天津文
13．已知雙曲線
的一條漸近線方程是
，它的一個焦點與拋物線
的焦點相同，則雙曲線的方程為 ．
【解】．
由題設(shè)可得雙曲線方程滿足，即
．
于是．又拋物線的焦點為，則．與
，于是．所以雙曲線的方程．
14．．已知圓的圓心是直線與軸的交點，且圓與直線相切，則圓 的方程為 ．
【解】．
直線與軸的交點為．
于是圓心的坐標(biāo)為；
因為圓與直線相切，所以圓心到直線的距離即為半徑，
因此．
所以圓的方程為．
21．（本小題滿分分）
已知橢圓的離心率．連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點．已知點的坐標(biāo)為．
(ⅰ) 若,求直線的傾斜角;
(ⅱ)點在線段的垂直平分線上，且．求的值．
【解】（Ⅰ）由得，再由得．
因為連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為，
所以，則，
解方程組得．所以橢圓的方程．
（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ）得.設(shè)點的坐標(biāo)為，
由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為。
于是兩點的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去并整理得
，因為是方程的一個根，則由韋達(dá)定理有
，所以，從而．
，由，得，
整理得 ，，所以．
所以直線的傾斜角為或．
(ⅱ)線段的中點為，則的坐標(biāo)為．
下面分情況討論：
(1) 當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線為軸．
于是，，由得．
(2) 當(dāng)時，線段的垂直平分線方程為
．令得
由，，
．整理得．．所以．
綜上，或．
浙江理
5．已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F2， 點M在雙曲線上且M F1 x軸，則F1到直線F2M的距離為 C
A． B．
C． D．
7．已知圓C：，若過點（1，）可作圓的切線有兩條，則實數(shù)m的取值范圍是 C
A． B．（,4） C． D．
10．是兩個定點，點為平面內(nèi)的動點，且（且），點的軌跡
圍成的平面區(qū)域的面積為，設(shè)（且）則以下判斷正確的是
A．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)
B．在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)
C．在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)
D．在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)
A
21．（本小題滿分15分）
如圖，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q.。
（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍.
解：（Ⅰ）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x1≠0，y1>0，y2>0.
由y=x2， ① 得y＇=x.
∴過點P的切線的斜率k切= x1，
∴直線l的斜率kl=－=-，
∴直線l的方程為y－x12=－ (x－x1)，
方法一：
聯(lián)立①②消去y，得x2+x－x12－2=0. ∵M是PQ的中點
∴ x0==-， y0=x12－(x0－x1). ∴y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).
方法二：
由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1－y2=x12－x22=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)，
則x0==kl=-，∴x1=－，將上式代入②并整理，得y0=x02++1(x0≠0)，
∴PQ中點M的軌跡方程為y=x2++1(x≠0).
（Ⅱ）設(shè)直線l:y=kx+b，依題意k≠0，b≠0，則T(0，b).
分別過P、Q作PP＇⊥x軸，QQ＇⊥y軸，垂足分別為P＇、Q＇，則
.
方法一：
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，
∴的取值范圍是（2，+）.
方法二：
∴=|b|=|b|.
當(dāng)b>0時，=b==+2>2；
當(dāng)b<0時，=－b=.
又由方程③有兩個相異實根，得△=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，
于是k2+2b>0，即k2>－2b.
所以>=2.∵當(dāng)b>0時，可取一切正數(shù)，
∴的取值范圍是（2，+）.
方法三：
由P、Q、T三點共線得kTQ=KTP，
即=.則x1y2－bx1=x2y1－bx2，即b(x2－x1)=(x2y1－x1y2).
于是b==－x1x2.
∴==+=+≥2.
∵可取一切不等于1的正數(shù)，
∴的取值范圍是（2，+）.
