我想提問者肯定是被簡化的科普給搞糊涂了。在大眾科普傳媒中，所提到的1+1問題的，涉及到素數(shù)（又稱質(zhì)數(shù)，指對大于1的自然數(shù)，除了1和它本身以外不再有其他因數(shù)，這樣的數(shù)稱為質(zhì)數(shù)，2是唯一的偶數(shù)質(zhì)數(shù)。）和偶數(shù)的關(guān)系。事情的起因是這樣的，話說1742年，數(shù)學(xué)愛好者哥德巴赫，有一天突發(fā)奇想任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。讓我們簡單驗證一下 4 = 2+2；6=3+3；8=3+5........ ，在有限的范圍內(nèi)，可以發(fā)現(xiàn)這個猜想找不到反例，但由于偶數(shù)有無限多個，因此無法一一舉證，而需要更加簡潔的數(shù)學(xué)證明。
因此，哥德巴赫給大數(shù)學(xué)家寫了一封信，請求他想辦法證明自己這個猜想。結(jié)果這個看似簡單的問題，難住了大數(shù)學(xué)家歐拉，這是一道看起來相當(dāng)理所當(dāng)然的問題，但要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?證明它卻出乎意料的困難。因此，這道被稱為“哥德巴赫猜想”的難題就在研究素數(shù)性質(zhì)的領(lǐng)域中成為知名難題，而研究素數(shù)的數(shù)學(xué)家大多相當(dāng)有名，這就導(dǎo)致這道數(shù)學(xué)難題獲得了巨大的名聲，許多數(shù)學(xué)愛好者和年輕的數(shù)學(xué)家們都嘗試通過攻克這道難題來揚名立萬。但所有這些嘗試都失敗了，數(shù)學(xué)家們開始退而求其次，如果不能證明任意充分大的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和，那我們可以先證明它可以被寫成比如不多于5000個素數(shù)之后？思路一旦變換，漸近的成果也就隨之出爐，后世的數(shù)學(xué)家按此思路一路縮小所需要的素數(shù)個數(shù)，直到中國的年輕數(shù)學(xué)家陳景潤，他在1966年發(fā)表的《大偶數(shù)表為一個素數(shù)及一個不超過兩個素數(shù)的乘積之和》（簡稱“1+2”），成為哥德巴赫猜想研究上的里程碑，他所發(fā)表的成果也被稱之為“陳氏定理”。后來有人將陳景潤的事跡寫成一個長篇報告文學(xué)《皇冠上的明珠》。
由于這本書的出版，讓許多國人知道，還有這么一道很好理解的超級數(shù)學(xué)難題的存在讓許多數(shù)學(xué)愛好者忍不住出手嘗試證明哥德巴赫猜想，一些人甚至相信自己使用小學(xué)數(shù)學(xué)就完美的證明了這道“世紀(jì)難題”，只是受到官方數(shù)學(xué)界的壓制，因此無法得到承認(rèn)。但如果能用初等數(shù)學(xué)解決這道難題，那大數(shù)學(xué)家歐拉，以及數(shù)百年來的數(shù)學(xué)家們都是傻子么？不過，人一旦偏執(zhí)就無法接受對自己成果的否定，而數(shù)學(xué)偏偏是一門邏輯異常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)問，任何一步的紕漏都是不能通過嘴炮狡辯過去的，需要無可辯駁的邏輯和相關(guān)定理的支持，不能想當(dāng)然。
當(dāng)然，雖然證明哥德巴赫猜想很困難，但要否證它卻相對簡單，只要找到一個反例就行。找到一個具體的偶數(shù)，發(fā)現(xiàn)它不能被拆解為兩個素數(shù)之和就行，當(dāng)計算機(jī)登上舞臺之后，一些數(shù)學(xué)家嘗試用計算機(jī)來暴力搜索，但計算機(jī)并未簡單的找到反例，雖然這當(dāng)然不能作為證明，因為不完全歸納法并不靠譜，但也讓人有了更多的信心，相信也許哥德巴赫猜想是正確的，唯一的任務(wù)就是如何證明它。而最后一步證明，自然是原初的哥德巴赫的要求，只需兩個質(zhì)數(shù)之和，這被稱為1+1。
至于提問者的字面問題，1+1=2，這個不需要證明，這是屬于公理系統(tǒng)，是數(shù)學(xué)運算的基本架構(gòu)。對完全形式化邏輯感興趣的人可以參考皮亞諾自然數(shù)算術(shù)公理，它定義了數(shù)學(xué)運算。
圖示：用皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)定義的加法。證明1+1=2
