這兩天帶孩子上奧數(shù)，講到了牛吃草問題，而且還說這個(gè)問題是牛頓提出來的，但我認(rèn)為這個(gè)問題當(dāng)作奧數(shù)給孩子教授，是非常有問題的，會把小孩子的思路帶到溝里，倒是真的印證了一些妖魔化奧數(shù)的人的說法，對這樣的問題，應(yīng)當(dāng)及時(shí)糾正。
牛吃草問題大致是這樣的：牧場上有一片青草，每天都生長得一樣快。這片青草供給10頭牛吃，可以吃22天，或者供給16頭牛吃，可以吃10天，期間一直有草生長。如果供給25頭牛吃，可以吃多少天？
給孩子的解題思路大致是這樣的：這片草地天天以勻速生長是分析問題的難點(diǎn)。把10頭牛22天吃的總量與16頭牛10天吃的總量相比較，得到的10×22-16×10=60，是60頭牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5頭牛一天吃的草，也就是每天新長出的草。求出了這個(gè)條件，把所有頭牛分成兩部分來研究，用其中一部分吃掉新長出的草，用另外一部分吃掉原有的草，即可求出全部頭牛吃的天數(shù)。
這個(gè)問題在我們小時(shí)候應(yīng)用題是不講的，不知道哪一天給小學(xué)生當(dāng)作奧數(shù)講了，但這個(gè)問題當(dāng)作奧數(shù)，沒有把問題講透，給孩子留下錯(cuò)誤概念，問題還是很大的。這個(gè)問題孩子的解法，給大學(xué)數(shù)學(xué)教授以高等數(shù)學(xué)的視角看，可能就要開罵了。因?yàn)檫@個(gè)草長的一樣快是有歧義的，這個(gè)題目的意思實(shí)際是每天長出一樣多的草，可不是草長的一樣快！被吃掉的草，當(dāng)然不能再生長了！你可以想一下如果開始是100棵草一天長出10棵，那個(gè)速度是10%，吃到后來剩下10棵草，還是要一天長出10棵，這速度就是100%了，這怎么是長的一樣快？這是生長速度指數(shù)型的增長。
這個(gè)問題給小孩子算術(shù)怎樣解？代數(shù)的方程怎樣解？解法主要考慮的就是草每天增加的數(shù)量一樣。其實(shí)這個(gè)解法與真實(shí)的情況差別是巨大的。因?yàn)椴菝刻焐L的一樣快，但被吃掉的草可不長，每一天長出來的草，應(yīng)當(dāng)是前一天剩下來的草按照一個(gè)同樣的生長速度同比例的一個(gè)增加量，這會出現(xiàn)數(shù)列問題。而真正的問題是草生長和牛的吃是連續(xù)的，不是數(shù)列離散的，這就要變成微積分的內(nèi)容了。
牛頓提出這樣的問題，明顯的就是一個(gè)微分方程的問題。牛頓這個(gè)大師，是微積分的發(fā)明者，他提出這個(gè)問題，原本就是一個(gè)微分方程問題，類似的問題我記得是大學(xué)時(shí)候做過。而且這類似的問題是微積分的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)用問題，可以使用的場合特別多。
對這一個(gè)微分方程的問題可以拓展到很多領(lǐng)域，例如如果對應(yīng)的金融領(lǐng)域，你拿你用錢和利息來計(jì)算，就是牛和草的關(guān)系：你每天使用的錢是牛吃掉的草，你的錢存在銀行每一天不斷的長利息，就是草在生長，生長速度每天一樣快，就是利率不變。這里如果這個(gè)計(jì)算利息的周期是連續(xù)的，則（1+1/n）^n，著名的無理數(shù)e就要出現(xiàn)了，這是一個(gè)與e指數(shù)相關(guān)問題了。類似的問題，我們金融計(jì)算資金收益和財(cái)物管理等，是總要用的東西，而且比這個(gè)要復(fù)雜。
說到這里，大家就明白這個(gè)問題的真實(shí)答案不是孩子能夠解決的。這里與以往的初等到高等數(shù)學(xué)給孩子在解決問題上的差別是不一樣的。例如：以往小學(xué)生用四則運(yùn)算解決應(yīng)用題，到中學(xué)就是代數(shù)和方程，但兩種方法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的，只不過高級的方法更程序化和簡單了。但牛吃草問題給孩子的奧數(shù)解法的關(guān)鍵問題是：這樣的思路不等價(jià)，而且連一個(gè)近似的解法都算不上！把指數(shù)問題變成線性問題，其中的偏差過大了，按照微分方程的計(jì)算結(jié)果，會與現(xiàn)在給孩子現(xiàn)行的奧數(shù)計(jì)算結(jié)果有天壤之別。
這個(gè)問題其實(shí)可以變成孩子們慣用的奧數(shù)思路，例如改成在產(chǎn)的工廠加工零件再出售，就沒有上述的問題。因?yàn)楣S生產(chǎn)速度與留存的庫存沒有關(guān)系；而草的生長是與留有多少草在生長直接相關(guān)的。還有出口動態(tài)排隊(duì)問題，也是很好的。但有些變形會有新問題，題目變形成水龍頭進(jìn)水出水，都會有一些物理問題（水箱內(nèi)水壓對龍頭流速有影響），導(dǎo)致與實(shí)際情況不一樣。給孩子的應(yīng)用題不光要貼近生活，更要貼近實(shí)際情況，給他們對這個(gè)世界建立起正確的數(shù)字概念。不能讓孩子腦子里面的數(shù)學(xué)模型與真實(shí)世界有重大偏差，否則對孩子未來思維和思考整個(gè)世界都有不良影響。
如此給眾多孩子用這個(gè)不準(zhǔn)確的方法做這個(gè)牛吃草的問題，給社會帶來的非常有害，因?yàn)楹芏嗪⒆右院笪幢厥且獙W(xué)習(xí)那么深的數(shù)學(xué)，對這些問題他們不會，總比自己認(rèn)為會但不對要強(qiáng)太多了。在小學(xué)孩子建立對整個(gè)世界認(rèn)知思維的時(shí)候，失之毫厘謬之千里，絕對不能有半點(diǎn)偏差。現(xiàn)在很多文科生搞經(jīng)濟(jì)，數(shù)學(xué)沒有吃透，很多金融領(lǐng)域類似牛吃草的高等數(shù)學(xué)問題，就是按照現(xiàn)在給孩子講奧數(shù)的這種算數(shù)思路來解決經(jīng)濟(jì)金融問題的，帶來很多匪夷所思的概念，還認(rèn)為自己灰常正確。
所以我認(rèn)為這個(gè)牛吃草問題，就要還原成為微分方程問題，從孩子的奧數(shù)當(dāng)中刪除，同時(shí)要讓孩子知道類似的問題是一個(gè)微積分問題，他現(xiàn)在還不會。知道自己不懂，就是一種進(jìn)步，反而一知半解，危害最大。所以選定教材和問題非常關(guān)鍵，很多奧數(shù)被妖魔化的問題，恰恰出在問題的選擇之上，就如把腦筋急轉(zhuǎn)彎當(dāng)作奧數(shù)一樣，利用你的概念理解偏差來為難你。而這個(gè)牛吃草的解法，對本來應(yīng)當(dāng)微分方程的問題，利用這個(gè)理解上的差異，變成了算數(shù)問題，而不是本來就可以簡化為算數(shù)問題。所以這樣的問題，孩子奧數(shù)課程和考題里面，還是要回避比較合適。
