類型一 三角形中利用面積法求高
1．直角三角形的兩條直角邊的長分別為5cm，12cm，斜邊上的高線的長為( D )
A.80/13cm B．13cm C.13/12cm D.60/13cm
2．點A、B、C在格點圖中的位置如圖所示，格點小正方形的邊長為1，則點C到線段AB所在直線的距離是________
解：如圖，連接AC，BC，設(shè)點C到線段AB所在直線的距離是h.
∵S△ABC＝3×3－1/2×2×1－1/2×2×1－1/2×3×3－1＝9－1－1－9/2－1＝3/2，AB＝
∴h＝
類型二 結(jié)合乘法公式巧求面積或長度
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，則Rt△ABC的面積是( D )
A．48cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．11cm2
4.若一個直角三角形的面積為6cm2，斜邊長為5cm，則該直角三角形的周長是( D )
A．7cm B．10cm C．(5＋∨37)cm D．12cm
5．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
類型三 巧妙利用割補法求面積
6．如圖，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積．
解：連接AC，過點C作CE⊥AD交AD于點E.
∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC＝
∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，
∴AE＝1/2AD＝1/2×10＝5.
在Rt△ACE中，由勾股定理得
CE＝
∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝1/2AB·BC＋1/2AD·CE
＝1/2×5×12＋1/2×10×12＝90.
7．如圖，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四邊形ABCD的面積．
解：延長AD，BC交于點E.
∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.
∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得
BE＝
∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，
∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，
由勾股定理得DE＝＝＝2.
∴S四邊形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝1/2AB·BE－1/2CD·DE
＝×4×4－1/2×2×2＝6.
類型四 利用“勾股樹”或“勾股弦圖”求面積
8.在我國古算書《周髀算經(jīng)》中記載周公與商高的談話，其中就有勾股定理的最早文字記錄，即“勾三股四弦五”，亦被稱作商高定理．
如圖①是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖②是將圖①放入長方形內(nèi)得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，則D，E，F(xiàn)，G，H，I都在長方形KLMJ的邊上，那么長方形KLMJ的面積為_____．
解析：如圖，延長AB交KF于點O，延長AC交GM于點P，
易證四邊形AOLP是矩形，OK＝BE＝3.
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC＋∠OBF＝90°.
又∵∠ABC＋∠ACB＝90°，
∴∠OBF＝∠ACB.
在△ACB和△OBF中，
∴△ACB≌△OBF(AAS)．
同理：△ACB≌△PGC≌△LFG≌△OBF，
∴KO＝OF＝LG＝3，FL＝PG＝PM＝4，
∴KL＝3＋3＋4＝10，LM＝3＋4＋4＝11，
∴S矩形KLMJ＝KL·ML＝10×11＝110.
