一．選擇題（共10小題）
1．（2015·茂名）如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PD=6，則點(diǎn)P到邊OB的距離為（ ?。?/strong>
A．6 B．5 C．4 D．3
選A（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2015·天臺縣模擬）△ABC是一個任意三角形，用直尺和圓規(guī)作出∠A、∠B的平分線，如果兩條平分線交于點(diǎn)O，那么下列選項中不正確的是（ ?。P(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
A．點(diǎn)O一定在△ABC的內(nèi)部
B．∠C的平分線一定經(jīng)過點(diǎn)O
C．點(diǎn)O到△ABC的三邊距離一定相等
D．點(diǎn)O到△ABC三頂點(diǎn)的距離一定相等
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)角平分線的定義與性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：∵三角形角平分線的性質(zhì)為：三角形的三條角平分線在三角形內(nèi)部且相交于一點(diǎn)，到三角形三條邊的距離相等，
∴A、B、C三個選項均正確，D選項錯誤．
故選D．
【點(diǎn)評】此題考查了角平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2015·茂名校級一模）如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，則點(diǎn)D到AB的距離是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【專題】常規(guī)題型．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
【分析】由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)D到AB的距離等于CD，根據(jù)已知求得CD即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴點(diǎn)D到AB的距離等于CD，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，
∴點(diǎn)D到AB的距離是4．
故選A．
【點(diǎn)評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
4．（2015·泰安樣卷）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，則AC的長為（ ?。?/strong>
A．2m B．a(chǎn)﹣m C．a(chǎn) D．a(chǎn)+m
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CD=DE，再利用“HL”證明Rt△ACD和Rt△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=AE，再判斷出△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BE=DE，然后根據(jù)AE=AB﹣BE計算即可得解．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵∠B=45°，DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE=DE=m，
∵AE=AB﹣BE=a﹣m，
∴AC=a﹣m．
故選B．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2015·河北模擬）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（ ?。?/strong>
A．7.5 B．8 C．15 D．無法確定
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．利用角平分的性質(zhì)得到DE=AD=3，然后由三角形的面積公式來求△BCD的面積．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
∴AD=DE=3．
又∵BC=5，
∴S△BCD=BC·DE=×5×3=7.5．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
6．（2015·蕪湖三模）△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為6cm，4cm，4cm，P為三邊角平分線的交點(diǎn)，則△ABP，△BCP，△ACP的面積比等于（ ）
A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等，然后根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比解答．
【解答】解：∵P為三邊角平分線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等，
∵AB，BC，CA的長分別為6cm，4cm，4cm，
∴△ABP，△BCP，△ACP的面積比=6：4：4=3：2：2．
故選D．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記性質(zhì)并判斷出點(diǎn)P到△ABC三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
7．（2015·江西校級模擬）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ?。?/strong>
A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的長，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的長，在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理求出AD的長即可．
【解答】解：∵CD=3，BD=5，
∴BC=CD+BD=3+5=8，故C正確；
過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE=3．
在Rt△BDE中，（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
∵BD=5，DE=3，
∴BE===4．
∵∠B=∠B，∠DEB=∠C，
∴△BED∽△BCA，
∴==，即==，解得AB=10，AC=6，故A，D正確；
在Rt△ACD中，
∵AC=6，CD=3，
∴AD===3，故B錯誤．
故選B．
【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2015春·成都校級期末）如圖是一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（ ?。P(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)
C．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn) D．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到邊的距離相等，可知是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．由此即可確定涼亭位置．
【解答】解：∵涼亭到草坪三條邊的距離相等，
∴涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點(diǎn)．
故選D．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
【點(diǎn)評】本題主要考查的是角的平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．主要利用了到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．
9．（2015秋·平南縣月考）如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論中不正確的是（ ?。?/strong>
A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB
C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)已知條件由角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論CD=DE，由此又可得出很多結(jié)論，對各選項逐個驗證，證明．
【解答】解：CD=DE，
∴BD+DE=BD+CD=BC；
又有AD=AD，（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
可證△AED≌△ACD
∴∠ADE=∠ADC
即DE平分∠ADB；
在△ACD中，CD+AC＞AD
所以ED+AC＞AD．
故選B．
【點(diǎn)評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知證明△AED≌△ACD是解決的關(guān)鍵．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
10．（2015春·吉州區(qū)期末）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)是（ ?。?/strong>
A．M點(diǎn) B．N點(diǎn) C．P點(diǎn) D．Q點(diǎn)
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【專題】網(wǎng)格型．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，注意觀察點(diǎn)M、N、P、Q中的哪一點(diǎn)在∠AOB的平分線上．
【解答】解：從圖上可以看出點(diǎn)M在∠AOB的平分線上，其它三點(diǎn)不在∠AOB的平分線上．
所以點(diǎn)M到∠AOB兩邊的距離相等．故選A．
【點(diǎn)評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，根據(jù)正方形網(wǎng)格看出∠AOB平分線上的點(diǎn)是解答問題的關(guān)鍵．
二．填空題（共10小題）
11．（2015·連云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分線，則△ABD與△ACD的面積之比是 ?。?/strong>
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】估計角平分線的性質(zhì)，可得出△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高相等，估計三角形的面積公式，即可得出△ABD與△ACD的面積之比等于對應(yīng)邊之比．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分線，
∴設(shè)△ABD的邊AB上的高與△ACD的AC上的高分別為h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD與△ACD的面積之比=AB：AC=4：3，
故答案為4：3．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2015·聊城）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線．若AB=6，則點(diǎn)D到AB的距離是 ?。?/strong>
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BC，CD，問題即可求出．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠DBC=∠ABC=30°，（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
∴BC=AB=3，
∴CD=BC·tan30°=3×=，
∵BD是∠ABC的平分線，
又∵角平線上點(diǎn)到角兩邊距離相等，
∴點(diǎn)D到AB的距離=CD=，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
13．（2015·蘿崗區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，若AB=4，且點(diǎn)D到BC的距離為3，則BD= ?。?/strong>
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AD=3，由勾股定理求得BD．
【解答】解：∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，點(diǎn)D到BC的距離為3，
∴AD=3，
∵AB=4，
∴BD==5．
【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到D到BC的距離即為DE長是解決的關(guān)鍵．
14．（2015·綠園區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=8．對角線BD⊥CD，P是BC邊上一動點(diǎn)，連結(jié)PD．若∠ADB=∠C，則PD長的最小值為 ?。?/strong>
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；垂線段最短．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DP垂直于BC的時候，DP的長度最?。Y(jié)合已知條件，利用三角形的內(nèi)角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分線性質(zhì)即可得AD=DP，由AD的長可得DP的長．
【解答】解：根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DP⊥BC的時候，DP的長度最?。?/p>
∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，
∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD=DP，又AD=8，
∴DP=8．
故答案為：8．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出DP最小時的位置是解題的關(guān)鍵．21·世紀(jì)*教育網(wǎng)
15．（2015春·蘇州校級期末）如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周長為 ?。?/strong>
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】分析已知條件，根據(jù)勾股定理可求得CA的長，△CAD≌△EAD，則DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周長為：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．
【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6
根據(jù)勾股定理得2CB2=AB2，∴CB=3，
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠DEA=90°=∠C
∴△CAD≌△EAD（AAS）
∴AC=AE=3，DE=CD
∴EB=AB﹣AE=6﹣3
故△DEB的周長為：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．
【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，應(yīng)用了勾股定理，三角形周長的求法，范圍較廣．
16．（2015春·晉江市期末）如圖，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且DE=DF，若∠DBC=50°，則∠ABC= ?。ǘ龋?/strong>
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上可得BD平分∠ABC，再根據(jù)∠DBC=50°可得答案．
【解答】解：∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且DE=DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
∵∠DBC=50°，
∴∠ABC=100°，
故答案為：100．
【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角平分線上．
17．（2015秋·薊縣期中）如圖，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若△BDE的周長為8，則AB的長為 8 ?。?/strong>
18．（2015秋·鎮(zhèn)海區(qū)校級月考）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，則S△DBC= ，DE= ．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到BC的距離，即DE的長度，再根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出S△ABD：S△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面積公式列式計算即可求出DE．21教育名師（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）原創(chuàng)作品
【解答】解：∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，
∴點(diǎn)D到AB的距離等于點(diǎn)D到BC的距離，即DE的長度，
∵AB=12cm，BC=18cm，
∴S△ABD：S△DBC=AB：BC=12：18=2：3，
∵S△ABC=60cm2，
∴S△DBC=60×=36cm2，
∵DE⊥BC，
∴BC·DE=36，
即×18·DE=36（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語），
解得DE=4cm．
故答案為：36cm2；4cm．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2014秋·定興縣期末）如圖，點(diǎn)P是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F(xiàn)分別為垂足，①PE=PF，②AE=AF，③
∠APE=∠APF，上述結(jié)論中正確的是 ?。ㄖ惶钚蛱枺?/strong>
20．（2013秋·石家莊期末）如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面積是 ?。?/strong>
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得PE=PF，再利用全等即可判定．
【解答】解：∵點(diǎn)P是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE=PF（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
∴Rt△APE≌RT△APF（HL）
∴AE=AF，∠APE=∠APF
故填①②③．
【點(diǎn)評】本題主要考查平分線的性質(zhì)及三角形全等的判定及性質(zhì)；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解決的關(guān)鍵．
三．解答題（共10小題）
21．（2015·路南區(qū)二模）在學(xué)完全等三角形后，李老師給出了下列題目：
求證：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．
已知：
求證：
證明：
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】連接OA，作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為E、F，將△ABC的面積分為：S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，而三個小三角形的高OD=OE=OF，它們的底邊和就是△ABC的周長，可計算△ABC的面積．2-1-c-n-j-y
【解答】解：作OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分別為E、F，連接OA，
∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF，
∴S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB
=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB
=×OD×（BC+AC+AB）
=×3×21=31.5．
故填31.5．
【點(diǎn)評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)；利用三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，將三角形面積分為三個小三角形面積求和，發(fā)現(xiàn)并利用三個小三角形等高是正確解答本題的關(guān)鍵．
22．（2015春·泰山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求證：AC=AE；
（2）若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，CD=4，求BE的長．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知和求證，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明結(jié)論．
【解答】已知：PE=PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．
證明：在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌△RtPOF，
∴∠EOP=∠FOP，
∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．
【點(diǎn)評】本題考查的是角平分線的判定的證明，靈活運(yùn)用直角三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
23．（2015·黃島區(qū)校級模擬）現(xiàn)要在三角地ABC內(nèi)建一中心醫(yī)院，使醫(yī)院到A、B兩個居民小區(qū)的距離相等，并且到公路AB和AC的距離也相等，請確定這個中心醫(yī)院的位置．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖—應(yīng)用與設(shè)計作圖．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)作出AB的垂直平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)作出∠BAC的角平分線，即可得出答案．
【解答】解：
作AB的垂直平分線EF，作∠BAC的角平分線AM，兩線交于P，
則P為這個中心醫(yī)院的位置．
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動手操作能力
24．（2015春·澧縣期末）如圖：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；
說明：（1）CF=EB．
（2）AB=AF+2EB．
【解答】證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，，
∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．
∴CF=EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD=DE．
在△ADC與△ADE中，
∵
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AC=AE，
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．
【點(diǎn)評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到點(diǎn)D到AB的距離=點(diǎn)D到AC的距離，即CD=DE，是解答本題的關(guān)鍵．
25．（2015秋·泰興市校級月考）如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，BE，CF相交于點(diǎn)D，若BD=CD．求證：AD平分∠BAC．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；直角三角形全等的判定．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【專題】證明題．
【分析】要證AD平分∠BAC，只需證DF=DE．可通過證△BDF≌△CDE（AAS）來實(shí)現(xiàn)．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
根據(jù)已知條件，利用AAS可直接證明△BDF≌△CDE，從而可得出AD平分∠BAC．
【解答】證明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°．
在△BDF與△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF=DE，
∴AD是∠BAC的平分線．
【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上等知識．發(fā)現(xiàn)并利用△BDF≌△CDE是正確解答本題的關(guān)鍵．
26．（2014秋·蕪湖校級期末）如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【專題】證明題．
【分析】首先由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，又有BD=CD，可證Rt△BED≌Rt△DFC（HL），即可得出EB=FC．21·cn·jy·com
【解答】證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB、DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△DFC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
【點(diǎn)評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，難度不大．（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
27．（2014秋·隴西縣期末）如圖：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足為C，D．
求證：（1）OC=OD；（2）DF=CF．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【專題】證明題．
【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，然后證明Rt△COE≌Rt△DOE可得CO=DO；
（2）證明COF≌△DOF可根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得FC=FD．
【解答】證明：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=DE，∠ECO=∠EDO=90°，
在Rt△COE和Rt△DOE中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），
∴CO=DO；
（2）∵EO平分∠AOB，（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）
∴∠AOE=∠BOE，
在△COF和△DOF中，
，
∴△COF≌△DOF（SAS），
∴FC=FD．
【點(diǎn)評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
28．（2014秋·南昌期末）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，求：
（1）S△ACD；
（2）AC的長．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)（關(guān)注公眾號：初二數(shù)學(xué)語文英語）教育網(wǎng)
【分析】（1）根據(jù)S△ACD=S△ABC﹣S△ABD，利用三角形的面積公式可求解；
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再根據(jù)（1）中所求S△ACD=3列出方程求解即可．
【解答】解：（1）S△ACD=S△ABC﹣S△ABD=7﹣×4×2=3；
（2）如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴DE=DF=2．
∵S△ACD=3，
∴×AC×2=3，
解得AC=3．
【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
29．（2014秋·蘇州期末）一天，數(shù)學(xué)老師布置一個思考題，要求每個學(xué)習(xí)小組課后去討論．你能和他們一起思考嗎？題目是這樣的：
如圖，P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．
（1）比較PD與PE的長短，得 ??；
（2）在OC上另取一點(diǎn)Q，畫QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分別為F，G．再比較QF、QG的長短，得 ??；
（3）你可以在角平分線OC上再取其它一些點(diǎn)試試，從中你發(fā)現(xiàn)了什么？
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【分析】（1）通過實(shí)際操作能得到P點(diǎn)到角的兩邊距離相等；
（2）通過實(shí)際操作能得到P點(diǎn)到角的兩邊距離相等；
（3）可以通過證明三角形全等來得到正確的結(jié)論；
【解答】解：（1）用直尺量得PD=PE；
（2）用直尺量得QF=QG；
（3）證明：∵P是∠AOB的角平分線OC上一點(diǎn)，
∴∠AOC=∠BOC，
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠ODP=∠OEP，
∴△DOO≌△EPO，
∴PD=PE，
∴角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，通過學(xué)生的動手、動腦使得學(xué)生更加牢固的掌握了新知識．
30．（2014秋·贛州期末）已知：如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC．
（1）求證：AM平分∠BAD；
（2）試說明線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系？
（3）線段CD、AB、AD間有怎樣的關(guān)系？直接寫出結(jié)果．
【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．21世紀(jì)教育網(wǎng)
【專題】幾何綜合題．
【分析】（1）首先要作輔助線，ME⊥AD則利用角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可知ME=MC，再利用中點(diǎn)的條件可知ME=MB，再利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的逆定理證明AM平分∠DAB．
（2）根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．21cnjy.com
（3）證Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．
【解答】（1）證明：作ME⊥AD于E，
∵M(jìn)C⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴MB=MC，
又∵M(jìn)E=MC，
∴ME=MB，
又∵M(jìn)E⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
