起源于古希臘的幾何學(xué)理念在兩千多年以來一直貫穿在人類的思想中，不管是科學(xué)還是哲學(xué)，甚至政治和藝術(shù)都是幾何學(xué)思想的結(jié)晶。
但是，19 世紀(jì)初，幾何學(xué)卻經(jīng)歷了一場革命：人們發(fā)現(xiàn)，空間不一定非得是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德描述的那樣，還可以有完全不同的幾何學(xué)。
那今天，超模君來跟大家講講這一革命性的認(rèn)識(shí)是如何影響哲學(xué)、科學(xué)、文化和藝術(shù)的。
歐幾里德的世界
讓我們先做一個(gè)實(shí)驗(yàn)吧：想象一個(gè)平面，上面有一條直線L和一個(gè)不在L上的點(diǎn)P。平面上有多少條線平行于直線L并經(jīng)過點(diǎn)P？
有多少條線經(jīng)過點(diǎn) P 并平行于直線 L？
如果你的答案是“顯然只有一條”，那么你的直覺就是歐幾里德式的。歐幾里德也相信經(jīng)過直線外一點(diǎn)只可能有一條直線與已知直線平行（歐幾里得“證明”了該命題，但它實(shí)際上是不能由歐幾里得幾何中的其他公理和定理導(dǎo)出的，只能作為歐幾里德幾何系統(tǒng)中的第五條公設(shè)，歐幾里得公設(shè)如下）。
歐幾里德公設(shè)：
1 任意兩點(diǎn)必定可以用一條直線連接。
2 一條有限直線可以無限延長。
3 以任一點(diǎn)為圓心，任一長度為半徑可以作一個(gè)圓。
4 所有直角彼此相等。
5 如果一條直線與兩條直線相交，同一側(cè)的內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角，則兩條直線在無限延長后，在該側(cè)相交。（這條公設(shè)與“過直線外一點(diǎn)只可能有一條直線與已知直線平行”互相等價(jià)，可以證明。）
但是如果你考慮在一個(gè)不是平面的表面上的線呢？下圖展示了一個(gè)稱為“雙曲拋物面”的鞍形面：
該模型上繪制的線是拋物面的“直線”：它們是點(diǎn)間距離最短的路徑。但是請(qǐng)注意，粉線和黃線都平行于藍(lán)線，而它們都經(jīng)同一個(gè)點(diǎn)。更重要的是，藍(lán)色和黃色的平行線并非與平面上的平行線一樣處處距離相等。
事實(shí)證明，雙曲拋物面上也可以形成一個(gè)完全合理、自洽的幾何空間。
原來空間可以不必符合歐幾里得的描述（以及我們的直覺感知）——這種認(rèn)識(shí)對(duì)于 19 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家和思想家來說實(shí)在是太革命性了，以至于大數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)了該事實(shí)，卻從未鼓起勇氣發(fā)表關(guān)于這個(gè)問題的工作。
但后來黎曼（Bernhard Riemann）等數(shù)學(xué)家紛紛揭示，除了上面提到的雙曲拋物面以外，還存在著許多非歐空間。
那么，這一認(rèn)識(shí)對(duì)人類思想有何重大影響呢？
空間的哲學(xué)
一旦你開始考慮空間的性質(zhì)，你不可避免地會(huì)遇到這個(gè)問題：空間到底是什么？它是一種東西嗎？它是一種物質(zhì)嗎？甚至，它是真實(shí)存在的嗎？
哲學(xué)家康德說空間存在于我們心中：我們?cè)跇?gòu)建一個(gè)幾何結(jié)構(gòu)時(shí)，重要的不是畫在紙上的圖形，而是我們?cè)谒季S空間中所看到的它們。我們?cè)谒季S空間中構(gòu)建我們的認(rèn)知，而這樣的思維空間對(duì)對(duì)于所有人來說都有著相同的特性。
康德的空間是歐幾里德式的。很難想象要如何在一個(gè)非歐空間中構(gòu)建我們的認(rèn)知，那么，或許非歐空間不像歐式空間一樣真實(shí)。
但是，物理學(xué)家亥姆霍茲（Hermann von Helmholtz）卻認(rèn)為，非歐空間和歐式空間一樣真實(shí)。
例如，我們都見過凸面鏡（汽車的后視鏡就是凸面鏡），凸面鏡中的鏡像就是一個(gè)三維非歐空間。
看下圖，你會(huì)注意到超市貨架的頂邊和底邊的平行線并不總是相隔同樣的距離。我們可以在這樣一個(gè)空間中構(gòu)建我們的認(rèn)知嗎？如果你已經(jīng)會(huì)熟練使用你車上的后視鏡，答案就是“可以”。
圖片來源：Dean Hochman, CC BY 2.0。
你可能說鏡中的像只是一個(gè)幻象，只有我們自己所在的歐幾里德式世界才是真實(shí)的。但是你真的確定嗎？雖然凸面鏡中的人看起來比他們實(shí)際上要小，但是如果將一把尺子放在他們旁邊，尺子上的讀數(shù)也會(huì)相應(yīng)變小，鏡中的測量與他們?cè)谖覀兊氖澜缰械臏y量仍能保持一致，說不定鏡中的人同樣會(huì)堅(jiān)持只有鏡中世界才是真實(shí)的呢。
很難反駁——正如亥姆霍茲所說，你無法進(jìn)行任何幾何實(shí)驗(yàn)來解決究竟哪一個(gè)世界是真實(shí)世界的問題。
所以，與康德相反，亥姆霍茲認(rèn)為幾何的公設(shè)既不是由人類智慧所決定的，也不是由邏輯必然性決定的。他認(rèn)為，空間是否是歐幾里德空間，只是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)問題。
法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Henri Poincaré）的觀點(diǎn)則更為激進(jìn)：他也認(rèn)為新的幾何是革命性的，但是他既不同意康德也不同意亥姆霍茲。如果如亥姆霍茲所言，幾何來自經(jīng)驗(yàn)，幾何就不是一門精確的科學(xué)。
龐加萊知道我們的腦海中不只有一種空間，因此，幾何的公設(shè)不是一種人造的先驗(yàn)直覺（如康德所說），也不是實(shí)驗(yàn)事實(shí)（如亥姆霍茲所說），更不必是不證自明的真理（如以前的思想家笛卡爾和數(shù)學(xué)家拉格朗日所說）。龐加萊認(rèn)為，幾何公設(shè)只是慣例（conventions）。
那么，我們應(yīng)該如何決定采用哪種慣例呢？是選歐幾里德幾何，還是新的非歐幾何？龐加萊說我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來選擇，但只要避免矛盾，選擇哪種幾何在根本上是自由的。
“歐幾里德幾何是正確的嗎？這個(gè)問題是沒有意義的，就好像問公制單位是不是正確的，舊的度量衡是不是錯(cuò)誤的一樣。一種幾何不會(huì)比另一種幾何更‘正確’，只會(huì)更方便。”
這是觀念的一種革命性變化：數(shù)學(xué)不再完全符合現(xiàn)實(shí)，我們可以自己選擇想要的數(shù)學(xué)模型，只要它們能將我們想要它做的事做得最好。
到了 20 世紀(jì)，黎曼幾何（非歐幾何的一種）找到了一展身手的用武之地。愛因斯坦在廣義相對(duì)論中描述的空間，正是以黎曼幾何來表述的。那么，這是否意味著真實(shí)空間實(shí)際上是非歐的？龐加萊會(huì)說，只是在這里非歐幾何管用罷了。
空間的心理學(xué)
早在非歐幾何誕生之前，哲學(xué)家們，比如貝克萊主教（Bishop Berkeley）就指出，我們實(shí)際上并不能看到距離，我們所看到的只是視角，再用這一實(shí)際看到的角度來推斷事物的幾何性質(zhì)。
這里給出了一個(gè)簡單例子來說明這一點(diǎn)。看下圖，像不像房間角落天花板和兩面墻的交匯處？
這看起來就像三個(gè)90度的角在一起，但是如果你按照實(shí)際測量每個(gè)角，它們其實(shí)是120度。我們的視覺空間與我們聲稱自己看到的空間并不一樣。
非歐幾何被發(fā)明以來，心理學(xué)家考慮了很多類似的情況。
亥姆霍茲就做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，他讓黑屋子里的受試者將桌子上的小光點(diǎn)排列成兩條漸行漸遠(yuǎn)的平行線，發(fā)現(xiàn)用這些光點(diǎn)排出的線在觀察者看來并不平行，而是發(fā)生了彎曲。
亥姆霍茲因此認(rèn)為，視覺空間是非歐的。而現(xiàn)在學(xué)界普遍的看法是，視覺感知空間并不存在一種一致的幾何來描述。
這是歐洲的情況。那在其它文化中又是什么樣的呢？文化語言學(xué)家史蒂文·萊文森（Steven Levinson）指出，不同文化中的人們對(duì)空間的感知方式也不同。
一些文化用固定坐標(biāo)系來定義空間，采用四個(gè)基本方向，比如“車在建筑的南邊”，另外一些文化則依據(jù)物體間的關(guān)系定義他們的空間認(rèn)知，如“車在建筑的右邊”，沒有涉及任何空間概念。甚至還有不涉及個(gè)人的方式，如“車在建筑的前面”。在這種方式中，物體本身的屬性就定義了它的位置。
如今的GPS導(dǎo)航系統(tǒng)也改變了人們對(duì)空間的天生直覺，空間不再是絕對(duì)的，而是由物體間的關(guān)系決定。
我曾問馬里蘭的一位出租車司機(jī)，GPS 系統(tǒng)有沒有改變他對(duì)空間的認(rèn)知。
他說：“當(dāng)然！以前我的腦海中有整個(gè)巴爾的摩（馬里蘭一城市）的地形，現(xiàn)在則沒有了。比如要載你到某個(gè)地方，我知道要從機(jī)場左轉(zhuǎn)，沿高速公路到某某出口，然后右轉(zhuǎn)。你下車后，我就反過來——左轉(zhuǎn)，上高速，右轉(zhuǎn)進(jìn)入機(jī)場。我會(huì)回到原來的位置，但是我不知道在途中都經(jīng)過了哪些地方?！?/p>
文化、藝術(shù)和建筑
對(duì)空間主題特別感興趣的一個(gè)思想家是西班牙的奧特加·伊·加塞特（José Ortega y Gasset）。奧特加用新的幾何觀來反對(duì)地方主義——他認(rèn)為，正如歐幾里得幾何只是多種幾何中的一種，無法外推到整個(gè)宇宙一樣，假設(shè)我們自己的經(jīng)驗(yàn)或價(jià)值觀是普世的也是毫無根據(jù)的。
奧特加說，客觀現(xiàn)實(shí)可從多種多樣的角度來看待?！皭垡蛩固沟南鄬?duì)論召喚了新的時(shí)空幾何，促進(jìn)了不同角度觀點(diǎn)的和諧多樣。”這樣的思想不僅適用于數(shù)學(xué)和物理，也可以延伸到政治和文化領(lǐng)域。奧特加說，或許在中國也存在著一種中國特色的思維角度，并不比西方遜色。
新的幾何促進(jìn)了藝術(shù)自由，激發(fā)了多種多樣作品的誕生。只舉一個(gè)例子，看這幅胡安·格里斯（Juan Gris）1912年畫的巴勃羅·畢加索（Pablo Picasso）的肖像，它正是奧特加所說的“從所有角度來看現(xiàn)實(shí)”的真實(shí)寫照。
你會(huì)注意到，這幅作品呈現(xiàn)了多個(gè)角度的面和角，尤其在臉部。藝術(shù)家完全沒有把畢加索根本就沒有放置在人們通常視覺上習(xí)慣的三維空間中。其他藝術(shù)家，包括立體派和超現(xiàn)實(shí)主義藝術(shù)家，例如曼·雷（Man Ray），也受到了新幾何出現(xiàn)的影響。
在建筑方面，一個(gè)杰出的代表就是扎哈·哈迪德（Zaha Hadid），她是第一位贏得普利茲克建筑獎(jiǎng)的女性。她本科時(shí)學(xué)的專業(yè)是數(shù)學(xué)，談及21世紀(jì)的世界時(shí)她曾說：“最重要的是運(yùn)動(dòng)，物體的流動(dòng)，一種沒有任何重復(fù)的非歐幾何，一種新的空間秩序?！?/p>
扎哈·哈迪德的銀河SOHO。圖片來源：Forgemind ArchiMe, CC BY 2.0。
下圖是倫敦的奧運(yùn)會(huì)自行車館，屋頂是一個(gè)雙曲拋物面，也可以看出受了非歐幾何的影響。
藝術(shù)家受新幾何的影響，并援引它的權(quán)威為自己所用，將它作為自覺的現(xiàn)代藝術(shù)創(chuàng)作的一部分，幫助我們看到了一個(gè)不同的世界。
歐幾里德幾何認(rèn)為，“理性可以描述整個(gè)宇宙，它是對(duì)稱的、穩(wěn)定的、均勻的，萬物都有原因，并且所有研究它的人都會(huì)得到一致的結(jié)論?！?/p>
但我們現(xiàn)在生活的世界已不再如此。非歐幾何的建立，極大地影響了我們所有人看待世界的方式。
本文由超級(jí)數(shù)學(xué)建模整理編輯
小編逗誰呢？題目里說的是 想象一個(gè)平面，上面有一條直線L和一個(gè)不在L上的點(diǎn)P。平面上有多少條線平行于直線L并經(jīng)過點(diǎn)P 平面 平面 平面！
數(shù)學(xué)完全符合現(xiàn)實(shí)。如果不符合現(xiàn)實(shí)它就不能描述現(xiàn)實(shí)中的物理天文等科學(xué)。 事實(shí)上，歐氏空間不是狹義相對(duì)論對(duì)應(yīng)的慣性空間，而是牛頓力學(xué)對(duì)應(yīng)的絕對(duì)空間。牛頓力學(xué)和歐氏幾何學(xué)事件上還有一項(xiàng)重要工作未做，就是定義空間的平直性和各向同性。另外，非歐氏空間不是雙曲面球面等空間(它們都是彎曲的空間)。黎曼幾何對(duì)應(yīng)的是引力場空間，羅巴切夫斯基幾何對(duì)應(yīng)的是介質(zhì)空間。如果將歐氏空間看作平直空間，則引力場空間中的光線(直線)向引力場方向彎曲，介質(zhì)空間的光線向引力場的反方向彎曲。但是，在觀念上我們都不能認(rèn)為非歐空間是彎曲的。因?yàn)橛钪嬷袥]有平直的實(shí)體標(biāo)準(zhǔn)，如果引力場空間的觀察者或介質(zhì)空間觀察者說自己空間是平直的，其他空間是彎曲的，其他空間的觀察者一點(diǎn)反駁理由都沒有。邏輯上理論上講，歐氏空間，引力場空間和介質(zhì)空間都是平直的，它們都在歐氏黎曼羅氏幾何第五公設(shè)意義上平直。說引力場空間和介質(zhì)空間是平直的還有一個(gè)理論和實(shí)踐中的理由:如果將其看作彎曲空間，則我們看到空間中任何現(xiàn)象都是假象，這與看到空間是一片漆黑沒有本質(zhì)不同。由于這一原因，廣義相對(duì)論研究的所有已知條件都是假設(shè)的，不能由觀察得到，並且結(jié)論與黎曼幾何不符。因?yàn)閺V義相對(duì)論的數(shù)學(xué)語言是黎曼幾何，而黎曼幾何空間是平直的。以上觀點(diǎn)在拙作《時(shí)空學(xué)概論》中有詳細(xì)介紹
聯(lián)系客服
