本題選自2022年貴陽中考數(shù)學填空壓軸題，以等腰直角三角形為背景，考查幾何求值的問題。難度不大，而且題目涉及的模型非常典型，具體請看下文。
【題目】
（2022·貴陽）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，AC＝BC＝6cm，∠ACB＝∠ADB＝90°．若BE＝2AD，則△ABE的面積是 cm2，∠AEB＝ 度．
圖中關鍵的一個條件就是BE=2AD，這個比較特殊。
遇到等腰直角三角形，常?？紤]用旋轉(zhuǎn)等方式構(gòu)造輔助線。如果熟悉本題模型的同學，可以發(fā)現(xiàn)其實BD會平分∠ABC，以往的作法就是分別延長AD與BC，并使得它們交于一點F。如下圖所示。可以得到兩個三角形全等，也就是△ACF≌△BCE（AAS）。由于BE=2AD，那么就可以得到AF=2AD，也就是說點D為AF的中點，而且BD會垂直于AF，那么就可以得到BD垂直平分AF，那么就可以得到AB=BF，也就是說△ABF為等腰三角形，根據(jù)三線合一，可以得到BD平分∠ABF。已知AC=BC=6，那么就可以得到AB=6√2，那么可以得到CF=6√2-6，
進而根據(jù)勾股定理，可以得到BE2=AF2=AF2+CF2=144-72√2。
△ABE的面積S=1/2BE·AD=1/4BE2=36-18√2。
而∠AEB=∠ACB+∠CBD=90°+22.5°=112.5°。
當然，還可以考慮下面這種構(gòu)造方式，取BE的中點F，連接CF。那么根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得到CD=CF=EF=BF=AD，也就是說△ADC與△BFC均為等腰三角形。而且還可以得到△DCF為等腰三角形，那么DF=√2CF。如果設AD=x，那么就可以得到BF=x，DF=√2x，根據(jù)勾股定理可以得到AB2=AD2+BD2=x2+（√2+1）2x2=(4+2√2)x2=2BC2=72，那么就可以得到AD2=x2=72/(4+2√2)=9(4-2√2)=36-18√2，那么就可以得到△ABE的面積S=1/2AD·BE=AD2=36-18√2。
如下圖，過點E作EF垂直AB于點F。那么就可以得到△AEF為等腰直角三角形。設AF=EF=x，那么可以得到AE=√2x，BF=6√2-x，CE=6-√2x。那么可以得到(1+√2)x2-(12+6√2)x+36=0，此時可以發(fā)現(xiàn)AF=EF=6/(1+√2)=6(√2-1)，那么可以得到CE=6-AE=6-6(2-√2)=6(√2-1)=EF，那么就可以得到點E到∠ABC兩邊的距離相等，也就是說BD平分∠ABC。此時△ABE的面積S=1/2AB·EF=1/2×6√2×6(√2-1)=18(2-√2)。那么∠AEB的度數(shù)也是可以得到為112.5°。
本題主要考查“等腰直角三角形+角平分線”的性質(zhì)，先觀察圖形，然后再根據(jù)以往的經(jīng)驗進行求解，構(gòu)造與角的平分線有關的輔助線。本題雖然是小題，但是計算量不小，特別是涉及分母有理化，仍然有一定的難度。更多精彩請關注《中考數(shù)學壓軸題全解析》！
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