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高中數(shù)學(xué)

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正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等

正弦定理的邊角互換

三角形內(nèi)角和定理

在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下

易錯(cuò)點(diǎn)：三角變換不等價(jià)致誤
 

例：在△ABC中，若(a²＋b²)sin(A－B)＝(a²－b²)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀．

易錯(cuò)分析　(1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形；
(2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解；
(3)結(jié)論表述不規(guī)范．

溫馨提醒　(1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進(jìn)行判斷；(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時(shí)，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況.
 

余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍

三角形中的基本關(guān)系式

解斜三角形方法

題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形
 

 

思維升華　(1)解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．
 

題型二　利用正、余弦定理判定三角形的形狀
 

思維升華　(1)三角形的形狀按邊分類主要有：等腰三角形，等邊三角形等；按角分類主要有：直角三角形，銳角三角形，鈍角三角形等．判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．(2)邊角轉(zhuǎn)化的工具主要是正弦定理和余弦定理．

高考數(shù)學(xué)