本文內(nèi)容選自2021年宿遷中考數(shù)學(xué)壓軸題。題目以正方形手拉手模型為背景，考查線段有關(guān)的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系。根據(jù)中點進行構(gòu)造輔助線，是較為常見的類型，值得對比研究。
【中考真題】
（2021·宿遷）已知正方形與正方形，正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周．
（1）如圖①，連接、，求的值；
（2）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接、，分別取、的中點、，連接、試探究：與的關(guān)系，并說明理由；
（3）連接、，分別取、的中點、，連接，，請直接寫出線段掃過的面積．
【分析】
（1）先猜測再證明，由于題目中設(shè)計正方形，猜測為√2倍。那么就需要考慮構(gòu)造等腰直角三角形。連接AC與AF，那么就可以得到√2，然后根據(jù)相似即可得到結(jié)論。難度不大。
（2）猜測為垂直的關(guān)系，且數(shù)量具有倍半關(guān)系，連接BM與EM，如果能證明三角形BME為等腰直角三角形即可。但由于無法利用中點的條件，因此還需考慮構(gòu)造中點有關(guān)的輔助線。連接EM并倍長，然后再得到如下圖，通過證明△BEH為等腰直角三角形即可。
（3）由于本題仍然考查中點問題，因此還需構(gòu)造中點有關(guān)的輔助線。取BA的中點為O，通過連接可以得到一組位似圖形。那么QN可以看成繞點O旋轉(zhuǎn)的線段，掃過的面積可以轉(zhuǎn)化為扇形進行求解。
【答案】解：（1）如圖①，連接，，
四邊形和四邊形都是正方形，
，，，，
，，
，
；
（2），，
理由如下：如圖②，連接，過點作，交直線于，連接，設(shè)與交點為，與交點為，
，
，
點是的中點，
，
又，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
，點是中點，
，，
，；
（3）如圖③，取中點，連接，，，
，
，
點是的中點，點是的中點，點是的中點，
，，
點在以點為圓心，為半徑的圓上運動，點在以點為圓心，3為半徑的圓上運動，
線段掃過的面積．
