著名物理學(xué)家惠勒用一句話來(lái)概括廣義相對(duì)論：“物質(zhì)告訴時(shí)空如何彎曲，時(shí)空告訴物質(zhì)如何運(yùn)動(dòng)”，如果用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述惠勒對(duì)廣義相對(duì)論的解釋?zhuān)偷玫饺缦滤镜囊?chǎng)方程：
圖4-3-1：引力場(chǎng)方程（愛(ài)因斯坦方程）
引力場(chǎng)方程是個(gè)張量函數(shù)的微分方程。張量是矢量概念的推廣。一個(gè)標(biāo)量（比如溫度T）只用一個(gè)數(shù)值來(lái)描述，三維空間的矢量（比如速度vi）需要用3個(gè)數(shù)（v1,v2,v3）來(lái)表示，因此速度矢量需要用用帶一個(gè)下標(biāo)i的vi表示。那么，如何表示一個(gè)張量呢？由圖可見(jiàn)，引力場(chǎng)方程中的張量Rmn、gmn、Tmn等，都有兩個(gè)指標(biāo)，表明它們需要用更多的“分量”來(lái)描述，被稱(chēng)為2階張量。并且，這些張量是4維時(shí)空的張量，指標(biāo)mn等于（0,1,2,3）。指標(biāo)0代表時(shí)間，空間維則仍然用（1,2,3）表示。
（圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)）
如圖4-3-1所示，引力場(chǎng)方程的左邊與時(shí)空的幾何性質(zhì)有關(guān)，用度規(guī)張量和曲率張量來(lái)描述。曲率張量代表時(shí)空的曲率；度規(guī)張量類(lèi)似于量度時(shí)空的尺子和鐘。方程的右邊與時(shí)空中的物質(zhì)-能量分布情形有關(guān)，用能量動(dòng)量張量來(lái)描述。引力場(chǎng)方程將時(shí)空的彎曲性質(zhì)與物質(zhì)能量的分布情況聯(lián)系起來(lái)，也就是說(shuō)，物質(zhì)分布決定了時(shí)空的幾何性質(zhì)。
在給定的時(shí)空幾何中，物質(zhì)沿著時(shí)空的“短程線”（也稱(chēng)之為測(cè)地線）運(yùn)動(dòng)，測(cè)地線是平坦空間中直線概念在彎曲時(shí)空中的推廣。換言之，牛頓將引力解釋成“力”，愛(ài)因斯坦則是將引力幾何化。比如說(shuō)，在地球表面拋出的物體并不按照直線運(yùn)動(dòng)，而是按照拋物線運(yùn)動(dòng)。牛頓引力理論這樣來(lái)解釋?zhuān)旱厍驅(qū)ξ矬w的“引力”使得物體偏離了直線軌道；而廣義相對(duì)論說(shuō)，地球的質(zhì)量造成了它周?chē)臻g的彎曲，拋射體不過(guò)是按照時(shí)空的彎曲情形運(yùn)動(dòng)而已。拋物線是彎曲時(shí)空中的“直線”，即測(cè)地線。
（圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)）
不過(guò)，我們不用被圖4-3-1中引力場(chǎng)方程復(fù)雜的表達(dá)式嚇到，如果忽略張量的指標(biāo)，它可以被表示成一個(gè)更為簡(jiǎn)單并方便理解的形式：
R = 8pT （4-1）
公式（4-1）中的R代表時(shí)空彎曲（曲率），T代表物質(zhì)（包括能量）。所以，引力場(chǎng)方程所表示的只不過(guò)是一句話：物質(zhì)產(chǎn)生時(shí)空彎曲。實(shí)際上，曲率可以從度規(guī)張量算出，因此，（4-1）左邊的R是度規(guī)的函數(shù)。求解引力場(chǎng)方程的目的也就是解出度規(guī)。
從愛(ài)因斯坦方程的弱場(chǎng)近似可以得到牛頓引力定律?？紤]最簡(jiǎn)單的情況，場(chǎng)方程中只有與時(shí)間維（指標(biāo)0）有關(guān)的那一項(xiàng)，比如說(shuō)，曲率張量只有R00一項(xiàng)，能量動(dòng)量張量只有普通物質(zhì)（質(zhì)量密度為r），這時(shí)候，場(chǎng)方程化簡(jiǎn)為：R00 = 4pr。這兒的R00可以進(jìn)一步用牛頓理論中的引力勢(shì)函數(shù)表示，從而得到牛頓的引力公式。
引力場(chǎng)方程（4-1）的解是用以描述時(shí)空幾何性質(zhì)的度規(guī)張量。度規(guī)就像是度量空間的一把尺子，還加上測(cè)定時(shí)間的“鐘”?；蛘呖梢园阉胂蟪山馕鰩缀沃械淖鴺?biāo)，這也就是為什么我們?cè)诮忉寱r(shí)空彎曲時(shí)經(jīng)常用類(lèi)似坐標(biāo)的“網(wǎng)格”來(lái)比喻的原因之一。因?yàn)樗^時(shí)空彎曲了，就是度規(guī)張量扭曲了，或坐標(biāo)格子變形了，如圖4-3-2右圖所示。
圖4-3-2：度規(guī)張量
從圖4-3-2中很容易看出，度規(guī)張量告訴我們?nèi)绾斡?jì)算“時(shí)空”中的弧長(zhǎng)，嚴(yán)格地說(shuō)，是弧長(zhǎng)的微分ds。這點(diǎn)使用歐幾里德平直時(shí)空中的直角坐標(biāo)系很容易辦到，因?yàn)楦鶕?jù)勾股定理，弧長(zhǎng)ds就是直角三角形的斜邊，它的平方就等于直角坐標(biāo)系坐標(biāo)微分的平方和，如圖4-3-2中左圖所示。但是，如果對(duì)于像球面那樣的彎曲空間，弧長(zhǎng)微分ds的計(jì)算就要復(fù)雜一些了，因?yàn)榍蛎娴亩纫?guī)表達(dá)式也變得復(fù)雜了。
另外，廣義相對(duì)論中考慮的是“時(shí)空”的弧長(zhǎng)ds，它表示的已經(jīng)不僅僅是空間中的“距離”概念，四維時(shí)空中的時(shí)間和空間可以分別用實(shí)數(shù)和虛數(shù)表示。如果采取時(shí)間為實(shí)數(shù)的表示方式，這時(shí)候的“弧長(zhǎng)”被稱(chēng)為“固有時(shí)”，通常不將它寫(xiě)成ds，而被記作dt。
在一定的簡(jiǎn)化情形下，四維時(shí)空的弧長(zhǎng)微分dt與空間度規(guī)張量gij的關(guān)系可表示如下：
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