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知識(shí)解讀

必知點(diǎn)1．當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)三角形的中線，可將中線延長一倍(如圖1-3-1①)．

此時(shí)如果連接CE，可得△ABD≌△ECD(如圖1-3-1②)；連接BE，可得△ACD≌△EBD如圖1-3-1③)．

如果連接BE、CE則可得到一個(gè)平行四邊形．

全等三角形和平行四邊形可以得到相等的線段和相等的角，為解決問題提供便利．

必知點(diǎn)2．過一邊兩端點(diǎn)，作該邊中線的垂線段．

如圖1-3-1⑤，若AD為△ABC的中線，分別過點(diǎn)B、點(diǎn)C作中線AD的垂線段，可得△BDF≌△CDE．

必知點(diǎn)3．遇中點(diǎn)，構(gòu)平行線，構(gòu)造全等三角形．

如圖1-3-1⑥，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可過點(diǎn)D作DF∥BC，構(gòu)造出與△BCE中心對(duì)稱的△DEF，從而可利用全等三角形知識(shí)解決問題．

典例示范

1．倍長中線

例1  如圖1-3-2，AD是△ABC的中線，AE是△ABD的中線，BA＝BD，求證：AC＝2AE．

【提示】

思路1：如圖1-3-3，延長AE到點(diǎn)F，使得EF＝AE，連接DF．

思路2：如圖1-3-4，延長AE到點(diǎn)F，使得EF＝AE，連接BF．

【技巧點(diǎn)評(píng)】

本題將AE延長加倍的好處：如果連接DF，則可得△ABE≌△FDE；如果連接BF，則可證明△ADE≌△FBE.由全等三角形我們能得出一些相等的線段和相等的角，從而為問題的最終解決創(chuàng)造條件.

2.作平行線，構(gòu)造中心對(duì)稱的三角形

例2  如圖1-3-6，在△ABC中，AB=AC，E為AB上一點(diǎn)，F為AC延長線上一點(diǎn)，且BE=CF，EF交BC于點(diǎn)D，求證：DE=DF.

【提示】

思路1：如圖1-3-7①，過點(diǎn)E作EG∥AF，交BC于點(diǎn)G；

思路2：如圖1-3-7②，過點(diǎn)F作FH∥AB，交BC延長線于點(diǎn)H；

思路3：如圖1-3-7③，分別過點(diǎn)E、點(diǎn)F作EM⊥BC于M，FH⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)H.

【技巧點(diǎn)評(píng)】

本題作輔助線的方法有多種，都是由中點(diǎn)構(gòu)造X型的基本圖形來解決問題的.

例3   （1）如圖1-3-9①，在△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2，

求證：AB＝AC.

（2）如圖1-3-9②，BD＝CD，∠1＝∠2，此時(shí)EB＝AC成立嗎？請說明你的理由.

【提示】

（1）思路1：過點(diǎn)D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H；思路2：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE或CE均可.

（2）思路1：延長ED至M，使DM＝ED，連接CM；思路2：延長AD至P，使DP＝AD，連接BP.

【技巧點(diǎn)評(píng)】

圖中雖然沒有三角形的中線，但由于點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，因此ED可看作△BCE的中線，AD可看作△ABC的中線，因此我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^倍長中線的辦法來構(gòu)造全等三角形.

例4   （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽八年級(jí)題）在直角△ABC中，D為斜邊AB的中點(diǎn)，E，F分別在AC，BC上，∠EDF＝90°，已知CE＝4，AE＝2，BF－CF＝1.5，求AB的長.

【提示】如圖1－3－11，延長ED到點(diǎn)M，使DM＝ED，連接MB，MF.