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(以下題組由交華中學陳松林提供）

#01: 與等腰三角形相關(guān)的性質(zhì)定理和基本圖形

PART.1

等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的性質(zhì)定理來源于滬教版七年級第14章。最主要的性質(zhì)定理就是等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理以及等腰三角形的三線合一定理。根據(jù)等腰三角形的三線合一定理，可以得到底角余弦、底邊和腰三者間的數(shù)量關(guān)系。

PART.2

直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)

“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”源于滬教版八年級年級第19.8節(jié)直角三角形的性質(zhì)。直角三角形斜邊上的中線將直角三角分成了兩個頂角互補且兩腰相等的等腰三角形。

PART.3

垂徑定理

“垂徑定理”源于滬教版九年級第27.3節(jié)垂徑定理。

垂徑定理：如果圓的一條直徑垂直于弦，那么這條直徑平分弦，并且平分弦所對的弧。通過聯(lián)結(jié)半徑，構(gòu)造了等腰三角形，則可以結(jié)合等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)解三角形。

#02: 與等腰三角形相關(guān)的組合基本圖形

通過結(jié)合教材中呈現(xiàn)的基本圖形進行組合，則會得到以下組合基本圖形，此類基本圖形往往含有圓、直角三角形或等腰三角形三個基本元素中的兩個或三個。主要有以下四類：

①	②
③	④

如圖①和圖②，是直角三角形和等腰三角形的組合，由△APD和△DBE是等腰三角形，借助角的轉(zhuǎn)化，可以得到△BPE和△ACD是等腰三角形；如圖③，是直角三角形和等腰三角形的組合，若已知AC、BC的長度，則可以利用勾股定理解△ACD；如圖④，是兩個直角三角形和一個等腰三角的組合，同樣由△DOE為等腰三角形推出△BCE為等角三角形。

而這四張基本圖形又可以嵌入圓的背景，但是“同圓的半徑相等”，又可以將背景圓劃歸為等腰三角形性質(zhì)問題。

#03: 幾何計算問題應用

解法分析：本題是圓與直角三角形背景下，利用勾股定理和銳角三角比解決問題的一道幾何計算題。結(jié)合“同圓的半徑相等”以及“垂徑定理”的相關(guān)性質(zhì)定理，在問題(1)中聯(lián)想聯(lián)結(jié)半徑構(gòu)造基本組合圖形③；在問題②中通過聯(lián)結(jié)OP，構(gòu)造垂徑定理背景下的基本圖形。

具體的解法如下：

解法分析：本題是矩形背景下與圖形旋轉(zhuǎn)相關(guān)的問題。通過畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，聯(lián)想基本組合圖形②，利用“等角的銳角三角比相等”求出線段長度。

解法分析：本題是等腰三角形的存在性問題，由于E在線段CB或線段CB的延長線上，因此首先對點E的位置進行分類討論，同時，本題是典型的基本組合圖形②。

如圖1，當點E在線段CB上時，△BDE為鈍角三角形，因此只有DE=BE這一種情況，此時△ADC也為等腰三角形，可以直接解△ACD求AD的長度；如圖2，當點E在線段CB延長線上時，先根據(jù)題意畫出圖形，此時△BDE為鈍角三角形，因此只有DE=BE這一種情況，同時根據(jù)圖形的特殊位置，此時BD為直角△CDE斜邊上的中線，即BD=BC，再求出AD的長度。

#04: 幾何壓軸問題應用

解法分析：本題是直角三角形與圓背景下與相似三角形判定、函數(shù)關(guān)系式建立以及求線段長度相關(guān)的綜合性問題，聯(lián)想基本組合圖形④。

本題的第(1)問利用“同圓的半徑相等”，聯(lián)結(jié)OD后，得∠OED=∠ODE，再結(jié)合圖中的兩個90°角，可得∠ADE=∠AEP，繼而得到兩個三角形相似。

本題的第(2)問是函數(shù)關(guān)系的建立，借助(1)中的相似三角形，解△AOD，標出AE、AD的長度，從而建立線段間的函數(shù)關(guān)系。在定義域取值上，需要尤其注意E與C、A重合的情況。

本題的第(3)問需要分類討論，即P在線段AB和線段AB延長線上兩種情況。

無論P的位置在哪里，都可以通過角的轉(zhuǎn)化得到CF=CE，因此通過CE+AE=5，求出x的值，代入函數(shù)關(guān)系式求出AP的長。

解法分析：本題是圓和直角三角形背景下的問題。主要考察了特殊背景下求圓心角度數(shù)，線段比例式和線段間的函數(shù)關(guān)系以及等腰三角形的存在性，由∠COB=∠DBO，聯(lián)想基本組合圖形④，可得△CEF為等腰三角形。

本題的第(1)問根據(jù)P為弧AC的中點，聯(lián)結(jié)OP后，借助四等定理以及三角形內(nèi)外角和定理，通過設元法，得出∠COB的度數(shù)。

本題的第(2)問借助“等腰三角形的三線合一定理”，通過過點E作CF的垂線，利用等角的銳角三角比相等建立函數(shù)關(guān)系式。

本題的第(3)問是等腰三角形的存在性問題。需要分類討論，本題中借助垂徑定理，過點O作BD的垂線，可以求出DF的長度。

對于OD=DF的情況，可以直接計算，當OD=OF時，利用三角形的外角性質(zhì)，排除不可能的情況。

由于OF的長度比較難求，當OF=DF時，△DOF與△DOB相似，此時DO·DO=DF·DB。

解法分析：本題是圓和直角三角形背景下的問題，需要注意點E的位置變化，需要分類討論。主要考察了線段間函數(shù)關(guān)系的建立，兩圓相切問題以及等腰三角形的存在性問題。聯(lián)想基本組合圖形④，可得△BPE為等腰三角形，進而得到PQ//AC。

本題的第(1)問借助垂徑定理，過點P作AC的垂線，利用PG//CF，借助PG-CE-X型基本圖形，建立線段間的比例關(guān)系。

本題的第(2)問是兩圓位置關(guān)系問題，需要找準兩圓半徑和圓心距。

由△PBE為等腰三角形，可得PQ//AB，因此可以用含x的代數(shù)式表示圓心距PQ的長度。在利用外切、內(nèi)切兩圓半徑和差的數(shù)量關(guān)系列出等量關(guān)系。

本題的第(3)問是等腰三角形的存在性問題，需要分類討論，既對D的位置分類討論，也對等腰三角形進行分類討論。

當點D在線段AC上時：

當點D在線段AC延長線上時：

END

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