研究這些形式和關(guān)系，就必須和現(xiàn)實(shí)世界的內(nèi)容割裂開(kāi)來(lái)。但是，離開(kāi)內(nèi)容的形式和關(guān)系是不存在的。因此，數(shù)學(xué)按它的本質(zhì)企圖實(shí)現(xiàn)這種割裂，是企圖實(shí)現(xiàn)一種不可能的事情。這是在數(shù)學(xué)本質(zhì)中的根本矛盾，它是認(rèn)識(shí)的普遍矛盾在數(shù)學(xué)方面的特殊表現(xiàn)。在越來(lái)越接近現(xiàn)實(shí)的各個(gè)認(rèn)識(shí)階段上，不斷解決和重復(fù)上述矛盾，數(shù)學(xué)就不斷地前進(jìn)、發(fā)展，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由低級(jí)向高級(jí)。 人類(lèi)最早認(rèn)識(shí)的是自然數(shù)，引進(jìn)零和負(fù)數(shù)就經(jīng)過(guò)了斗爭(zhēng)：要么引進(jìn)這些數(shù)，要么大量的數(shù)的減法就行不通。同樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算—除法，否則許多實(shí)際問(wèn)題也不能解決。 但是接著又出現(xiàn)了這樣的問(wèn)題：是否所有的量都能夠用有理數(shù)來(lái)表示？發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)并最終使得第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，促使了邏輯的發(fā)展和幾何學(xué)的系統(tǒng)化。方程解的問(wèn)題導(dǎo)致虛數(shù)的出現(xiàn)，虛數(shù)從一開(kāi)始就被認(rèn)為是“不實(shí)的”，可是這種不實(shí)的數(shù)卻解決了實(shí)數(shù)所不能解決的問(wèn)題，從而為自己爭(zhēng)得了存在的權(quán)利。數(shù)學(xué)就是這樣在矛盾斗爭(zhēng)中發(fā)展的。幾何學(xué)從歐幾里得幾何的一統(tǒng)天下發(fā)展到多種幾何，也是如此。 在19世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了許多用傳統(tǒng)方法不能解決的問(wèn)題，如五次及五次以上代數(shù)方程不能通過(guò)加、減、乘、除、開(kāi)方求出根來(lái)；古希臘幾何三大問(wèn)題不能通過(guò)圓規(guī)和直尺作圖來(lái)解決等等。這些否定的結(jié)果表明了傳統(tǒng)方法的局限性，也反映了人類(lèi)認(rèn)識(shí)的深入。 這些發(fā)現(xiàn)給有關(guān)學(xué)科帶來(lái)了極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。例如，代數(shù)學(xué)從此以后向抽象代數(shù)的方面發(fā)展，而求解方程的根也變成了分析及計(jì)算數(shù)學(xué)的課題。在第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，這種情況也多次出現(xiàn)，尤其是包含整數(shù)算術(shù)在內(nèi)的形式系統(tǒng)的不完全性、許多問(wèn)題的不可判定性，都大大提高了人們的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了數(shù)理邏輯的大發(fā)展。 由無(wú)窮小量的矛盾引起的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，反映了數(shù)學(xué)內(nèi)部的有限與無(wú)窮的矛盾。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)涉及集合論和數(shù)理邏輯，但它一開(kāi)始就牽涉到無(wú)窮集合，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)脫離無(wú)窮集合就寸步難行。一種極端的觀點(diǎn)是只考慮有限集合或至多是可數(shù)的集合，不過(guò)這樣一來(lái)絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)將不復(fù)存在。 即使這些有限數(shù)學(xué)的內(nèi)容也有許多要涉及無(wú)窮的方法，有很多的數(shù)學(xué)證明都要用有限的步驟解決涉及無(wú)窮的問(wèn)題。借助于計(jì)算機(jī)完成的四色定理的證明，首先也要把無(wú)窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形。對(duì)于無(wú)窮，計(jì)算機(jī)也是無(wú)能為力的?？梢?jiàn)數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)回避不了有限與無(wú)窮這對(duì)矛盾，可以說(shuō)它是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。 數(shù)學(xué)中也一直貫穿著應(yīng)用上清楚與邏輯上嚴(yán)格的矛盾。在這方面，比較注意實(shí)用的數(shù)學(xué)家盲目應(yīng)用，而比較注意嚴(yán)密的數(shù)學(xué)家則提出批評(píng)。只有這兩方面取得協(xié)調(diào)一致，矛盾才能解決。例如，算符演算及δ函數(shù)，開(kāi)始是形式演算，任意應(yīng)用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數(shù)論的嚴(yán)整系統(tǒng)。微積分的應(yīng)用與極限論的建立更是眾所周知的。 在數(shù)學(xué)史中，一直存在著經(jīng)常起作用的兩種重要趨勢(shì)：一種是學(xué)科不斷分化的趨勢(shì)，另一種是學(xué)科不斷綜合的趨勢(shì)。這兩種矛盾的趨勢(shì)的辨證運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)為一個(gè)否定之否定的過(guò)程。 自然界作為一個(gè)無(wú)限多樣性的統(tǒng)一整體，通過(guò)感覺(jué)和知覺(jué)進(jìn)入人類(lèi)的意識(shí)。古時(shí)候，數(shù)學(xué)是在總體的數(shù)和形的關(guān)系上把握自然界的，算術(shù)、代數(shù)、幾何沒(méi)有彼此分開(kāi)，任何一本數(shù)學(xué)名著都包括了這三方面的內(nèi)容，并且把它們?nèi)芑谝黄?。因此，古代的?shù)學(xué)本質(zhì)上是一種感性直觀的關(guān)于數(shù)和理的綜合的科學(xué)。 從17世紀(jì)產(chǎn)生解析幾何和微積分以后，學(xué)科分化的趨勢(shì)一直居于主導(dǎo)地位。單一的未經(jīng)分化的學(xué)科向許多專(zhuān)門(mén)分支學(xué)科發(fā)展，每一門(mén)學(xué)科所研究的又都是具體完整的數(shù)學(xué)中數(shù)與形的某一個(gè)方面。這種不斷分化，到19世紀(jì)下半葉達(dá)到了相當(dāng)精細(xì)的程度，代數(shù)、幾何、分析等學(xué)科已經(jīng)形成了各自不同的研究領(lǐng)域，特別是分析領(lǐng)域的發(fā)展更是蓬蓬勃勃。每個(gè)學(xué)科都可以互不聯(lián)系地單獨(dú)向前發(fā)展，各學(xué)科在理論、語(yǔ)言、方法等方面可以互不相通，根本談不上統(tǒng)一的數(shù)學(xué)的圖景。 從1872年克萊因用“群”的觀點(diǎn)統(tǒng)一各種幾何開(kāi)始，到康托爾建立集合論和公理化運(yùn)動(dòng)，越來(lái)越分化的數(shù)學(xué)走向綜合的趨勢(shì)逐漸明顯。到20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)學(xué)科的分化和綜合都明顯加快了。從20年代起，特別是第二次世界大戰(zhàn)后，綜合的趨勢(shì)已占主導(dǎo)地位。學(xué)科的繼續(xù)分化實(shí)際上已經(jīng)是綜合趨勢(shì)的一種表現(xiàn)形式，因?yàn)樾聦W(xué)科的不斷出現(xiàn)正在越來(lái)越消除各學(xué)科之間的傳統(tǒng)界限。對(duì)于數(shù)和形的深入認(rèn)識(shí)，更多地采用多學(xué)科的方法的綜合認(rèn)識(shí)形式。因此，各門(mén)學(xué)科更加緊密地聯(lián)系起來(lái)?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的辨證法就是這樣的，越是理解了整體的各個(gè)方面，就越是接近于綜合地把握整體。 也許將來(lái)會(huì)出現(xiàn)一種公認(rèn)的新觀點(diǎn)，把目前的數(shù)學(xué)統(tǒng)一起來(lái)。但是，這種統(tǒng)一只是暫時(shí)的、相對(duì)的。隨著生產(chǎn)和科技的發(fā)展，又會(huì)產(chǎn)生新的問(wèn)題，形成新的分支，促進(jìn)新的分化。數(shù)學(xué)將在這種不斷的分化和綜合中不斷前進(jìn)。般是由于純粹數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾運(yùn)動(dòng)推動(dòng)的結(jié)果。
三、數(shù)學(xué)家們的努力
數(shù)學(xué)作為一門(mén)科學(xué)，它不是任何一個(gè)歷史時(shí)代、任何一個(gè)民族單獨(dú)的產(chǎn)物，而是若干個(gè)時(shí)代，許多民族的共同產(chǎn)物。經(jīng)過(guò)4000多年世界各民族的共同努力，數(shù)學(xué)才發(fā)展到今天邊樣的規(guī)模。
推動(dòng)數(shù)學(xué)前進(jìn)的力量，無(wú)論是社會(huì)生產(chǎn)的發(fā)展，還是數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾，說(shuō)到底都離不開(kāi)人民，特別是離不開(kāi)作為他們之中優(yōu)秀代表人物的古今中外數(shù)學(xué)家們的努力奮斗。在數(shù)學(xué)史中，幾千位著名的數(shù)學(xué)家作出了可貴的貢獻(xiàn)；幾十萬(wàn)名數(shù)學(xué)研究人員作出了必要的探索；數(shù)千萬(wàn)數(shù)學(xué)教育工作者和實(shí)際應(yīng)用者為數(shù)學(xué)的傳播和應(yīng)用建立了功勛。
我國(guó)的《疇人傳》包括400多位天文、數(shù)學(xué)家的傳記，其中占篇幅最多的是僧一行，他是唐代最著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。僧是和尚、一行是法號(hào)，原名張遂，天賦聰敏、潛心窺測(cè)，717年他來(lái)到京城長(zhǎng)安，為唐玄宗顧問(wèn)。他把數(shù)學(xué)與天文學(xué)結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)造了世界上最早的不等間距二次內(nèi)插法公式；他組織并領(lǐng)導(dǎo)的在全國(guó)12個(gè)點(diǎn)對(duì)北極高度和日影長(zhǎng)短的測(cè)量，是世界上第一次對(duì)子午線的實(shí)測(cè)；他對(duì)歷法科學(xué)作出了重要的貢獻(xiàn)，推算出“開(kāi)元大衍歷”，后世有人稱(chēng)贊它“歷千古而無(wú)差”。可惜他的著作后來(lái)全部散失了。
我國(guó)數(shù)學(xué)家中在世界上聲名最高的，是南北朝的祖沖之(429～500年)。他是世界上最早計(jì)算圓周率π精確到6位小數(shù)的人，并且保持了這項(xiàng)世界紀(jì)錄將近1100年。他從小喜歡鉆研天文、數(shù)學(xué)，博覽群書(shū)，重視實(shí)踐，經(jīng)常提出大膽的想法，再通過(guò)實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)這些想法是否正確。祖沖之和他的兒子合撰的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《綴術(shù)》，核定為唐朝學(xué)校的教材。中世紀(jì)時(shí)，日本、朝鮮的學(xué)校也采用它作為課本，可惜這部書(shū)后來(lái)失傳了。為紀(jì)念祖沖之在圓周率及其它方面的貢獻(xiàn)，莫斯科大學(xué)建立了他的塑像，與世界其它著名科學(xué)家的塑像一起受到人們的敬仰。蘇聯(lián)科學(xué)家還把月球上的一個(gè)環(huán)形山命名為祖沖之環(huán)形山，真可謂名揚(yáng)九天。
宋元時(shí)代的朱世杰被譽(yù)為“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”。他曾四處流浪，周游湖海20多年，長(zhǎng)期靠教授數(shù)學(xué)來(lái)維持生活，“踵門(mén)而學(xué)者云集”。他的名著《算學(xué)啟蒙》三卷(1299年)和《四元寶鑒》三卷(1303年)是我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要里程碑。前者創(chuàng)立了代數(shù)加法和乘法的正負(fù)法則；后者把天元術(shù)推廣為“四元術(shù)”(四元高次聯(lián)立方程解決)，而歐洲到1775年才提出同樣的解法?！端脑獙氳b》開(kāi)頭所載“古法七乘方圖”與“楊輝三角”具有同等重要的世界意義。朱世杰對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和問(wèn)題進(jìn)行了討論，得出了高次差的內(nèi)插公式(四次“招差術(shù)”)，這實(shí)質(zhì)上已相當(dāng)于1676～1678年間牛頓的一段內(nèi)插公式。
在中國(guó)數(shù)學(xué)史上，著述最多的數(shù)學(xué)家是梅文鼎(1683～1721年)。梅文鼎，字定九，號(hào)勿庵，安徽宣城人。他自動(dòng)喜愛(ài)天文學(xué)、數(shù)學(xué)。自29歲起，數(shù)十年學(xué)問(wèn)與年俱進(jìn)，是十七八世紀(jì)之交中國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家。他在歷學(xué)方面，深究中國(guó)古代70余家歷法，而后與西歷會(huì)通；在數(shù)學(xué)方面，先習(xí)籌算、筆算、三角、對(duì)數(shù)，而后發(fā)揮少?gòu)V、方程及勾股諸術(shù)，集其大成，自成一家。
梅文鼎的著述，據(jù)他所著的《勿庵歷算書(shū)目》所載，共88種，達(dá)二百余卷，其中已刊者33種計(jì)70卷。在這些歷算書(shū)中，數(shù)學(xué)著作占了三分之二，包括了初等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。他的孫子梅轂成，自幼跟他受到良好的數(shù)學(xué)教育，1712年23歲時(shí)入宮學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和天文，次年任蒙養(yǎng)齋匯編官，主編《數(shù)理精蘊(yùn)》。
1761年，梅轂成把其祖父的著作編成《梅氏叢書(shū)輯要》，共收33種計(jì)60卷，附梅轂成自己所著二卷，其中數(shù)學(xué)書(shū)40卷。象這樣祖孫三代大有作為的數(shù)學(xué)家之家，在世界數(shù)學(xué)史上也是罕見(jiàn)的?？梢耘c之媲美的只有是差不多同時(shí)代的瑞士伯努里家族。
世界數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家是瑞士的歐拉(1707～1783年)。他一生中，共發(fā)表530本(篇)書(shū)(論文)，死后47年中，又陸續(xù)出版了他留下的許多書(shū)稿，從而發(fā)表他的著作達(dá)到886本(篇)之多。歐拉的一生幾乎全部從事數(shù)學(xué)研究，涉及的范圍很廣。1735年，他不幸瞎了一只眼睛；1766年，另一只眼睛也瞎了，但這些都沒(méi)有阻礙他的鉆研和創(chuàng)作。雙目失明的歐拉，讓別人筆錄下他的研究成果，借這一種稀有的記憶力，頑強(qiáng)而艱苦地奮斗著。他能在最嘈雜的擾亂中，精力高度集中地進(jìn)行創(chuàng)造性的工作。
使人感到驚訝和欽佩的，不僅是歐拉的著作是如此之多，而是他的文字通俗易懂、使用的符號(hào)先進(jìn)新穎。下述記號(hào)的正規(guī)化，都應(yīng)該歸功于歐拉：f(x)表示函數(shù)；e表示自然對(duì)數(shù)的底；a、b、c表示ΔABC的三條邊；∑表示求和；i表示虛單位……。
還有最著名的歐拉公式，這個(gè)關(guān)系式聯(lián)系著數(shù)學(xué)中最重要的五個(gè)數(shù)e、π、i、1、0，是數(shù)學(xué)中最美妙的公式。很多數(shù)學(xué)家都懷著尊敬的心情贊美歐拉：“讀讀歐拉，他是我們一切人的名師”(拉普拉斯)、“對(duì)歐拉工作的研究將仍舊是對(duì)于數(shù)學(xué)的不同范圍的最好的學(xué)校，并且沒(méi)有任何別的可以替代它”(高斯)。瑞士自然科學(xué)學(xué)會(huì)從1907年開(kāi)始出版《歐拉全集》，用了四十年才出齊73本。
名列第二位的多產(chǎn)數(shù)學(xué)家，不是法國(guó)的柯西，就是英國(guó)的凱雷。但要認(rèn)真地確定誰(shuí)該享有這份榮譽(yù)，恐怕要計(jì)算出版物的頁(yè)數(shù)。例如柯西的全集，除幾本書(shū)外，包括789篇論文，其中有些是巨著，計(jì)有24本大四開(kāi)本。
世界上第一位女?dāng)?shù)學(xué)家是希臘的希帕提亞(310～415年)，她是數(shù)學(xué)家泰奧思的女兒，寫(xiě)過(guò)關(guān)于阿波羅尼和丟番圖的評(píng)注本。而世界上最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家是德國(guó)的諾特(1882～1935年)，她生于猶太家庭，父親也是著名的數(shù)學(xué)家。1900年，她進(jìn)入愛(ài)爾蘭根大學(xué)，在近千名學(xué)生中只有兩名女性。在戈丹的指導(dǎo)下，諾特完成了博士論文《三元雙二次型不變量的完全系》。1916年，諾特來(lái)到哥廷根。那時(shí)希爾伯特正從事廣義相對(duì)論的研究，諾特在這方面做了出色的工作，被后人稱(chēng)之為物理學(xué)中的諾特定理。
然而，大學(xué)里對(duì)婦女的歧視是一個(gè)嚴(yán)重問(wèn)題。希爾伯特多次要求校方給她講師的職稱(chēng)，可是格廷根的哲學(xué)教授會(huì)議(數(shù)學(xué)是哲學(xué)的一部分)中的語(yǔ)言學(xué)家和歷史學(xué)家極力反對(duì)。
1919～1922年間，諾特走上了她自已獨(dú)特的發(fā)展道路，研究環(huán)中的理想論。她對(duì)抽象代數(shù)的貢獻(xiàn)是劃時(shí)代的，她的一般理想論可說(shuō)是哥廷根代數(shù)學(xué)派的代表作。1922年，諾特成了一名特別教授，但只不過(guò)是一個(gè)空名。她當(dāng)時(shí)開(kāi)一門(mén)代數(shù)課，從學(xué)生交付的學(xué)費(fèi)中取一份很少的薪金。
由于納粹德國(guó)迫害猶太人，1933年諾特來(lái)到美國(guó)費(fèi)城任教，不幸于1935年病逝。大物理學(xué)家愛(ài)因斯坦在《紐約時(shí)報(bào)》撰文紀(jì)念，文中說(shuō)：“諾特女士是自婦女受到高等教育以來(lái)最重要的最富于創(chuàng)造性的天才”。
在數(shù)學(xué)史上，有不少著名的數(shù)學(xué)學(xué)派，它們是由志同道合的數(shù)學(xué)家組成的學(xué)術(shù)團(tuán)體，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了特殊的貢獻(xiàn)。這里要簡(jiǎn)略介紹一下對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)有巨大影響的布爾巴基學(xué)派。
第一次世界大戰(zhàn)給法國(guó)科學(xué)事業(yè)帶來(lái)了災(zāi)難性的破壞，法國(guó)數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了青黃不接、后繼乏人的局面。老一輩法國(guó)數(shù)學(xué)家雖然曾經(jīng)在分析、函數(shù)論方面作出過(guò)杰出成績(jī)，但都是60歲上下的人，而且對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)一般只有相當(dāng)含糊的觀念，對(duì)德國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)派的優(yōu)秀成果、對(duì)迅速發(fā)展的蘇聯(lián)學(xué)派以及誕生不久就紅極一時(shí)的波蘭學(xué)派都毫無(wú)所知。法國(guó)數(shù)學(xué)落后了。
1924年前后，一批十八九歲的青年進(jìn)入巴黎高等師范學(xué)院的數(shù)學(xué)系。這批年青人中有狄多涅、韋伊、亨·嘉當(dāng)?shù)热?。他們不滿(mǎn)足法國(guó)數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀，要把觸角伸向“函數(shù)論王國(guó)”之外，決心發(fā)動(dòng)“革命”，振興法國(guó)數(shù)學(xué)。
1932年，這批青年人“秘密”組成了一個(gè)小組，以法國(guó)十九世紀(jì)一位將軍布爾巴基的名字命名。后來(lái)又增添了幾位成員，比較固定的成員在十人左右。他們瞄準(zhǔn)了世界先進(jìn)水平，如饑似渴地大量閱讀，刻苦研討最新發(fā)表的數(shù)學(xué)論文，分析數(shù)學(xué)發(fā)展中大量新概念，每年聚會(huì)多次，熱烈爭(zhēng)鳴，嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)。他們還走出國(guó)界，直接傾聽(tīng)國(guó)外優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的講學(xué)和介紹，學(xué)習(xí)最先進(jìn)的知識(shí)。他們方向?qū)︻^，敢想敢于，不久就在深入研究現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，形成了自己的獨(dú)創(chuàng)的觀點(diǎn)——數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，并用以統(tǒng)一概括現(xiàn)代純粹數(shù)學(xué)的新成果，把法國(guó)的數(shù)學(xué)水平推到世界的前列。
從1939年起，他們開(kāi)始出版《數(shù)學(xué)原本》。這是一套關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的綜合性叢書(shū)的第1卷，此叢書(shū)直到1972年出版第34卷時(shí)，仍未宣布終止。這套數(shù)學(xué)叢書(shū)標(biāo)志著布爾巴基學(xué)派的誕生，他們?cè)炀土艘淮笈笪籂?、狄多涅、歇瓦菜、德?tīng)柹烫?、嘉?dāng)?shù)仍诖鷶?shù)幾何、拓?fù)淇臻g、泛函分析、李群、可換環(huán)、多復(fù)變函數(shù)論等數(shù)學(xué)領(lǐng)城作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。
布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義觀點(diǎn)，在50～60年代盛極一時(shí)，在中學(xué)教材改革中曾被奉為經(jīng)典。70年代以來(lái)，結(jié)構(gòu)主義觀點(diǎn)開(kāi)始走下坡路，受到了批評(píng)，認(rèn)為它一味追求形式主義的公理化，脫離實(shí)際，為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)，忽視了數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的聯(lián)系，在初等數(shù)學(xué)中過(guò)早引入抽象概念等等。
但是，布爾巴基學(xué)派富于創(chuàng)造的精神是令人敬佩的，他們的治學(xué)態(tài)度是十分嚴(yán)肅的，一卷著作甚至推倒重寫(xiě)10遍，經(jīng)過(guò)10多年才去付印?！稊?shù)學(xué)原本》僅第一部分就花了30年才正式出版。他們嚴(yán)格要求自己，既要有廣泛的興趣、深厚的基礎(chǔ)，又要有獨(dú)立作戰(zhàn)的精神，一絲不茍的態(tài)度，這些都是他們成功的原因。
“史可為鑒”，“它山之石，可以攻玉”。愿古今中外數(shù)學(xué)家們?cè)谕苿?dòng)數(shù)學(xué)前進(jìn)中煥發(fā)出來(lái)的精鐘力量，化作青年朋友們的寶貴財(cái)富，為中華在各個(gè)領(lǐng)域的新頓起而奮斗！
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